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1、第十三讲第十三讲 晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度 一、一、 晶体热容的量子理论晶体热容的量子理论固体的定容热容固体的定容热容 固体的平均内能固体的平均内能 固体内能包括固体内能包括晶格振动的能量晶格振动的能量和和电子热运动的能量电子热运动的能量实验结果：低温下，金属的热容实验结果：低温下，金属的热容 温度不是太低的情况，忽略电子比照热的奉献温度不是太低的情况，忽略电子比照热的奉献 电子比照热的奉献电子比照热的奉献 晶格振动比照热的奉献晶格振动比照热的奉献1 1晶格振动对热容的奉献晶格振动对热容的奉献 经典理论经典理论 一个简谐振动平均能量一个简谐振动平
2、均能量N个原子，总的平均能量个原子，总的平均能量摩尔固体热容摩尔固体热容 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律 实验说明在低温时，热容量随温度迅速趋于零实验说明在低温时，热容量随温度迅速趋于零 ! 能量均分定律能量均分定律2 2晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论 一个频率为一个频率为 j的振动模对热容的奉献的振动模对热容的奉献频率为频率为 j的的振动模由一系列量子能级为振动模由一系列量子能级为 组成组成 子体系子体系子体系处于量子态子体系处于量子态 的概率的概率3 3振动模的平均能量振动模的平均能量一个振动模的平均能量一个振动模的平均能量4 4 与晶格振动频率和温度有关系与晶格振动频率和温度有关系 一
3、个振动模对热容奉献一个振动模对热容奉献高温极限高温极限5 5 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符 忽略不计忽略不计6 6低温极限低温极限 一个振动模对热容奉献一个振动模对热容奉献 与实验结果相符与实验结果相符(趋势相符趋势相符) 从物理上看，在低温下，声子被从物理上看，在低温下，声子被冻结冻结在基态，在基态，因而对热容的奉献趋于零。因而对热容的奉献趋于零。7 7 晶体中有晶体中有3N个振动模，总的能量个振动模，总的能量晶体总的热容晶体总的热容可见，只要知道晶体的各简正振动的频率，就可直接计算出晶可见，只要知道晶体的各简正振动的频率，就可直接计算出晶体的热容。体的热容。但是，对于具体的晶体，
4、但是，对于具体的晶体，3N个简正频率是很复杂的，因而计个简正频率是很复杂的，因而计算也复杂。算也复杂。8 81. 爱因斯坦模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率 0振动振动 一个振动模式的平均能量一个振动模式的平均能量晶体热容晶体热容总能量总能量9 9 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数爱因斯坦温度爱因斯坦温度 爱因斯坦热容爱因斯坦热容 选选取取适适宜宜的的E值值，在在较较大大温温度度变变化化的的范范围围内内，理理论论计算的结果和实验结果相当好地符合计算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体也有可能低于和高于这个范围的固体
5、。也有可能低于和高于这个范围的固体。1010金刚石金刚石理论计算和实验结果比较理论计算和实验结果比较 在极低温范围内，爱因斯坦理论值下降比较陡，与实验不符合。在极低温范围内，爱因斯坦理论值下降比较陡，与实验不符合。爱因斯坦理论值反映了随温度下降的趋势。爱因斯坦理论值反映了随温度下降的趋势。1111温度较高时温度较高时 晶体热容晶体热容 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符1212温度非常低时温度非常低时晶体热容晶体热容 按温度的指数形式降低按温度的指数形式降低实验测得结果实验测得结果 爱因斯坦模型认为各原子的振动是相互独立的，因而爱因斯坦模型认为各原子的振动是相互独立的，因而3N个频率是相同
6、的。个频率是相同的。 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差异。爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差异。13132. 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质菲晶格看作是各向同性的连续介质。 对于一定的波矢量对于一定的波矢量q，有，有1个纵波和个纵波和2个独立的横波个独立的横波 不同不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模 不同的振动模，能量不同不同的振动模，能量不同色散关系色散关系1414三维晶格，态密度三维晶格，态密度 V: 晶体体积晶体体积 受受边边界界
7、条条件件限限制制波波矢矢q分分立立取取值值，允允许许的的取取值值在在q空空间间形成了均匀分布的点子形成了均匀分布的点子体积元体积元态的数目态的数目 q是近连续变化的是近连续变化的振动数目振动数目1515频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 各向同性的介质各向同性的介质 频率也近似于连续取值频率也近似于连续取值 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容一个振动模的热容 晶体总的热容晶体总的热容 振动频率分布函数振动频率分布函数 和和 m的计算的计算1616频率在频率在 之间，纵波数目之间，纵波数目频率在频率在 之间，格波数目
8、之间，格波数目频率在频率在 之间，横波数目之间，横波数目波矢的数值在波矢的数值在 之间的振动方式的数目之间的振动方式的数目1717频率分布函数频率分布函数频率在频率在 间，格波数目间，格波数目频率在频率在 之间振动模式的数目之间振动模式的数目 实际晶体由实际晶体由N个原子组成，自由度为个原子组成，自由度为3N个个格波总的数目格波总的数目德拜认为：德拜认为： 当频率当频率 大于某一大于某一频率频率 m时，短波时，短波振动不存在，振动不存在，在在 m之上的振动可当作弹性波来处理。之上的振动可当作弹性波来处理。 1818晶体总的热容晶体总的热容 令令气体常数气体常数R=NkB1919德拜温度德拜温度
9、晶体总的热容晶体总的热容 德拜热容函数德拜热容函数2020在高温极限下在高温极限下晶体总的热容晶体总的热容 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致德拜热容函数德拜热容函数2121低温极限低温极限晶体热容晶体热容 2222 与与T3成正比成正比 德拜定律德拜定律晶体热容晶体热容 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时，主要的只有长波格波的激发温度很低时，主要的只有长波格波的激发 在德拜理论中，特征温度在德拜理论中，特征温度D是待定的常数，常常将理是待定的常数，常常将理论与实验数据比较得到它。论与实验数据比较得到它。D不是常数，而是随温度变化而变化，如图
10、不是常数，而是随温度变化而变化，如图p131图图3-24金属铟的金属铟的D。P132表表3-1列出了一些固体元素的列出了一些固体元素的D，多数在，多数在200400K之间，个别的弹性模量大、密度低的在之间，个别的弹性模量大、密度低的在1000K以上。以上。2323二、二、晶格振动模式密度晶格振动模式密度晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动晶体中同时可以存在不同频率的简谐振动 不同频率的振动模对应不同的能量不同频率的振动模对应不同的能量给定晶体，总的振动模数目是一定的给定晶体，总的振动模数目是一定的按振动频率分布按振动频率分布 用用晶格振动模式密度来描述晶格振动模式密度来描述 利利用用振振动动模
11、模式式密密度度，不不但但可可以以研研究究晶晶格格热热容容，还还能能研研究究晶体电学、光学性质。晶体电学、光学性质。晶格振动模式密度晶格振动模式密度 单位频率间隔，振动模式的数目单位频率间隔，振动模式的数目 2424在在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度根据根据做出一个等频率面做出一个等频率面两个等频率面两个等频率面 和和之间的振动模式数目之间的振动模式数目频率是频率是q的连续函数的连续函数2525之间振动模式数目之间振动模式数目振动模式密度函数振动模式密度函数2626在在 的一些点的一些点奇点奇点 范范霍夫奇点霍夫奇点，是晶体中一些高对称点，是晶体中一些高对称点(布里渊区边界布里渊区边界) 这些临界点与晶体的对称性密切相联这些临界点与晶体的对称性密切相联2727
