三个条件判断三角形全等三个条件判断三角形全等1. 三个角三个角2. 三条边三条边3. 两边一角两边一角4. 两角一边两角一边不能不能判断三角形全等判断三角形全等能能判断三角形全等判断三角形全等SAS能能判断三角形全等，但是判断三角形全等，但是判断三角形全等，但是判断三角形全等，但是SSASSA不能不能不能不能 1 1. 边边边公理内容：边边边公理内容： ______________________________________________________________________三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等简称简称“边边边边边边”或或“SSS” 2 2. 边角边公理内容：边角边公理内容： ____________________________________________________________________________________有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等全等简称简称“边角边边角边”或或“SAS” 一张教学用的三角形硬纸板不小心一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一张与原来被撕坏了，如图，你能制作一张与原来同样大小的新教具？能恢复原来三角形同样大小的新教具？能恢复原来三角形的原貌吗？的原貌吗？怎么办？可以帮帮我吗？创设情景,实例引入 画画出出一一个个⊿ ⊿ABC，，使使它它的的两两角角∠ ∠A=60°, , ∠ ∠B=45°,AB=10cm把把你你画画的的三三角角形形与与小小组组内内画的进行比较，它们一定全等吗？画的进行比较，它们一定全等吗？画法画法: 1.画画AB=10cm;2.在在AB的同旁，分别以的同旁，分别以A、、B为顶点画为顶点画∠ ∠A=60° ∠ ∠B=45°; 3. ∠ ∠A、、 ∠ ∠B的另两边交于点的另两边交于点C.结论结论: :有两角和它们的夹边对应相等的有两角和它们的夹边对应相等的两两个三角形全等个三角形全等. .（可简写为（可简写为角边角角边角或或ASAASA）） 在在△△ABC与与△△DEF中中ABCDEF∠∠A= ∠ ∠DAB=DE∠ ∠B= ∠ ∠E∴△∴△ABC≌△≌△DEF（（ASA））几何语言几何语言 例1： 已知如图，已知如图，O是是AB的中点，的中点，∠∠A=∠ ∠B，，ABCDO12∵∵ O是是AB的中点的中点(已知）已知）∴∴ OA=OB(中点定义）中点定义）求证：求证：△△AOC≌△≌△BOD在在△△AOC和和△△BOD中中证明：证明：∠∠A= ∠ ∠BOA=OB∠ ∠1= ∠ ∠2(已知）已知）(已证）已证）(对顶角相等）对顶角相等）∴ ∴ △ △AOC≌△≌△BOD（（ASA）） 例例2：：已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于点相交于点O,AB=AC, ∠ ∠B= ∠ ∠C求证：求证：AD=AE.BAECDO证明：在证明：在△△ADC和和△△AEB中中∠∠A= ∠ ∠AAC=AB∠ ∠C= ∠ ∠B(公共角）公共角）(已知）已知）(已知）已知）∴△∴△ADC≌△≌△AEB（（ASA））∴∴AD=AE又又∵∵AB=AC∴∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）(已知）已知）(等式性质等式性质1））BD=CE吗？吗？ 探究：探究：在在△ △ABC与与△ △DEF中，中， ∠ ∠A=∠ ∠D ∠ ∠B=∠ ∠E,BC=EF, △ △ABC与与△ △DEF全等吗？能利用角边角全等吗？能利用角边角（（ASA））证明你的结论吗？证明你的结论吗？ABCDEF即证明角角边（即证明角角边（AAS）是不是判定方法）是不是判定方法 ABCDEF已知已知∠∠A=∠∠D，，∠∠B=∠∠E，，BC=EF.求证：求证：△△ABC≌△≌△DEF.证证明：明：∵ ∵∠∠A＝＝∠∠D，，∠∠B＝＝∠∠E 又又∵∠∵∠C＝＝180°－－∠∠A－－∠∠B，， ∠∠F＝＝180°－－∠∠D－－∠∠E ∴∠∴∠C＝＝∠ ∠F 在在△△ABC和和△△DEF中中∠∠B＝＝∠∠EBC＝＝EF∠∠C＝＝∠∠F∴△∴△ABC≌△≌△DEF（（ASA））两角和它两角和它们其中其中一角的一角的对边对应相等的两个三角相等的两个三角形全等形全等.