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1、第十五章第十五章达朗伯原理达朗伯原理1 1 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 惯性力的概念，平动、惯性力的概念，平动、 定轴转动和平面运动刚定轴转动和平面运动刚体惯性力系的简化。体惯性力系的简化。 质点系的达朗伯原理。质点系的达朗伯原理。 用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。用质点系的达朗伯原理求解动力学问题。 难点难点 惯性力系的简化。惯性力系的简化。 惯性积和惯性主轴的概念。惯性积和惯性主轴的概念。2 2 问题的方法，也称动静法动静法。 本章介绍动力学的一个重要原理达朗伯原理达朗伯原理。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。因而，这种解答
2、动力学3 315-1惯性力的概念惯性力的概念 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理人用手推车力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的惯性力惯性力。 质点惯性力定义质点惯性力定义一、惯性力的概念一、惯性力的概念 当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由当质点受到其他物体的作用而引起运动状态变化时，由于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗于质点本身的惯性而引起了对施力物体的反抗力，这种反抗力称为该质点的惯性力。力称为该质点的惯性力。4 4 质点惯性力不是作用在质点上的力，它是质点作用在施质点惯性力不是作用在质点上的力，它是质点作
3、用在施 力物体上的反作用力的合力。力物体上的反作用力的合力。 注意注意 惯性力的投影惯性力的投影5 5 非自由质点M，质量m，受主动力 ， 约束反力 ，合力 质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理 质点运动的每一瞬质点运动的每一瞬时，作用于质点上的主时，作用于质点上的主动力、约束反力，以及动力、约束反力，以及虚加于该质点上的惯性力在形式上组成一个平衡力系。虚加于该质点上的惯性力在形式上组成一个平衡力系。6 6 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统
4、一的解题格式。7 7例例1 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。8 8 选单摆的摆锤为研究对象； 角随着加速度 的变化而变化，当 不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。解：解： 根据达朗伯原理求解： 解得 虚加惯性力 取投影轴x如图； 受力分析如图；9 915-2 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 对整个质点系，主动力系、约束反力系、惯性力系形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。可用方程表示为： 设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有注意到
5、, 将质点系受力按内力、外力划分, 则1010 表明：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。1111对平面任意力系：对平面任意力系：对于空间任意力系：对于空间任意力系： 实际应用时, 同静力学一样任意选取研究对象, 列平衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，1212 15-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力 和一个惯性力偶 。 无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。1313一、刚体作平动
6、一、刚体作平动向质心C简化：刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。1414空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）O为转轴z与质量对称平面的交点，向O点简化：主矢：主矩：二、定轴转动刚体二、定轴转动刚体 先讨论具有垂直于转轴的质量对称平面的简单情况。直线 i : 平动， 过Mi点，1515向O点简化：向质点C点简化：作用在C点作用在O点1616讨论：讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。1717讨论：讨论：转轴过质点C，但0，惯性力偶 （与反向）1818讨论：讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，则（主矢、主矩均为零）1919 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，
7、刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为随基点（质点C）的平动：绕通过质心轴的转动： 作用于质心三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动2020 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：实质上：2121例例1 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆由与平面成0角位置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。 选杆AB为研究对象解解： 根据达朗伯原理求解： 取Atn坐标轴如图； 受力分析如图； 虚加惯性力系：22222323用动量矩定理用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：解解：选AB为研究对象由得：由质心运动定理：2424 例
8、例2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。 取轮为研究对象解：解：O 根据达朗伯原理求解： 取Oxy坐标轴如图； 受力分析如图； 虚加惯性力系：2525由(1)得由(2)得 N= P +S，要保证车轮不滑动，必须 Ff N =f (P+S) (5) 可见，可见，f 越越大越不易滑动。大越不易滑动。 Mmax的值的值为上式右端的为上式右端的值。值。把(5)代入(4)得：O262615-4
9、 定轴转动刚体的轴承动反力定轴转动刚体的轴承动反力 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 一、刚体的轴承动反力一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度 ，角加速度（逆时针） 主动力系向O点简化: 主矢 ,主矩 惯性力系向O点简化: 主矢 ,主矩27272828根据动静法：其中有五个式子与约束反力有关。设AB=l , OA=l1, OB=l2 可得2929 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动附加动反力反力，它可以通过调整加以消除。 使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力3030当刚体转轴为中心惯
10、性主轴时，轴承的附加动反力为零。当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O点的惯性主轴；过质心3131 静平衡：静平衡：刚体转轴过质心，则刚体在仅受重力而不受其它主动力时，不论位置如何，总能平衡。 动平衡：动平衡：转轴为中心惯性主轴时，转动时不产生附加动反力。二、静平衡与动平衡的概念二、静平衡与动平衡的概念3232例例1 质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a)3333 动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，动
11、平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，静平衡的刚体，不一定是动平衡的。不一定是动平衡的。例例2 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？(a) 绳子上加力G(b) 绳子上挂一重G的物体OO3434 根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。 达朗伯原理的应用达朗伯原理的应用3535
12、 选取研究对象选取研究对象。原则与静力学相同。 受力分析。受力分析。画出全部主动力和外约束反力。 虚加惯性力。虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。 运动分析。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出 方向。 应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点： 3636 列动静方程。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 求解求知量。求解求知量。 注注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。3737 例例
13、1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为I，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。 取系统为研究对象解：解：方法1 用达朗伯原理求解 受力分析如图； 虚加惯性力系：(虚加惯性力和惯性力偶)3838列补充方程： 代入上式得： 根据达朗伯原理求解：(虚加惯性力和惯性力偶)3939方法2 用动量矩定理求解 根据动量矩定理：取系统为研究对象4040取系统为研究对象，任一瞬时系统的两边除以dt，并求导数，得方法3 用动能定理求解4141例例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，
14、各重为P和Q，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？ (3)轴承O处的支反力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦力（不计滚动摩擦）？4242解：方法解：方法1 用达朗伯原理求解用达朗伯原理求解取轮O为研究对象，虚加惯性力偶列出动静方程：取轮A为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQC如图示。4343列出动静方程：运动学关系： ，将MQ，RQ，MQA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：4444代入(2)、(3)、(5)式，得：4545方法方法2 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求
15、鼓轮角加速度。 取系统为研究对象两边对t求导数：4646(2) 用动量矩定理求绳子拉力 （定轴转动微分方程） 取轮O为研究对象，由动量矩定理得(3) 用质心运动定理求解轴承O处支反力 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：4747(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力 取圆柱体A为研究对象， 根据刚体平面运动微分方程方法方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度：用动能定理求鼓轮的角加速度 用达朗伯原理求约束反力用达朗伯原理求约束反力（绳子拉力 、轴承O处反 力 和 及摩擦力 ）。4848例例3 均质圆柱体重为P，半径为R，无滑动地沿倾斜平板由静止自O点开始滚动。平板对水平线的倾角为 ，试求OA=S时平
16、板在O点的约束反力。板的重力略去不计。解解：(1) 用动能定理求速度，加速度圆柱体作平面运动。在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为：P4949 主动力的功：由动能定理 得对 t 求导数，则：(2) 用达朗伯原理求约束反力取系统为研究对象，虚加惯性力 和惯性力偶MQCP5050列出动静方程：5151例例4 绕线轮重P，半径为R及 r ，对质心O转动惯量为IO，在与水平成 角的常力T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析纯滚动的条件。解解：用达朗伯原理求解 绕线轮作平面运动 （纯滚动）由达朗伯原理，得将RQ 、MQO代入上式，可得5252纯滚动的条件： F f N 5353
