No3内积空间正规矩阵(下)教程课件

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1、高等代数与矩阵分析高等代数与矩阵分析重庆邮电大学 数理学院鲜思东鲜思东 第三章第三章 内积空间、正规内积空间、正规矩阵与矩阵与HermiteHermite矩阵矩阵3 3 酉变换、正交变换酉变换、正交变换酉变换、正交变换酉变换、正交变换4 4 幂等矩阵、正交投影幂等矩阵、正交投影幂等矩阵、正交投影幂等矩阵、正交投影7 Hermite7 Hermite变换、正变换、正变换、正变换、正规变换规变换规变换规变换2 2 标准正交基、标准正交基、标准正交基、标准正交基、SchmidtSchmidt方法方法方法方法1 1 欧式空间、酉空间欧式空间、酉空间欧式空间、酉空间欧式空间、酉空间8 8 Hermite

2、Hermite矩阵、矩阵、矩阵、矩阵、 HermiteHermite二次齐式二次齐式二次齐式二次齐式9 9 9 9 正定二次齐式、正定二次齐式、正定二次齐式、正定二次齐式、 正定正定正定正定HermiteHermite矩阵矩阵矩阵矩阵5 5 对称与反对称变换对称与反对称变换对称与反对称变换对称与反对称变换6 Schur6 Schur引理、正规矩阵引理、正规矩阵引理、正规矩阵引理、正规矩阵10 Hermite10 Hermite10 Hermite10 Hermite矩阵偶矩阵偶矩阵偶矩阵偶在复相合下的标准形在复相合下的标准形在复相合下的标准形在复相合下的标准形11 Rayleigh11 Ray

3、leigh11 Rayleigh11 Rayleigh商商商商例例例例 1 1 1 1 设设 是欧式空间是欧式空间 的一个子空间，那么的一个子空间，那么 在在 上的正交投影变换上的正交投影变换 就是一个对称变换。就是一个对称变换。5、对称和反对称矩阵、对称和反对称矩阵定义定义定义定义1 1 1 1 设设 是欧式空间是欧式空间 上一个线性变换，如果上一个线性变换，如果对任意的对任意的 ，都有，都有证明证明证明证明 任取任取 设设称称 为为 的一个的一个的一个的一个对称变换对称变换对称变换对称变换。于是有于是有于是有于是有由正交投影的定义，由正交投影的定义， 则则定义定义定义定义2 2 2 2 设

4、设 是欧式空间是欧式空间 上的一个线性变换，如果对上的一个线性变换，如果对任意任意 都有都有称称 为为 的一个的一个的一个的一个反对称变换反对称变换反对称变换反对称变换。定理定理定理定理 3 3 3 3 欧式空间的对称变换是可对角化的线性变换。欧式空间的对称变换是可对角化的线性变换。定理定理定理定理 1 1 1 1 设设 是欧式空间是欧式空间 上一个对称变换，如果上一个对称变换，如果 是是 的不变子空间，则的不变子空间，则 也是也是 的不变子空间。的不变子空间。定理定理定理定理 2 2 2 2欧式空间 上的线性变换 是对称变换的充要条件是 在 的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。定理定理定

5、理定理 4 4 4 4 设设 是欧式空间是欧式空间 上一个反对称变换，如果上一个反对称变换，如果 是是 的不变子空间，则的不变子空间，则 也是也是 的不变子空间。的不变子空间。定理定理定理定理 5 5 5 5欧式空间 上的线性变换 是反对称变换的充要条件是 在 的任意一个标准正交基下的矩阵是反对称矩阵。在在在在 这个标准基下对应的矩阵为这个标准基下对应的矩阵为这个标准基下对应的矩阵为这个标准基下对应的矩阵为因此因此 既是正交变换既是正交变换, ,又是对称变换又是对称变换, ,称其为称其为镜面反射镜面反射镜面反射镜面反射. .例例例例 2 2 2 2 在在 中，设中，设 为过直角坐标系原点的平面

6、为过直角坐标系原点的平面 的单位法向量，变换的单位法向量，变换 是是可以验证：对任意可以验证：对任意可以验证：对任意可以验证：对任意 ，任意实数，任意实数，任意实数，任意实数 有有有有将将将将 扩展为扩展为扩展为扩展为 的一个标准基的一个标准基的一个标准基的一个标准基 ，有，有，有，有6、Schur引理与正规矩阵引理与正规矩阵 从纯代数角度看，如果从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限去掉乘积为单位矩阵的限制制， 两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果为其转置，因此如果再限定两矩阵互为转置再限定两矩阵互为转置，即要求，即要求成立成

