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1、二、二、二、二、对对坐坐坐坐标标的曲的曲的曲的曲线积线积分的分的分的分的计计算法算法算法算法三、两三、两三、两三、两类类曲曲曲曲线积线积分分分分间间的的的的联联系系系系一、一、一、一、对对坐坐坐坐标标曲曲曲曲线积线积分的概念分的概念分的概念分的概念第四节对坐标的曲线积分第四节对坐标的曲线积分 第五模第五模第五模第五模块块二重二重二重二重积积分与曲分与曲分与曲分与曲线积线积分分分分:一、一、一、一、对对坐坐坐坐标标曲曲曲曲线积线积分的概念分的概念分的概念分的概念引例引例变力沿曲力沿曲线所作的功所作的功.设一一质点点 在力在力 F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j 的作用下，
2、的作用下， 在在 xy 平面上沿曲平面上沿曲线 L从点从点 A 移移动到点到点 B， 求求变力力 F(x, y) 所作的功所作的功. 将有向弧段将有向弧段 L L 任分任分为 n n 个有向子弧段，个有向子弧段， 即用点即用点 A = M0(x0, y0)A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1) M1(x1, y1)， Mn(xn, yn) = Mn(xn, yn) = B B 把有把有向曲向曲线 L L 分成分成 n n 个有向小段，个有向小段，它相它相应的有向弦段的有向弦段为 第第 i i 段有向曲线弧段段有向曲线弧段为为 Mi -1Mi (i = 1, 2, Mi -1Mi
3、(i = 1, 2, , n), n)，Mi -1Mi = ( xi)i + ( yi)j ，B=MnMiMi -1M2M1A=M0(xi, hi) xi yiOF(xi, hi)xy:其中其中 xi = xi - xi - 1， yi = yi - yi - 1是有向小是有向小弧段弧段 Mi -1Mi 分别在分别在 x 轴和轴和 y 轴上的投影轴上的投影.如果函数如果函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在在 L上上连续， 则在每段小弧段上，在每段小弧段上， 它它们的的变化就不会太大，化就不会太大， 因此因此我们可以用有向弧段我们可以用有向弧段 Mi -1Mi 上任意一点上任意一点 (xi
4、, hi) 处受到的力处受到的力F(xi, hi) = P(xi, hi)i + Q(xi, hi)j，:近似代替近似代替 Mi -1Mi 上各点处受到的力上各点处受到的力. 这样，变这样，变力力 F(x, y) 沿有向小弧段沿有向小弧段 Mi -1Mi 所作的功所作的功 Wi就近似地等于常力就近似地等于常力 F (xi, hi) 沿有向弦段沿有向弦段 Mi -1Mi 所作的功，所作的功， 即即 Wi F(xi, hi) Mi -1Mi = P(xi, hi) xi + Q(xi, hi) yi . :于是变力于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧在有向曲线弧 MoMn 上所作功的上所作功的近
5、似值为近似值为 令令 表示表示 n 个小弧段的最大弧个小弧段的最大弧长， 当当 0 时， 上式上式的右端极限如果存在，的右端极限如果存在，则这个极限就是个极限就是 W 的精确的精确值，即即:上述和式的极限，就是如下两个和式的极限上述和式的极限，就是如下两个和式的极限与与:定义设定义设 L 为为 xy 平面上由点平面上由点 A 到点到点 B 的有向光的有向光滑曲线，滑曲线，即即 xi = xi xi-1( yi = yi yi-1).作和式作和式记记 xi (或或 yi)为有向小弧段为有向小弧段 Mi -1Mi 在在 x 轴轴( y 轴轴)上上的投影，的投影， 在在 Mi -1Mi 上任上任取一
6、点取一点 (xi ,hi)，记 为 n 个小弧段的最大弧个小弧段的最大弧长. 且函数且函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在在 L上有定上有定义. 由点由点 A 到点到点 B 把把 L 任意地分成任意地分成 n 个有向小弧段，个有向小弧段，记分点分点为:假设假设存在，存在，则称此极限称此极限值为函数函数 P(x, y)、(Q(x, y) 在有在有向曲向曲线上上对坐坐标 x (对坐坐标 y)的曲的曲线积分分.记作作:对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即简记为称之称之为组
