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1、全全等等三三角角形形判判定定定定理理 （SAS）边角边定理边角边定理 湖南沅陵湖南沅陵 大合坪乡九校教师大合坪乡九校教师 曹新建曹新建2010年年12月月10日制日制湘教版一、温故知新：一、温故知新：1、什么样的两个三角形叫全等三角形？、什么样的两个三角形叫全等三角形？答：能够相互重合的两个三角形叫全等三角形。答：能够相互重合的两个三角形叫全等三角形。2、全等三角形有哪些性质？、全等三角形有哪些性质？答：全等三角形的对应边相等、对应角相等。答：全等三角形的对应边相等、对应角相等。ACBBAC（ 通通过图形的平移可知两个三角形是全等的形的平移可知两个三角形是全等的 ）回顾：回顾：3、下列两个三角
2、形是否全等？、下列两个三角形是否全等？想想：想想：4、再看下列两个三角形是否全等？、再看下列两个三角形是否全等？ABABOAB（ 通通过图形的旋形的旋转可知两个三角形是全等的可知两个三角形是全等的 ）再想：再想：回顾：回顾：（图形的形状和大小都没有发生改变）（图形的形状和大小都没有发生改变）5、图形在平移和旋转的变换过程中有什么共、图形在平移和旋转的变换过程中有什么共 同性质？同性质？ 下面我们就利用平移和旋转的知识来探讨下面我们就利用平移和旋转的知识来探讨三角形全等的判定方法：边角边定理！三角形全等的判定方法：边角边定理！二、讲授新课：二、讲授新课： 如果在如果在ABC和和ABC中，中，AB
3、=AB， B= B，BC=BC，那么，那么 ABC和和 ABC全等吗？全等吗？问题：问题：探究：探究：、如果、如果ABC和和ABC的位置关系如图的位置关系如图所示，则两个三所示，则两个三 、角角形全等吗？形全等吗？ABCC(B) AAC即将即将ABC绕顶点绕顶点B旋转，使旋转，使BC与与BC重合。重合。思考：思考：能否通过图能否通过图形旋转试试形旋转试试？旋转演示：旋转演示：发现：发现：通过旋转演示我们发现：发现：当BC与BC重合时，又 B=B，AB= AB， AB与AB也重合，从而AC与AC也重合了，于是ABC和 ABC 就完全重合了，因此得出ABC ABC。（图（图）、如果、如果ABC和和
4、ABC的位置关系如图的位置关系如图所示，则两个三所示，则两个三 角角形全等吗？形全等吗？探究：探究：CABBACBCA（图（图）能否通过图形的能否通过图形的平移和旋转试试平移和旋转试试？思考：思考：即先将即先将ABC平移，使顶点平移，使顶点B与与ABC的顶点的顶点B重合后，再绕点重合后，再绕点B旋旋转，使转，使BC与与BC重合。重合。变换演示：变换演示：发现：发现：通过变换演示我们发现：发现：当BC与BC重合时，又B=B， AB= AB， AB与AB也重合，从而AC与AC也重合了，于是ABC和 ABC 就完全重合了，因此也得出ABC ABC。发散：发散：本本小题的变换还有无其它小题的变换还有无
5、其它方式方式？请同学们再看？请同学们再看变换演示变换演示！变换演示：变换演示：当然变换的方式还有，这里就不再讲了，请同学们课后自行想想。当然变换的方式还有，这里就不再讲了，请同学们课后自行想想。探究探究：、如果、如果ABC和和ABC的位置关系如图的位置关系如图所示，则两个三所示，则两个三 角角形全等吗？形全等吗？思考：思考：变换演示：变换演示：（图（图）ABCABCABCABC能否通过图形轴能否通过图形轴对称和平移试试对称和平移试试？即先把即先把ABC以直线以直线m为轴作轴反射，为轴作轴反射，再把轴反射所得的图形平移与再把轴反射所得的图形平移与ABC重合。重合。 当然也可当然也可把把ABC以边
6、以边BC为轴作轴反为轴作轴反射后，再平移。射后，再平移。m发现：发现：通过变换演示我们发现：发现：ABC和ABC已完全重合了，从而也得出ABC ABC。归纳：归纳：通过对上面有相同已知条件，只是图形的位置不同的三个小题的探讨通过对上面有相同已知条件，只是图形的位置不同的三个小题的探讨与分析，我们可得出判定三角形全等的一种方法：与分析，我们可得出判定三角形全等的一种方法：边角边定理边角边定理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（角形全等（可简写成可简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”）。）。三、教学实例：三、教学实例：例例 1：如右图，如右图，AB
7、和和CD相交于点相交于点O，且，且AO=BO，CO=DO，求证：求证：ACO BDO。AoCBD分析：分析：在在 ACO 和和 BDO 中中 ： A O = B O （已知）（已知）C O = D O （已知）（已知）AOC=BOD （ 从图上从图上可知：可知： 它们是对顶角，它们是对顶角， 且且我们又知道对顶角相等我们又知道对顶角相等 ）可见：可见：该题中的两个三角形满足边角边定理所叙述的内容，即有两边和它们的夹角对应相等，因此这两个三角形全等全等。证明：证明：在在ACO和和BDO中：中： A O = B O （已知）（已知）AOC =BOD （对顶角相等）（对顶角相等）C O = D O