7、立 ，情况又如何？，情况又如何？两方阵两方阵 互逆的条件是成立关系式互逆的条件是成立关系式显然对称矩阵显然对称矩阵 和反对称矩阵和反对称矩阵 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具有性质有性质 的矩阵就的矩阵就“一统江湖一统江湖”，具有，具有了统一性，我们称之为了统一性，我们称之为正规矩阵正规矩阵。 对称矩阵最主要的性质是对称矩阵最主要的性质是可以对角化可以对角化，尤其是可，尤其是可以以正交对角化正交对角化，推广到正规矩阵后这个性质是否还能，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留呢？为此，我们先给出下面的引理。保留呢？为此，我们先给出下面的引

8、理。定义定义定义定义1 1 1 1 设 ，若存在 使得则说则说 酉相似酉相似（或（或正交相似正交相似）于）于 。一、一、 Schur 引理引理100多年前多年前(1909年年)给出的给出的Schur 引理是矩阵理论中引理是矩阵理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。计算中也具有相当重要的地位。并称并称 为方阵为方阵 的的Schur分解分解。定理定理定理定理 1 1 1 1 ( ( Schur 引理引理 ) ) 任何复方阵任何复方阵 必必酉相似酉相似于于一个一个上三角阵上三角阵 。即存在酉矩阵。即存在酉矩阵 ，使，

9、使证明：证明：用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。 取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，因为 构成 的一个标准正交基，故，因此其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足(上三角矩阵)令那么其中等号成立的充要条件是其中等号成立的充要条件是 酉相似于对角矩阵。酉相似于对角矩阵。证明证明 由由Schur引理，存在引理，存在 ，使得，使得定理定理定理定理 2 2 2 2 ( (Schur 不等式不等式) ) 设设 为为 的的特征值特征值，则，则其中其中结论成立！结论成立！故故即即又又试

10、求酉矩阵试求酉矩阵 使得使得 为上三角矩阵为上三角矩阵.例例1: 已知矩阵已知矩阵解解: 首先求矩阵首先求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的三重特征值的三重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量再解与其内积为零的方程再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量求得一个单位解向量再解与再解与 内积为零的方程组内积为零的方程组又求得一个单位解向量又求得一个单位解向量计算可得计算可得取取再求矩阵再求矩阵 的特征值的特征值所以所以 为矩阵为矩阵 的二重特征值的二重特征值. 当当 时时, 有单位特征向量有单位特征向量令令求得一个单位解向量求得一个单位解向量再解与其内积为零的方程再

11、解与其内积为零的方程取取计算可得计算可得令令则则于是有于是有矩阵矩阵 即为所求的酉矩阵即为所求的酉矩阵.二、正规矩阵二、正规矩阵定义定义定义定义 2 2 2 2 方阵方阵 是是正规正规的，当且仅当的，当且仅当引理引理引理引理 2 2 2 2 满足满足 的三角阵的三角阵 必是对角阵。必是对角阵。设设 , 如果如果 同样满足同样满足那么称矩阵那么称矩阵 为一个为一个实正规矩阵实正规矩阵.引理引理引理引理 1 1 设设设设 为正规矩阵，则与为正规矩阵，则与 酉相似的矩阵均是正规酉相似的矩阵均是正规矩阵。矩阵。证明证明对上三角阵对上三角阵 ，比较等式，比较等式两边乘积矩阵在第两边乘积矩阵在第 行第行第

12、 列位置上的元素列位置上的元素 ，并注，并注意到意到 ，因此对，因此对 ，有，有当当 时，有时，有 可知可知对对 施行归纳法，可得施行归纳法，可得 ，证毕。，证毕。例例 2 2 判断下列矩阵是不是正规矩阵：判断下列矩阵是不是正规矩阵：（1）实对称矩阵（）实对称矩阵（ ）；）；（2）实反对称矩阵（）实反对称矩阵（ ）；）；（3）正交矩阵）正交矩阵 （ ）；）；（4）酉矩阵（）酉矩阵（ ）；）；（5）Hermite 矩阵矩阵（ ）；）；（6）反反Hermite 矩阵矩阵（ ）；）；（7）形如）形如 的矩阵。的矩阵。 H-阵阵, 反反H-阵阵, 正交矩阵正交矩阵, 酉矩阵酉矩阵, 对角矩对角矩阵都是

13、正规矩阵阵都是正规矩阵.定理定理定理定理 3 3 3 3 方阵方阵 是正规的，当且仅当是正规的，当且仅当 与对角矩与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。征值。证明证明证明证明：必要性：必要性：必要性：必要性。如果。如果 是正规矩阵，那么存在酉是正规矩阵，那么存在酉矩阵矩阵 及对角阵及对角阵 使得使得 ，即，即因此因此充分性充分性充分性充分性。若有。若有 ，显然可验证，显然可验证称之为称之为正规矩阵的结构定理。正规矩阵的结构定理。推论推论 3 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交彼此正交.

