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1、学案学案4 三角函数的性质三角函数的性质 三角函数的三角函数的性质性质(1)(1)了解三角函数的周期性了解三角函数的周期性. .(2)(2)理解函数的单调性及其几何意义，并理解函数的单调性及其几何意义，并会利用单调性解决有关问题会利用单调性解决有关问题. . (3)(3)会用三角函数解决一些简单实际问题会用三角函数解决一些简单实际问题, ,体会三角函数是描述周期变化现象的重要体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型函数模型. . 三角函数的性质主要考查三角函数的周期性和单调三角函数的性质主要考查三角函数的周期性和单调性性,题型以选择题和填空题为主题型以选择题和填空题为主,有时也会出现解答题
2、有时也会出现解答题.1.1.三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质:y=sinxy=cosxy=tanx定义域定义域性性 质质 函函 数数R R 图图 象象值值 域域对称性对称性对称轴对称轴: :对称中心对称中心: :对称轴对称轴: :对称中心对称中心: :对称中心对称中心: :周周 期期-1,1 -1,1 R返回目录返回目录 单调性单调性单调增区间单调增区间单调减区间单调减区间单调增区间单调增区间单调减区间单调减区间单调增区间单调增区间奇偶性奇偶性偶偶 奇奇 奇奇 名师伴你行 2.一般地，对于函数一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零常数如果存在一个非零常数T,使使得当得当x取定义域内
3、的每一个值时取定义域内的每一个值时,都有都有f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)就叫做就叫做 . 叫做这个函数的周期叫做这个函数的周期.把所有周期中存在的最小正数把所有周期中存在的最小正数,叫做叫做 (函数的周期一般指最小正周期函数的周期一般指最小正周期).函数函数y=Asin(x+ )或或 y=Acos(x+ )(0且为常数且为常数)的周期的周期T= ,函数函数y=Atan(x+ )(0)的周期的周期T= .周期函数周期函数 非零常数非零常数T 最小正周期最小正周期 考点考点考点考点1 1 三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数的定义域 求下列函数的定义域求下列
4、函数的定义域:(1)y=lg(2sinx-1)+ ;(2)y= . 2sinx-10 1-2cosx0的的x值值,可用图象或三角函数线解决可用图象或三角函数线解决;第第(2)小题解不等式小题解不等式组组 2+ 0 tanx0,【分析分析】第第(1)小题实际就是求使小题实际就是求使 然后利用数轴求解然后利用数轴求解. 【解析解析】 (1)要使原函数有意义要使原函数有意义,必须有必须有 2sinx-10 sinx 1-2cosx0, cosx .由图知由图知,原函数的定义域为原函数的定义域为:即即 (2)要使函数有意义要使函数有意义 2+ 0 x0 tanx0 xk+ ,kZ, 0x4 kxk+
5、(kZ).函数定义域是函数定义域是x|0x0)的最小的最小正周期正周期为为 .(1)求求的值；的值；(2)若函数若函数y=g(x)的图象是由的图象是由y=f(x)的图象向右平移的图象向右平移 个单位长度得到的个单位长度得到的.求求y=g(x)的单调增区间的单调增区间.考点考点考点考点3 3 求三角函数的单调性求三角函数的单调性求三角函数的单调性求三角函数的单调性【解析解析】 (1)因因f(x)=sin2x+sin2x+cos2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,依题意得依题意得 = ,故故= .(2)依题意得依题意得g(x)= sin3(x- )+ +2=
6、sin(3x- )+2.由由2k- 3x- 2k+ (kZ),解得解得 k+ x k+ (kZ).故故g(x)的单调增区间为的单调增区间为 k+ , k+ (kZ). 【评析评析评析评析】解题（解题（1）时，容易直接由已知得）时，容易直接由已知得f(x)= sin(2x+ )+2而造成中间步骤缺失，从而使得学而造成中间步骤缺失，从而使得学生做对结果但得不到满分，因此在解题时一定要注意解答生做对结果但得不到满分，因此在解题时一定要注意解答的规范性及步骤的完整性的规范性及步骤的完整性.【解析解析解析解析】方法一方法一：y=cos(-2x+ )=cos(2x- ),由由2k2x- 2k+(kZ),得