（（简写写为“角角角角边”或或“AAS”）） 在在△△ABC与与△△DEF中中ABCDEF∴△∴△ABC≌△≌△DEF（（AAS））几何语言几何语言∠∠A= ∠ ∠D∠∠B= ∠ ∠EBC= EF 跟踪练习：跟踪练习：已知如图，已知如图， ∠ ∠1 1＝＝∠∠2 2，， ∠∠C C＝＝∠D∠D求证：求证：ADAD＝＝AC.AC.1ABDC2证证明：明：在在△△ABD和和△△ABC中中∠∠1＝＝∠∠2∠∠D＝＝∠∠CAB＝＝AB∴△∴△ABD≌△≌△ABC（（AAS））∴∴AD＝＝AC 变式变式1 1：已知如图，：已知如图， ∠∠1 1＝＝∠∠2 2，，∠∠ABDABD＝＝∠ABC∠ABC 求证：求证：ADAD＝＝AC.AC.1ABDC2证证明：明：在在△△ABD和和△△ABC中中∠∠1＝＝∠∠2AB＝＝AB∠∠ABD＝＝∠∠ABC∴△∴△ABD≌△≌△ABC（（ASA））∴∴AD＝＝AC 变式变式2 2：已知如图，：已知如图， ∠∠1 1＝＝∠∠2 2，，∠∠3 3＝＝∠4∠4 求证：求证：ADAD＝＝AC.AC.1ABDC234证证明：明：∵∠∵∠3＝＝∠∠4 ∴∠∴∠ABD＝＝∠∠ABC 在在△△ABD和和△△ABC中中∠∠1＝＝∠∠2AB＝＝AB∠∠ABD＝＝∠∠ABC∴△∴△ABD≌△≌△ABC（（ASA））∴∴AD＝＝AC为什么？等角的补角相等等角的补角相等或或等式性质等式性质1 ∴△∴△ABC≌△≌△DCB（（ ））练一练：1、完成下列推理过程：、完成下列推理过程：在在△△ABC和和△△DCB中，中，∠∠ABC=∠ ∠DCB∵∵ BC=CBASAABCDO1234（（ ）） 公共边公共边∠∠2=∠ ∠1AAS∠∠3＝＝∠∠4∠ ∠2＝＝∠∠1BC ＝＝ CB 2、请在下列空格中填上适当的、请在下列空格中填上适当的条件，使条件，使△△ABC≌△≌△DEF。
在在△△ABC和和△△DEF中中∵∵∴△∴△ABC ≌△≌△DEF（（ ））ABCDEFSSSAB=DEBC=EFAC=DFASA∠∠A=∠ ∠DAB=DE∠∠B=∠ ∠DEFAC=DF∠∠ACB=∠ ∠FAAS∠∠B=∠ ∠DEFBC=EF∠∠ACB=∠ ∠FBC=EF 两个三角两个三角形中相等形中相等的边或角的边或角是否全等（全等画是否全等（全等画“√”，不全等画，不全等画“×”公理或推公理或推论（简写）论（简写）三条边三条边两边一角两边一角两边夹角两边夹角两边与一两边与一边对角边对角两角一边两角一边两角夹边两角夹边两角与一两角与一角对边角对边三三 个个 角角×√√√√×SSSSASASAAAS 练习练习1：：已知如图，已知如图，AB⊥ ⊥BC,AD⊥ ⊥DC,垂足垂足分别为分别为B、、D，，∠ ∠1=∠ ∠2，求证：，求证：AB=AD大显身手大显身手1 2ABCD证证明：明：∵∵AB⊥⊥BC，，AD⊥⊥DC ∴∠∴∠B＝＝∠∠D＝＝90° 在在△△ABC和和△△ADC中中∠∠1＝＝∠∠2∠∠B＝＝∠∠DAC＝＝AC∴△∴△ABC≌△≌△ADC（（AAS））∴∴AB＝＝AD 练习练习2. 已知如图，点已知如图，点B,F,C,E在一条直线上，在一条直线上，BF=CE,AB∥∥DE,AC∥ ∥DF.求证：求证：AB=DE,AC=DFBAFDC21E证证明：明：∵∵AB∥∥DE，，AC∥∥DF ∴∠∴∠B＝＝∠∠E，，∠∠1＝＝∠∠2 ∵∵BF＝＝CE ∴∴BC＝＝EF 在在△△ABC和和△△DEF中中∠∠1＝＝∠∠2BC＝＝EF∠∠B＝＝∠∠E∴△∴△ABC≌△≌△DEF（（ASA））∴∴AB＝＝DE，，AC＝＝DF 练习练习3：若：若△ △ABC中，中，∠ ∠A＝＝30°，，∠ ∠B＝＝70°，，AB＝＝5cm,△ △DEF中中∠ ∠E＝＝70°，，∠ ∠F＝＝80°，，DE＝＝5cm，，试说明试说明AC与与DF相相等等.30°70°5cmABC80°70°5cmDEF证证明：明：∵∠∵∠D＝＝180°－－∠∠E－－∠∠F ＝＝180°－－70°－－80°＝＝30° ∴∠∴∠A＝＝∠∠D 在在△△ABC和和△△DEF中中∠∠A＝＝∠∠DAB＝＝DE∠∠B＝＝∠∠E∴△∴△ABC≌△≌△DEF（（ASA））∴∴AC＝＝DF 。