刘徽与割圆术 主讲人：李慧§小教一班§12号 2021/7/242021/7/241 1 总纲§刘徽生平简介§割圆术的介绍与发展2021/7/242021/7/242 2 刘徽生平简介§生平生平§ §刘徽刘徽( (生于公元生于公元250250年左右年左右) )，，三国三国后期魏国人，是中国古代杰后期魏国人，是中国古代杰出的出的数学家数学家，也是中国古典数学理论的，也是中国古典数学理论的奠基者奠基者之一．其生卒年之一．其生卒年月、生平事迹，月、生平事迹，史书上很少记载据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人史书上很少记载据有限史料推测，他是魏晋时代山东邹平人终生未做官终生未做官§成就成就§ §刘徽的成就大致为两方面：刘徽的成就大致为两方面： 一一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础这方面集中体现在《九章算是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础这方面集中体现在《九章算术注》中它实已形成为一个比较完整的理论体系：术注》中它实已形成为一个比较完整的理论体系： ①①在数系理论方面在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了 用数的同类与异类阐述了通分通分、、约分约分、、四则运算四则运算，以及，以及繁分数繁分数化简等的化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。
的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法2021/7/242021/7/243 3 ②②在筹式演算理论方面在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“ “率率” ”来定义中国古代数学中来定义中国古代数学中的的“ “方程方程” ”，即，即现代数学现代数学中中线性方程组线性方程组的增广矩阵的增广矩阵 ③③在勾股理论方面在勾股理论方面 逐一论证了有关 逐一论证了有关勾股定理勾股定理与解与解勾股勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对论，发展了勾股测量术，通过对“ “勾中容横勾中容横” ”与与“ “股中容直股中容直” ”之类的典型图形的论之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论析，形成了中国特色的相似理论 ④④在面积与体积理论方面在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及 用出入相补、以盈补虚的原理及“ “割圆术割圆术” ”的极限方法提出了刘徽原理，并的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。
这些方面的理论价值至解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉今仍闪烁着余辉二二是在继承的基础上提出了自己的创见这方面主要体现为以下几项有代表性的是在继承的基础上提出了自己的创见这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：创见： ①①割圆术与圆周率割圆术与圆周率 他在《 他在《九章算术九章算术• •圆田术》注中，用割圆术证明了圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积圆面积的精确公式，并的精确公式，并给出了计算给出了计算圆周率圆周率的的科学方法科学方法他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到倍增，算到192192边形的面积，得到边形的面积，得到π=157/50=3.14π=157/50=3.14，又算到，又算到30723072边形的面积，边形的面积，得到得到π=3927/1250=3.1416π=3927/1250=3.1416，称为，称为“ “徽率徽率” ”2021/7/242021/7/244 4 ②②刘徽原理刘徽原理 在《九章算术 在《九章算术• •阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于提出了关于多面体多面体体积计算的刘徽原理。
体积计算的刘徽原理 ③③“ “牟合方盖牟合方盖” ”说说在《九章算术在《九章算术• •开立圆术》注中，他指出了球体积公式开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(DV=9D3/16(D为球直径为球直径) )的不精确性，并引入了的不精确性，并引入了“ “牟合方盖牟合方盖” ”这一著名的几何模型这一著名的几何模型 “牟合方盖牟合方盖” ”是指正方是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆体的两个轴互相垂直的内切圆柱体柱体的贯交部分的贯交部分 ④④方程新术方程新术 在《九章算术 在《九章算术• •方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想比率算法的思想 ⑤⑤重差术重差术 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等 在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法他还运用测高测远方法他还运用“ “类推衍化类推衍化” ”的方法，使重差术由两次测望，发展为的方法，使重差术由两次测望，发展为“ “三望三望” ”、、“ “四望四望” ”而印度在而印度在7 7世纪，欧洲在世纪，欧洲在1515～～1616世纪才开始研究两次测望的问世纪才开始研究两次测望的问题。
题2021/7/242021/7/245 5 割圆术介绍与发展§割圆术（割圆术（cyclotomic methodcyclotomic method）） 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周早在理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周早在公元前公元前5 5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正正八边形，再逐次加倍其边数，得到正1616边形、正边形、正3232边形等等，边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题到公元前认为就可以完成化圆为方问题到公元前3 3世纪，古希腊科学家世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：阿基米德在《论球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。
阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边之差可以任意小阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一三又七十分之十形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一三又七十分之十而大于而大于 ，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为，还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为1111：：1414，即取，即取圆周率等于圆周率等于22/722/7公元263263年，中国数学家刘徽在《九章算术注年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出》中提出“ “割圆割圆” ”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正倍，直至圆内接正9696边形，算得圆周率为边形，算得圆周率为3.143.14或或157/50157/50，后人称，后人称之为徽率书中还记载了圆周率更精确的值之为徽率书中还记载了圆周率更精确的值3927/12503927/1250（等于（等于3.14163.1416）2021/7/242021/7/246 6 §刘徽断言刘徽断言“ “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣与圆合体，而无所失矣” ”。
其思想与古希腊穷竭法不谋而合其思想与古希腊穷竭法不谋而合割圆术在圆周率计算史上曾长期使用圆术在圆周率计算史上曾长期使用16101610年德国数学家柯伦用年德国数学家柯伦用2^622^62边形将圆周率计算到小数点后边形将圆周率计算到小数点后3535位16301630年格林贝尔格利年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后用改进的方法计算到小数点后3939位，成为割圆术计算圆周率的最位，成为割圆术计算圆周率的最好结果分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算好结果分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道圆周率最早的科学方法一直为人们所称道§ §刘徽刘徽由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數由正六邊形開始，不斷倍增正多邊形的邊數正6邊形正12邊形正24邊形正48邊形邊數愈多，正多邊形愈接近圓形邊數愈多，正多邊形愈接近圓形最後，最後，劉徽劉徽求得求得π≈ 3.1416π≈ 3.14162021/7/242021/7/247 7 谢谢观看2021/7/242021/7/248 8 。