14、推论推论 2 : 阶正规矩阵有阶正规矩阵有 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量 . 推论推论 1 : 设设 是正规矩阵，是正规矩阵， 是是 的特征值，的特征值，对应的特征向量是对应的特征向量是 ，则，则 是是 的特征值，的特征值，其对应的特征向量是其对应的特征向量是 . 解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值求正交矩阵求正交矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.例例 1 : 设设其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在将现在将 单位化并正交化单位化并正交化, 得到两个标得到两个标准正交向量准正交向量对于特征值对于特征

15、值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵则矩阵 即为所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有例例 2 : 设设求酉矩阵求酉矩阵 使得使得 为对角矩阵为对角矩阵.解解: 先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组其特征值为其特征值为求得其一个基础解系求得其一个基础解系现在将现在将 单位化单位化, 得到一个单位向量得到一个单位向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一

16、个单位向量将其单位化得到一个单位向量对于特征值对于特征值 解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵则矩阵 即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有定理定理4: 设设 是正规矩阵是正规矩阵, 则则 (1) 是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值为实数的特征值为实数. (3) 是酉矩阵的充要条件是是酉矩阵的充要条件是 的特征值的模的特征值的模长为长为1 . (2) 是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是 的特征值实部的特征值实部为零为零. 注意注意: 正规矩阵

17、绝不仅此三类正规矩阵绝不仅此三类.例例 3 : 设设 是一个反是一个反H-阵阵, 证明证明:是酉矩阵是酉矩阵.证明证明: 根据酉矩阵的定义根据酉矩阵的定义由于由于 是反是反H-阵阵, 所以所以 这样这样于是可得于是可得 这说明这说明 为酉矩阵为酉矩阵.例例 4 : 设设 是一个是一个 阶阶H-阵且存在自然数阵且存在自然数 使得使得 , 证明证明: .证明证明: 由于由于 是正规矩阵是正规矩阵, 所以存在一个酉所以存在一个酉矩阵矩阵 使得使得于是可得于是可得这样这样从而从而即即例例 5 5 设设 为正规矩阵，且为正规矩阵，且 ，则，则因为因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵是正规矩阵，所以存在酉矩阵

18、 ，使得，使得 再由再由 ，得，得因此因此 ，即，即 ，故，故 从而从而 ，故，故定理定理 5 5 设设 为正规矩阵，则为正规矩阵，则 可以同时酉对角化可以同时酉对角化的充要条件是的充要条件是 可以同时酉对角化的含义是可以同时酉对角化的含义是存在一个存在一个 阶酉矩阵阶酉矩阵 使得使得结论结论 设设 为为Hermite(Hermite(实对称实对称) )矩阵，且矩阵，且 则存在酉矩阵则存在酉矩阵 使得使得课后思考课后思考1、实正规矩阵是否正交相似于实、实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵？对角矩阵？2、实正规矩阵是否正交相似于复、实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵？对角矩阵？3、实正规矩阵正交相

19、似于什么、实正规矩阵正交相似于什么样的样的“简单简单”矩阵？矩阵？7、 Hermite变换与正规变换变换与正规变换单从变换的角度我们很难把单从变换的角度我们很难把Hermite变换变换(对称对称变换变换)与正规变换联系起来，但从与正规变换联系起来，但从Hermite矩阵矩阵(对称矩阵对称矩阵)的定义，或者从的定义，或者从Hermite矩阵矩阵(对称对称矩阵矩阵) 都可对角化上却能找到两者的关联，这都可对角化上却能找到两者的关联，这似乎可以作为数学的似乎可以作为数学的“奇异美奇异美”的一个例证。的一个例证。正规变换可以说是对称变换、正交变换等的推正规变换可以说是对称变换、正交变换等的推广和抽象，

20、即只关心永恒的主题广和抽象，即只关心永恒的主题-“对角化对角化”的问题。这又一次体现出现代数学高度的的问题。这又一次体现出现代数学高度的抽象抽象和和统一统一。推广到酉空间，相应的矩阵称为推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵矩阵，满足，满足关系式关系式既然矩阵与变换一一对应，那么既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢对称矩阵与什么样的变换对应呢？我们知道，实对称矩阵我们知道，实对称矩阵 满足关系式满足关系式设设 在酉空间在酉空间 的一组标准正交基的一组标准正交基 下的矩阵表示为下的矩阵表示为 且且 。任取任取 ，设，设则则定义定义定义

21、定义1 1 1 1 设设 是酉空间（或是酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线上的线性变换，称性变换，称 为为 上的上的 Hermite Hermite 变换（变换（变换（变换（自伴变换自伴变换自伴变换自伴变换） ，如果对任意，如果对任意 ， 都有都有一、一、 Hermite变换（自伴变换）变换（自伴变换）定理定理定理定理 1 1 1 1 酉空间（或酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的线性变换上的线性变换 是是 Hermite Hermite 变换（变换（变换（变换（自伴变换自伴变换自伴变换自伴变换）的的充要条件充要条件是是 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵的任意一组标准正交基下的矩阵 满足满足

22、所以所以从而从而证明证明： 必要性。必要性。必要性。必要性。 设设 在在 的一组标准正交基的一组标准正交基 下的矩阵表示为下的矩阵表示为 。充分性显然。充分性显然。充分性显然。充分性显然。定义定义定义定义2 2 2 2 设设 是酉空间是酉空间 上的线性变换，如果对任上的线性变换，如果对任意意 ， 都有都有并称并称 为为 的一个的一个反反Hermite变换变换。定理定理定理定理 2 2 2 2 酉空间酉空间 上的上的Hermite Hermite 变换变换变换变换 的的特征值特征值是实数。是实数。定理定理定理定理 3 3 3 3 酉空间酉空间 上的线性变换上的线性变换 是是反反反反Hermite

23、 Hermite 变换变换变换变换的的充要条件充要条件是是 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵的任意一组标准正交基下的矩阵 满足满足例例1 1 ( (Cayley变换变换) ) 方阵方阵 是实反对称矩阵，那是实反对称矩阵，那么么 是非奇异的，并且是非奇异的，并且Cayley变换矩阵变换矩阵证明证明： 因为因为 ，所以对任意的，所以对任意的 ， 有有因此因此 。对于。对于由于由于 ，从而方程组，从而方程组只有零解，所以只有零解，所以 是非奇异的。是非奇异的。由于由于所以所以从而可推出从而可推出是正交矩阵。是正交矩阵。定义定义定义定义3 3 3 3 设设 是酉是酉(欧氏欧氏)空间空间 上的线性变换

24、，如果上的线性变换，如果存在存在 上一个线性变换上一个线性变换 ， 使得使得称称 有一个有一个伴随变换伴随变换 。定理定理定理定理 4 4 4 4 设设 是一个酉是一个酉(欧氏欧氏)空间，空间， 是是 上上一个标准正交基，一个标准正交基， 是是 上的线性变换，且上的线性变换，且 在上述在上述基对应的矩阵为基对应的矩阵为 ，那么，那么 的伴随变换的伴随变换 在在该基下的矩阵表示该基下的矩阵表示 为为另外另外 伴随矩阵的一些重要性质。伴随矩阵的一些重要性质。定理定理5: 设设 是是 维酉维酉(欧氏欧氏)空间空间, 和和 都是都是 上上的线性变换，的线性变换， 为一个为一个(实实)复数，则复数，则定

25、理定理6: 设设 是是 维酉维酉(欧氏欧氏)空间空间, 是是 上的上的一个线性变换，如果一个线性变换，如果 是是 的的 不变子空间，不变子空间，那么那么 也是也是 的不变子空间。的不变子空间。定义定义定义定义4 4 4 4设设 是酉是酉( (欧氏欧氏) )空间，空间， 是是 上的线性变换，如上的线性变换，如果满足果满足二、正规变换二、正规变换(Normal Transformation)称为称为 是是正规变换正规变换正规变换正规变换。定理定理7: 设设 是是 维酉维酉(欧氏欧氏)空间空间, 是是 上的一上的一个线性变换，个线性变换， 是正交变换的是正交变换的充要条件充要条件是是 在在 的的任意

26、一个标准正交基下的矩阵式正规矩阵。任意一个标准正交基下的矩阵式正规矩阵。定理定理定理定理8 8 8 8 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似酉相似的。的。证明证明：设正规变换设正规变换 在在 的两组标准正交基的两组标准正交基 和和 下的矩阵表示下的矩阵表示分别为分别为 ，并设，并设显然过渡矩阵显然过渡矩阵 是酉矩阵是酉矩阵（请试试自己证明一下）（请试试自己证明一下）因为因为 所以所以 ，结论成立。，结论成立。根据定理根据定理8 8，正规变换在任一标准正交基下的矩阵，正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示必定酉相似于对角阵。表示必定酉相似于对角阵。上一

27、节有上一节有:正规矩阵一定酉相似于一个对角矩阵正规矩阵一定酉相似于一个对角矩阵.定理定理10: 酉空间酉空间 上的一个线性变换上的一个线性变换 是正交是正交变换，变换，当且仅当当且仅当在在 中存在一个标准正交基，中存在一个标准正交基，使得使得 在该基下对应的矩阵为对角矩阵。在该基下对应的矩阵为对角矩阵。定理定理9: 设设 是酉空间是酉空间 的一个正规变换。则存的一个正规变换。则存在在 的一个标准正交基，使得的一个标准正交基，使得 在该基下对应在该基下对应的矩阵为对角矩阵。即酉空间上的正规变换是可的矩阵为对角矩阵。即酉空间上的正规变换是可以对角化的线性变换。以对角化的线性变换。例例 2 : 设设

28、 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 则存在酉矩则存在酉矩阵阵 使得使得证明证明: 由于由于 为一个为一个H-阵阵, 所以存在酉所以存在酉矩阵矩阵 使得使得又由于又由于 为一个幂等为一个幂等H-阵阵, 从而从而或或将将1放在一起放在一起, 将将0放在一起放在一起, 那么可找到一那么可找到一个酉矩阵个酉矩阵 使得使得这里这里 为矩阵为矩阵 的秩的秩.8、Hermite矩阵及矩阵及Hermite二次齐式二次齐式Hermite矩阵的基本性质矩阵的基本性质一、一、 Hermite矩阵及实对称矩阵的性质矩阵及实对称矩阵的性质引理引理: 设设 , 则则 (1) 都是都是H-阵阵. (2) 是反是反H-阵阵.

29、(3) 如果如果 是是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵阵, 为为任意正整数任意正整数. (4) 如果如果 是可逆的是可逆的H-阵阵, 那么那么 也是可也是可逆的逆的H-阵阵.(5) 如果如果 是是H-阵阵(反反H-阵阵), 那么那么 是反是反H-矩阵矩阵(H-阵阵), 这里这里 为虚数单位为虚数单位.(6) 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵阵, 这里这里 均为实数均为实数. (7) 如果如果 都是都是H-阵阵, 那么那么 也是也是H-阵的阵的充分必要条件充分必要条件是是定理定理2: 设设 , 则则 (1) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意

30、的 是实数是实数. (2) 是是H-阵的充分必要条件是对于阵的充分必要条件是对于任意的任意的 阶方阵阶方阵 为为H-阵阵.定理定理1：定理定理3: 设设 , 则则 是是H-阵的充分必要阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵条件是存在一个酉矩阵 使得使得H-阵的结构定理阵的结构定理其中其中 , 此定理经常叙述此定理经常叙述为为: H-阵酉相似于实对角矩阵阵酉相似于实对角矩阵.推论推论: 实对称阵正交相似于实对角矩阵实对称阵正交相似于实对角矩阵. 定理定理定理定理 4 4 4 4 设设 ，则，则 是实对称矩阵的充要条是实对称矩阵的充要条件是存在件是存在 ，使得，使得其中其中 是实数。是实数。定理定理定理

31、定理5 5 5 5 设设设设 是秩为是秩为是秩为是秩为 的的的的 阶阶阶阶HermiteHermite矩阵，则存在矩阵，则存在 ，满足，满足其中其中 是实数。是实数。二、二、 Hermite二次型、实二次齐式二次型、实二次齐式其对应的矩阵其对应的矩阵 ，显然是，显然是Hermite Hermite 矩阵。矩阵。矩阵。矩阵。定义定义定义定义1 1 1 1 HermiteHermite二次型二次型二次型二次型或或复二次型复二次型复二次型复二次型指的是指的是复系数二复系数二次齐次复多项式次齐次复多项式称称 是是 Hermite Hermite 二次齐式。二次齐式。二次齐式。二次齐式。若做可逆线性变换

32、若做可逆线性变换 则则显然，显然， ，且，且定理定理定理定理 6 6 6 6 对于对于Hermite二次型二次型存在存在酉变换酉变换 ，将二次型化为，将二次型化为标准型标准型标准型标准型其中其中 是是 的特征值。的特征值。注意：注意：注意：注意： 任何一个实二次齐次多项式都可以写成实二次型。但任何一个实二次齐次多项式都可以写成实二次型。但任何一个实二次齐次多项式都可以写成实二次型。但任何一个实二次齐次多项式都可以写成实二次型。但是一个复二次齐次多项式不一定是一个是一个复二次齐次多项式不一定是一个是一个复二次齐次多项式不一定是一个是一个复二次齐次多项式不一定是一个 HermiteHermite二