7、合曲合曲线积分分.:设是有向曲线弧，记设是有向曲线弧，记- 是与方向相反的有向是与方向相反的有向曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：:或或若若=1 +2， 那么那么:二、二、二、二、对对坐坐坐坐标标曲曲曲曲线积线积分的分的分的分的计计算法算法算法算法设有向曲有向曲线 L 的参数式方程的参数式方程为x = x(t), y = y(t).又又设 t = a 对应于于 L 的起点，的起点，t = b 对应于于 L 的的终点点( (这里里 a a 不一定小于不一定小于b )b ) 当当 t 由由 a 变到到 b 时，点点 M(x, y) 描出有向曲描出有向曲
8、线 L，假假设 x(t)、 y(t) 在以在以 a、 b 为端点的端点的闭区区间上具有一上具有一阶连续的的导数，数，函数函数 P(x, y) 、 Q(x, y) 在在 L 上上连续，那么那么(11.2.1)(11.2.2):证明从略证明从略.对坐坐标的曲的曲线积分可以化分可以化为定定积分来分来计算，算，其要点是：其要点是：(1) (1) 由于由于 P(x, y) P(x, y)、 Q(x, y) Q(x, y) 定定义在曲在曲线 L L 上，所以上，所以 x x、 y y 应分分别换为 x(t) x(t)、 y(t) y(t)；(2) dx(2) dx、dy dy 是有向小曲是有向小曲线段在坐
9、段在坐标轴上的投上的投影，影， dx = x dx = x(t)dt(t)dt、 dy = y dy = y(t)dt (t)dt ； (3) (3) 起点起点 A A 对应的参数的参数 t = a t = a 是是对 t t 积分分的下限，的下限，终点点 B B 对应的参数的参数 t = t = 是是对 t t 积分的上限分的上限. .:如果有向曲线如果有向曲线 L 的方程为的方程为 y = y(x)，那，那么么这里里 a 是曲是曲线 L 的起点的横坐的起点的横坐标，b 是曲是曲线 L 的的终点的横坐点的横坐标， a 不一定小于不一定小于 b.:假设假设 L 的方程为的方程为 x = x(y
10、)，则有，则有其中其中 c 是曲是曲线 L 的起点的的起点的纵坐坐标，d 是曲是曲线 L 的的终点的点的纵坐坐标，c 不一定小于不一定小于 d .: 上式右端的上式右端的第二个曲第二个曲线积分化分化为定定积分分时，例例 1 1试计算曲线积分试计算曲线积分 其中其中 L 为沿着抛沿着抛物物线 y = x2 从点从点O (0, 0) 到点到点 A(2, 4)再沿直再沿直线由点由点 A(2, 4)到点到点 B(2, 0)解由于曲解由于曲线积分分对路径具有可加性，因此路径具有可加性，因此L2 为直直线段段 AB.由于由于 dx = 0， 所以所以它的它的值为零零. 又又 L1 的方程的方程为 y =
11、x2，故，故y1234A(2, 4)B(2, 0)x = 2y = x2L1L2x12O其中其中 L1 为曲线弧为曲线弧 OA，:例例 2 2试计算曲线积分试计算曲线积分 其中积分路径为其中积分路径为(1)(1)在椭圆在椭圆 ，从点从点 A(a, 0) 经第一、二、第一、二、三象限到点三象限到点B(0, - b).(2)(2)在直线上在直线上 ， 从点从点A(a, 0) 到点到点 B(0, - b).yxAOB:解解(1)因为所给椭圆的参数方程为因为所给椭圆的参数方程为且起点且起点 A 对应的参数的参数 t = 0.曲线上的对应点描出弧曲线上的对应点描出弧 AB，所以有所以有终点终点 B 对应
12、的参数对应的参数 ，当当t 由由 0 增大到增大到:(2)(2)因为所给线段因为所给线段 AB AB 所在的直线方程为所在的直线方程为 且起点且起点 A A 对应于对应于 x = a x = a，终点，终点 B B 对应于对应于 x = 0 x = 0， 所以所以:三、两三、两三、两三、两类类曲曲曲曲线积线积分分分分间间的的的的联联系系系系那么那么dx = dlcos(t, x),记记(t,x)(t,y)(t,x)(t,y)分别表示切线向量与分别表示切线向量与 x x 轴轴 y y 轴正向的夹角轴正向的夹角. .于是由示意图可知于是由示意图可知dy = dlsin(t, x) = dlcos(t, y),yxOABdydxdlt:
