二次函数最值问题的应用

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1、二次函数的应用二次函数的应用 1 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 ；当 a0时，抛物线开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 。抛物线上小下大高低 基础扫描 -202462-4xy若若3x3，该函数的最，该函数的最大值、最小值分别为大值、最小值分别为（）、（）、（）。）。 又若又若0x3，该函数的，该函数的最大值、最小值分别为（最大值、最小值分别为（）、（）、（）。）。求函数的最值问题，应注意什么求函数的最值问题，应注意什么? ?55 555 133、图中所示的二次函数图像的、图中所示的二次函数

2、图像的解析式为：解析式为： 2 2、求下列二次函数的最大值或最小值：、求下列二次函数的最大值或最小值： y=x22x3; y=x22x-3(0x3)26.3 实际问题与二次函数如何取得面积最大问题如何取得面积最大问题 问题：v用周长为用周长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面米的篱笆围成矩形场地，矩形面积积S随矩形一边长随矩形一边长L的变化而变化，当的变化而变化，当L是多是多少时，场地面积少时，场地面积S最大？最大？例例2：如图在：如图在ABC中中,AB=8,BC=6, B=90点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向点边向点B以以2S的速度移的速度移动，点动，点Q从点从点B开始沿开始沿BC边向点边

3、向点C以以1S的速的速度移动，如果度移动，如果P、Q分别从分别从A、B同时出发，几秒同时出发，几秒后的后的PBQ面积最大？最大面积是多少？面积最大？最大面积是多少？ABCPQ10米例例1：小明家门前有一块空地，空地外有一面长：小明家门前有一块空地，空地外有一面长10米米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一矩形花圃，他买回了修建一矩形花圃，他买回了32米长的钢管准备作为米长的钢管准备作为花圃的围栏。（如图所示）花圃的宽花圃的围栏。（如图所示）花圃的宽AD究竟为多少究竟为多少米才能使花圃的面积最大？（各边取整数米才能使花圃的面积最大？（各边

4、取整数）DABC练习练习1：如图，在一面墙的空地上用长：如图，在一面墙的空地上用长24米的篱笆，米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米。米，面积为平方米。（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围。）求与的函数关系式及自变量的取值范围。（2）当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是）当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？多少？（3）若墙的最大可用长度为）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最米，则求围成花圃的最大面积。大面积。ABCD小结：小结：（1）对于面积最值问题应该设图形一边长为自变）对于面积最值问

5、题应该设图形一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，写量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，写出函数关系式，利用二次函数有关知识求的最值。出函数关系式，利用二次函数有关知识求的最值。要注意自变量的取值范围，在取值范围内利用端要注意自变量的取值范围，在取值范围内利用端点或顶点求最值，注意数形结合。点或顶点求最值，注意数形结合。作业作业练习练习2：见课本：见课本4题题5题题问题问题1.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，售价是每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调件。市场调查反映：如果调整价格整价格，每涨价，每涨价1元，每

6、星期要少卖出元，每星期要少卖出10件。件。要想获要想获得得6090元的利润，该商品应定价为多少元？元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 元，要想获得6090元利润可列方程 。 6000 （20+x）（300-10x） (20+x)( 300-10x) (20+x)( 300-10x) =6090 自主探究已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件40元，售价是每件元，售价是每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件。市场调查反映：件。市场调查反映：如果调整

7、价格如果调整价格，每涨价，每涨价1元，每星期要少卖出元，每星期要少卖出10件。件。要想获得要想获得6090元的利润，该商品应定价元的利润，该商品应定价为多少元？为多少元？ 若设销售单价x元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示 为 件，一周的利润可表示 为 元，要想获得6090元利润可列方程 . （x-40）300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60)=6090问题问题2.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元，元，售售价价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。市件。市场调查反映

8、：如调整价格场调查反映：如调整价格，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件。件。该商品应定价为多该商品应定价为多少元时，商场能获得少元时，商场能获得最大利润最大利润？合作交流问题问题3.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格，每每降价降价一元，一元，每星期可每星期可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润利润最大最大？问题问题4.4.已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。

9、现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件；件；每每降价降价一元，每星期一元，每星期可可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润最大利润最大？解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y =(60-40+x)(300-10x) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x ) +6000 =-10(x-5)2-25 +6000

10、=-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65（元）（元）(0x30)怎样确定x的取值范围解解:设每件降价设每件降价x元时的总利润为元时的总利润为y元元.y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 （0x20）所以定价为所以定价为60-2.5=57.5时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6125元元. 答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时可元时可 获得最大利润为获得最大利润为6

11、250元元.由由(2)(3)的讨论及现在的销的讨论及现在的销售情况售情况,你知道应该如何定价你知道应该如何定价能使利润最大了吗能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围w 某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品, ,如果以单价如果以单价3030元销售元销售, ,那么半个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件. .根据销售经验根据销售经验, ,提提高单价会导致销售量的减少高单价会导致销售量的减少, ,即销售单价每提高即销售单价每提高1 1元元, ,销售销售量相应减少量相应减少2020件件. .售价售价提高多少元时提高多少元时, ,才能在半个月内获才能在半个月内

12、获得最大利润得最大利润? ?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元我来当老板牛刀小试 某果园有某果园有100100棵橙子树棵橙子树, ,每一棵树平每一棵树平均结均结600600个橙子个橙子. .现准备多种一些橙子树现准备多种一些橙子树以提高产量以提高产量, ,但是如果多种树但是如果多种树, ,那么树之那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少减少. .根据经

13、验估计根据经验估计, ,每多种一棵树每多种一棵树, ,平平均每棵树就会少结均每棵树就会少结5 5个橙子个橙子. .若每个橙子若每个橙子市场售价约市场售价约2 2元，问增种多少棵橙子树，元，问增种多少棵橙子树，果园的总产值最高，果园的总产值最高果园的总产值最高，果园的总产值最高约为多少？约为多少？创新学习反思感悟 通过本节课的学习，我的收获是？课堂寄语 二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，同学们，认真学习数学吧，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。1.已知某商品的进价为每件已知某商品的进价为每件4040元。现在的售价元。现在的售价是每件是每件6060元，每星期

14、可卖出元，每星期可卖出300300件。市场调查件。市场调查反映：如调整价格反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要，每涨价一元，每星期要少卖出少卖出1010件；每降价一元，每星期可多卖出件；每降价一元，每星期可多卖出2020件。如何定价才能使利润最大？件。如何定价才能使利润最大？ 在在上上题题中中,若若商商场场规规定定试试销销期期间间获获利利不不得得低低于于40%又又不不得得高高于于60%，则则销销售售单单价价定定为为多多少少时时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？商场可获得最大利润？最大利润是多少？能力拓展 2.(09中考)某超市经销一种销售成本为每件40元的商品据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件设销售单价为x元(x50)，一周的销售量为y件(1)写出y与x的函数关系式(标明x的取值范围)(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？(3)在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？中考链接