8、（已知）（已知）ACO BDO （SAS）注意：注意：所以，所以， ACO与与BDO全等。全等。 由于同学们学证明的时间不够长，所以做题时应特别由于同学们学证明的时间不够长，所以做题时应特别注意注意证明证明的每一的每一步都要有根据，这些根据可以是题中的已知条件步都要有根据，这些根据可以是题中的已知条件（特别要会从题中的图形特别要会从题中的图形上找出上找出隐含隐含的已知条件，即要会看图的已知条件，即要会看图），也可是我们学过的公理、定理和，也可是我们学过的公理、定理和定义。另外定义。另外证明证明三角形全等时还要三角形全等时还要注意注意对应顶点对应顶点应应书写在对应的位置上！书写在对应的位置上！例
9、例 2：ABABO分析：分析： 如右下图，正在修建的某高速公路要通过一座大山，现要从这座山中挖一条隧道，如右下图，正在修建的某高速公路要通过一座大山，现要从这座山中挖一条隧道，为了预算这条隧道的造价，必须知道隧道的长度，即这座山为了预算这条隧道的造价，必须知道隧道的长度，即这座山A、B两处的距离，你能想两处的距离，你能想出一个办法，测出出一个办法，测出AB的长度吗？的长度吗？解：解：如右图，确定点如右图，确定点O，使点，使点O可以到达可以到达A与与B两点。两点。连结连结AO并延长并延长AO至至A ，使，使OA=OA；连结连结BO并延长并延长BO至至B， 使使OB=OB；再连结再连结AB。在在A
10、OB和和AOB中：中： 要想直接测出要想直接测出AB的长度是不可能的，怎么办？的长度是不可能的，怎么办？ 我我们应在大山外的开阔地选择一合适的地点们应在大山外的开阔地选择一合适的地点O，使得从点，使得从点O可以到达可以到达A 、B两处，并测出两处，并测出AO与与BO的长度。的长度。 连结连结 AO并延长并延长AO至至A ，使，使OA=OA ； 连结连结BO并延长并延长BO至至B，使，使OB=OB ，再连结，再连结AB，然后只需证，然后只需证 B，问题就解决了。显然我们根据边角边定理易证，问题就解决了。显然我们根据边角边定理易证 BOABO，再根据全等三角形的性质可得出，再根据全等三角形的性质可
11、得出 ：AB=AAAB=AB。OA=OAOB=OBAOB=AOB AOBAOB （SAS） AB=AB （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）因此，测出因此，测出AB的长度就是这座大山的长度就是这座大山A处与处与B处的距离。处的距离。四、课堂练兵：四、课堂练兵：1、如下图，用两根钢条、如下图，用两根钢条AA和和BB ， 在中点在中点O处连在一起做成的工具（卡处连在一起做成的工具（卡钳）测量工件内槽的宽度（或齿轮的厚度）。钳）测量工件内槽的宽度（或齿轮的厚度）。 只要量出只要量出AB的长，就得出的长，就得出工件内槽宽度（或齿轮的厚度）工件内槽宽度（或齿轮的厚度）AB 。这是根据什么
12、道理呢？。这是根据什么道理呢？ABOAB 先根据边角边定理可证得先根据边角边定理可证得AOBAOB后，再根据全等三角形对后，再根据全等三角形对应边相等的性质得出应边相等的性质得出AB=AB 。2、如下图，已知、如下图，已知ADBC，AD=BC，那么，那么ADC和和CBA是全等三角形是全等三角形吗？吗？ABCD3 3、如下图，已知、如下图，已知AB=AC，其中，其中E，F分别是分别是AC，AB的中点。小明说：的中点。小明说：“线线段段BE和和CF相等。相等。” 你认为他说得对吗？你认为他说得对吗？ABC四、课堂小结：四、课堂小结：2、边角边定理（边角边定理（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的
13、两个三：有两边和它们的夹角对应相等的两个三3、证明时的每一个步骤要做到有根有据，特别注意的是全等三角、证明时的每一个步骤要做到有根有据，特别注意的是全等三角形的对应顶点一定要书写在对应的位置上。形的对应顶点一定要书写在对应的位置上。1、本节课我们主要运用了、本节课我们主要运用了平移平移、旋转旋转和和轴对称轴对称等知识推导出了判等知识推导出了判定三角定三角形全等的一种方法：边角边定理（形全等的一种方法：边角边定理（SAS）；）；角形全等；角形全等；五、知识拓展：五、知识拓展：动脑筋动脑筋：两位同学在白纸上分别画一个：两位同学在白纸上分别画一个ABC，使，使B=45，AB=3cm，AC=2.5cm
14、， 结果他们最后画出来的结果他们最后画出来的ABC如下图中的如下图中的、所示，所示， 问：问： 这两个三角形全等吗？由此你能得出什么结论？这两个三角形全等吗？由此你能得出什么结论？453cm2.5cmABC（图（图）452.5cm3cmABC（图（图） 这两个三角形不全等，可得出这两个三角形不全等，可得出结论结论：有两边和其中一边的对角对应相：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。即等的两个三角形不一定全等。即“边边角边边角”不能判定三角形全等。不能判定三角形全等。六、布置作业：六、布置作业：1、教书、教书P8283习题习题3.4中的第中的第3、4、5三题；三题；2、完成本节知识相应的、完成本节知识相应的基训基训里的题目；里的题目；3、预习预习教书的教书的P7677的内容。的内容。谢谢谢谢!