33、次型二次型二次型二次型。定理定理定理定理7 7 7 7 （惯性定理惯性定理惯性定理惯性定理） 对于对于Hermite二次齐式二次齐式存在可逆的线性变换存在可逆的线性变换 ,将二次型化成将二次型化成规范型规范型规范型规范型其中其中 是是 的秩。的秩。解解: 例例1: 写出下面写出下面Hermite二次型的矩阵表达式二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形并用酉线性替换将其化为标准形.9、正定二次齐式和正定、正定二次齐式和正定Hermite矩阵矩阵实数域内经常处理的矩阵是实数域内经常处理的矩阵是对称正定矩阵对称正定矩阵，关于它有许多优美的结论。将数域推广到关于它有许多优美的结论。将数域推广

34、到复数域，考察相应的结论，这就是本节的复数域，考察相应的结论，这就是本节的主题。主题。定义定义定义定义1 1 1 1 设设 是酉空间（或是酉空间（或欧氏空间欧氏空间） 上的上的Hermite 变换（或变换（或对称变换对称变换），称），称 为为 上的上的 正定变正定变正定变正定变换（换（换（换（非负定变换非负定变换非负定变换非负定变换），如果对任意，如果对任意 ， 都有都有并称并称 在在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为的任意一组标准正交基下的矩阵表示为正正正正定定定定Hermite Hermite 矩阵或矩阵或矩阵或矩阵或正定对称矩阵正定对称矩阵正定对称矩阵正定对称矩阵( (非负定非负定非负

35、定非负定Hermite Hermite 矩阵或矩阵或矩阵或矩阵或非负定对称矩阵非负定对称矩阵非负定对称矩阵非负定对称矩阵) ) 。定义定义定义定义2 2 2 2 Hermite二次型二次型 称为称为正定的正定的正定的正定的，如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 ；当且；当且仅当仅当 时时 。其对应的矩阵显然是。其对应的矩阵显然是正定正定正定正定Hermite Hermite 矩阵矩阵矩阵矩阵。定义定义定义定义3 3 3 3 Hermite二次型二次型 称为称为非负定非负定非负定非负定的的的的，如果对任意，如果对任意 ，恒有，恒有 。其。其对应的矩阵显然是对应的矩阵显然是非负定非负定非负定非负定H

36、ermite Hermite 矩阵矩阵矩阵矩阵。引理引理引理引理1 1 1 1 若若若若 是正线上三角阵，且是酉矩阵，则是正线上三角阵，且是酉矩阵，则是正线上三角阵，且是酉矩阵，则是正线上三角阵，且是酉矩阵，则 是单位阵。是单位阵。是单位阵。是单位阵。引理引理引理引理2 2 2 2 HermiteHermiteHermiteHermite二次型二次型二次型二次型 的正定性的正定性的正定性的正定性( ( ( (负定性、负定性、负定性、负定性、半正定性、半负定性半正定性、半负定性半正定性、半负定性半正定性、半负定性) ) ) )经满秩线性变换经满秩线性变换经满秩线性变换经满秩线性变换 下保持不下保

37、持不下保持不下保持不变。变。变。变。定理定理定理定理1 1 1 1对对Hermite二次型二次型 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是正定的；是正定的；（2 2） 的特征值全是正数；的特征值全是正数； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（4 4） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（5 5） 存在存在 阶可逆阶可逆Hermite矩阵矩阵 ，使得，使得(6) 存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.证明：证明：可证可证以及以及定理定理定理定理2 (2 (2 (2 (霍尔维茨霍尔维茨霍尔维茨霍尔维

38、茨( ( ( (HurwitzHurwitz) ) ) )定理定理定理定理) ) 阶阶Hermite矩阵矩阵 为正定为正定Hermite矩阵的矩阵的充要条件充要条件是矩阵是矩阵 的各阶的各阶顺序主子式皆为正数，即顺序主子式皆为正数，即这里这里推论推论推论推论 阶阶Hermite矩阵矩阵 为负定为负定Hermite矩阵的矩阵的充充要条件要条件是是例例 1 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 且又是酉矩且又是酉矩阵阵, 则则证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以必存在酉所以必存在酉矩阵矩阵 使得使得由于由于 又是酉矩阵又是酉矩阵, 所以所以这样必有这样必有 , 从而从