7、得k+ xk+ (kZ)，即所求单调减区间为即所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).求函数求函数y=cos(-2x+ )的单调减区间的单调减区间_. 方法二方法二：t=-2x+ 为减函数，且为减函数，且y=cost的单调的单调增区间为增区间为2k-,2k(kZ), 由由2k-2x+ 2k,kZ,得得-k+ x-k+ (kZ). 所求单调减区间为所求单调减区间为 k+ ,k+ (kZ).设函数设函数f(x)=Asin(x+ )(其中其中A0,0).(1) 取何值时，取何值时，f(x)为奇函数；为奇函数；(2) 取何值时，取何值时，f(x)为偶函数为偶函数. 【解析解析解析解析】(1) xR,
8、要使要使f(x)是奇函数，即是奇函数，即f(x)+f(-x)=0, 即即Asin(x+ )+Asin(-x+ )=0, 2Asin cosx=0. cosx不恒为不恒为0， sin =0,解得解得 =k(kZ). 即即 =k(kZ)时，时，f(x)为奇函数为奇函数.考点考点考点考点4 4 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性（2）f(x)是偶函数，是偶函数，f(x)-f(-x)=0,即即Asin(x+ )-Asin(-x+ )=0.得得2Acos sinx=0,sinx不恒为不恒为0，cos =0,得得 =k+ (kZ).即即 =k+ (kZ)时，时，f(x)为偶函
9、数为偶函数.【评析评析评析评析】本题利用定义判断函数的奇偶性，求出本题利用定义判断函数的奇偶性，求出本题利用定义判断函数的奇偶性，求出本题利用定义判断函数的奇偶性，求出 的的的的取值取值取值取值. .本题中的条件为充要条件，同学们可以记住结本题中的条件为充要条件，同学们可以记住结本题中的条件为充要条件，同学们可以记住结本题中的条件为充要条件，同学们可以记住结论，在选择、填空题中直接用论，在选择、填空题中直接用论，在选择、填空题中直接用论，在选择、填空题中直接用. .【解析解析】 1.1.1.1.求三角函数周期的常用方法是：经过恒等变形化成求三角函数周期的常用方法是：经过恒等变形化成求三角函数周
10、期的常用方法是：经过恒等变形化成求三角函数周期的常用方法是：经过恒等变形化成“y=y=y=y=Asin(x+),yAsin(x+),yAsin(x+),yAsin(x+),y= = = =Acos(x+),yAcos(x+),yAcos(x+),yAcos(x+),y= = = =Atan(x+Atan(x+Atan(x+Atan(x+) ) ) )”的形式，再利用周期公式即可的形式，再利用周期公式即可的形式，再利用周期公式即可的形式，再利用周期公式即可. . . .2.2.2.2.求函数的单调区间及判断函数的奇偶性，要注意化求函数的单调区间及判断函数的奇偶性，要注意化求函数的单调区间及判断函
11、数的奇偶性，要注意化求函数的单调区间及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用归思想的运用归思想的运用归思想的运用. . . .主要是通过恒等变形将函数式转化为基主要是通过恒等变形将函数式转化为基主要是通过恒等变形将函数式转化为基主要是通过恒等变形将函数式转化为基本三角函数类型，但要注意变形前后的等价性本三角函数类型，但要注意变形前后的等价性本三角函数类型，但要注意变形前后的等价性本三角函数类型，但要注意变形前后的等价性. . . . 1.1.闭区间上最值或值域问题闭区间上最值或值域问题闭区间上最值或值域问题闭区间上最值或值域问题, ,首先要在定义域基础首先要在定义域基础首先要在定义域基础首先要
12、在定义域基础上分析单调性上分析单调性上分析单调性上分析单调性, ,含参数的最值问题含参数的最值问题含参数的最值问题含参数的最值问题, ,要讨论参数对最值要讨论参数对最值要讨论参数对最值要讨论参数对最值的影响的影响的影响的影响. . 2. 2.求三角函数的单调区间时求三角函数的单调区间时求三角函数的单调区间时求三角函数的单调区间时, ,应先把函数式化成形应先把函数式化成形应先把函数式化成形应先把函数式化成形如如如如y=y=Asin(xAsin(x+ )(0)+ )(0)的形式的形式的形式的形式, ,再根据基本三角函再根据基本三角函再根据基本三角函再根据基本三角函数的单调区间数的单调区间数的单调区间数的单调区间, ,求出求出求出求出x x所在的区间所在的区间所在的区间所在的区间. .应特别注意应特别注意应特别注意应特别注意, ,考虑问考虑问考虑问考虑问题应在函数的定义域内考虑题应在函数的定义域内考虑题应在函数的定义域内考虑题应在函数的定义域内考虑. .注意区分下列两题的单调注意区分下列两题的单调注意区分下列两题的单调注意区分下列两题的单调增区间不同增区间不同增区间不同增区间不同: : (1)y=sin(2x- );(2)y=sin( -2x). (1)y=sin(2x- );(2)y=sin( -2x). 名师伴你行