39、而例例 2 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一是一个反个反H-阵阵, 证明证明: 与与 的特征值实的特征值实部为零部为零.证明证明: 设设 为矩阵的任意一个特征值为矩阵的任意一个特征值, 那那么有么有 . 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 使得使得将其代入上面的特征多项式有将其代入上面的特征多项式有这说明这说明 也是矩阵也是矩阵 的特征值的特征值. 另一方另一方面注意矩阵面注意矩阵 为为H-反阵反阵, 从而从而 实部实部为零为零.同样可以证明另一问同样可以证明另一问. 例例 3 : 设设 是一个正定的是一个正定的H-阵阵, 是一个是一个

40、反反H-阵阵, 证明证明: 是可逆矩阵是可逆矩阵.证明证明: 由于由于 是一个正定是一个正定H-阵阵, 所以存在可所以存在可逆矩阵逆矩阵 使得使得另一方面注意矩阵另一方面注意矩阵 仍然为正定仍然为正定H-阵阵, 而而矩阵矩阵 为为H-反阵反阵, 由上面的例题结论可知由上面的例题结论可知这表明这表明 是可逆的是可逆的. 于是于是矩阵矩阵 的特征值实部为零的特征值实部为零, 那么矩阵那么矩阵的特征值中不可能有零的特征值中不可能有零, 从而从而定理定理定理定理3 3 3 3对对 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是非负定的；是非负定的；（2 2） 的特征值

41、全是非负的；的特征值全是非负的； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 这里这里 为为 的秩；的秩；（4 4） 存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得 ；（5 5） 存在存在 阶阶Hermite矩阵矩阵 ，使得，使得证明证明: 设设 为为 的全部特征值的全部特征值,由于由于 是半正定的是半正定的, 所以所以 . 于是有于是有 例例 4 : 设设 是一个半正定的是一个半正定的H-阵且阵且 证明证明: 定理定理4: 设设 是正定是正定(半正定半正定)Hermite矩阵矩阵, 那那么存在唯一的正定么存在唯一的正定(半正定半正定) Hermite矩阵矩阵 使使得得 ，且对任

42、何一个与，且对任何一个与 可交换的矩阵可交换的矩阵 必必和和 可以交换可以交换(即若即若 ,则则 ).定义定义定义定义4 4 4 4 给定实二次齐式给定实二次齐式 称为称为正定正定正定正定的的的的，如果对任意，如果对任意 ，恒有，恒有 ；当且仅当当且仅当 时时 。其对应的矩阵显。其对应的矩阵显然是然是正定正定正定正定 矩阵矩阵矩阵矩阵。定义定义定义定义5 5 5 5 给定实二次齐式给定实二次齐式 称为称为非负定非负定非负定非负定的的的的，如果对任意，如果对任意 ，恒有，恒有 。其。其对应的矩阵显然是对应的矩阵显然是非负定矩阵非负定矩阵非负定矩阵非负定矩阵。定理定理定理定理5 5 5 5 对对实

43、实二次齐式二次齐式 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 是正定的；是正定的；（2 2） 的特征值全是正数；的特征值全是正数； （3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（4 4） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 ；（5 5） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得(6) 存在正线上三角矩阵存在正线上三角矩阵 使得使得 , 且此分解是唯一的且此分解是唯一的.定理定理定理定理6 6 6 6对对 阶阶 实对称矩阵实对称矩阵 ，下列命题是等价的：下列命题是等价的：（1 1） 半正定的；半正定的；（2 2） 的特征值全是非负的；的特征值全是非负的； （

44、3 3） 存在存在 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 这里这里 为为 的秩；的秩；（4 4） 存在秩为存在秩为 的的 阶矩阵阶矩阵 使得使得 ；（5 5） 对任何对任何 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 ，使得，使得 半正定的半正定的定理定理7: 设设 是正定是正定(半正定半正定)实对实对 称矩阵称矩阵, 那那么存在唯一的正定么存在唯一的正定(半正定半正定) 实对称矩阵实对称矩阵 使得使得 ，且对任何一个与，且对任何一个与 可交换的矩阵可交换的矩阵 必和必和 可以可以交换交换(即若即若 ,则则 ).例例 5 : 设设 都是都是 阶正定阶正定H-阵，则阵，则 的根全为正实数。的根全为正实数。证明证明：因为

45、：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵是正定的，所以存在可逆矩阵 使得使得另一方面注意到另一方面注意到 是一个正定是一个正定H-阵，阵，从而有从而有例例 6 (6 (Schur补：思考题补：思考题) ) 阶方阵阶方阵 有如下分块有如下分块则则 是正定是正定Hermite矩阵的矩阵的充要条件充要条件是是 和和 的的的的Schur补补补补 都是正定都是正定Hermite矩阵。矩阵。证明：证明：利用即可利用即可例例 7 (7 (广义特征值问题的同时合同对角化广义特征值问题的同时合同对角化) )对于对于广义特征值问题广义特征值问题广义特征值问题广义特征值问题 ，如果，如果 均为均为Hermite矩阵，并且

46、矩阵，并且 还是正定矩阵还是正定矩阵，那么存在那么存在可逆矩阵可逆矩阵 ，使得，使得这里这里 是原广义特征值问题的是原广义特征值问题的特征值。特征值。证明：证明：由于由于 是是Hermite正定正定矩阵，所以有矩阵，所以有再根据再根据 是是Hermite矩阵，所以有酉相似矩阵，所以有酉相似令令 ，则有，则有因此因此最后根据最后根据 ，得，得这说明这说明 是是 的特征值，因此也是的特征值，因此也是广义特征值广义特征值 的特征值。的特征值。定理定理1 设设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且 又是正定的，证明必存在又是正定的，证明必存在 使得使得 10、 Hermite矩阵偶在复合同（复相合

47、）矩阵偶在复合同（复相合）下的标准形下的标准形与与同时成立，其中同时成立，其中 是与是与 无关无关的实数。的实数。证明证明： 由于由于 是正定是正定H-阵，所以存在阵，所以存在 使得使得又由于又由于 也是也是H-阵，那么存在阵，那么存在 使得使得其中其中 是是H-阵阵 的的 个实特征值。个实特征值。如果记如果记 ，则有，则有下面证明下面证明 个实特征值个实特征值 与与 无无关。令关。令 ，那么，那么 是特征方程是特征方程的特征根。又由于的特征根。又由于因此因此 是方程是方程 的根。它完全的根。它完全是由是由 决定的与决定的与 无关无关 。由此可以得到下面的由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：

48、阵偶标准形定理：定理定理2：对于给定的两个二次型：对于给定的两个二次型其中其中 是正定的，则存在非退化的线性是正定的，则存在非退化的线性替换替换可以将可以将 同时化成标准形同时化成标准形其中其中 是方程是方程 的根，而且全为实数。的根，而且全为实数。定义定义1：设：设 均为均为 阶阶Hermite-阵阵,且且又是正定的，求又是正定的，求 使得方程使得方程有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是关于关于 的的 次代数方程方程次代数方程方程成立。我们称此方程是成立。我们称此方程是 相对于相对于 的的特征特征方程。方程。它的根它的根 称为称为 相对于相对于 的的 广义特征值广义特征值。将。将

49、 代入到方程代入到方程中所得非零解向量中所得非零解向量 称为与称为与 相对应的相对应的广广义特征向量义特征向量。 广义特征值与广义特征向量的性质广义特征值与广义特征向量的性质;定理定理3：上述定义的广义特征值与特征向量：上述定义的广义特征值与特征向量： （1）有）有 个广义特征值；个广义特征值； （2）有）有 个线性无关的广义特征向量个线性无关的广义特征向量 ，即，即 （3）这）这 个广义特征向量可以这样选个广义特征向量可以这样选取，使得其满足取，使得其满足其中其中 为为Kronecker符号。符号。定义定义定义定义2 2 2 2 称满足称满足 的广义特征向量为特的广义特征向量为特征主向量，以

50、这征主向量，以这 个特征主向量为列向量构成的矩阵个特征主向量为列向量构成的矩阵 是满秩的，是满秩的，是满秩的，是满秩的，称为称为 的相对于的相对于 的的主矩阵。主矩阵。主矩阵。主矩阵。定理定理定理定理4 4 4 4 设设 为为 Hermite-阵，且阵，且 为正定的，为正定的，则存在行列式等于则存在行列式等于1的矩阵的矩阵 ，使，使 同时成立。同时成立。定义定义1 设设 ，称实数，称实数定理定理1 Hermite-阵阵 的的Rayleigh商具有如下的商具有如下的性质：性质： 11、 Rayleigh商商为为 Hermite-阵的阵的Rayleigh商商。定理定理3：设：设 则则定理定理2：设：设 是是Hermite阵阵 的分的分布属于特征值布属于特征值 的特征向量，的特征向量， 是是子空间子空间 的正交补子空间，的正交补子空间，则则或极大或极大-极小原理极小原理定理定理4：设：设 是是 维复空间中任意维复空间中任意 维子空维子空间，则有极小间，则有极小-极大原理极大原理定理定理定理定理5 5 5 5 设设 为为 Hermite-阵，阵， 分别表示矩阵分别表示矩阵 的特征值，且特征值从小到的特征值，且特征值从小到大递增排列，则对每一个大递增排列，则对每一个 ，有，有