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1、求函数的解析式1一.配凑法把形如f(g(x)内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公式。 已知f(g(x)的解析式,求f(h(x)的解析式,2已知已知，求求 解解：3练习：练习：1.已知已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若，求的解析式1）f（x+1）=x-3 =x+1-4 f（x）=x-42）f（x）=x2-1，（x1）4例1 已知 f( )= + , 求 f(x). xx+1x2x2+1x1f(x)=x2-x+1(x1). 解: f( )= + xx+1x2x2+1x1=1+ +x21x1=( +1)2-( +1)
2、+1 x1x1并且 1, xx+1=( )2-( )+1 xx+1xx+1评注: 若在给出的函数关系式中 与 的关系不明显时, 要通过恒等变形寻找二者的关系. + x2x2+1x1xx+15二.换元法已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新元t的取值范围。6令t=x+1，则x=t-1f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2 =t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6f(x)=x2-5x+67例例2.2.已知已知，求求解解：分析分析：这是含有未知函数：这是含有未知函数f(x)的等式，比
3、较抽象。由函数的等式，比较抽象。由函数f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件不变的条件下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。方法一：方法一：配凑法二、换元法 8方法二：令换元法注意点注意点：注意换元的等价性，即要求出：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围的取值范围.9练习练习. .已知已知f（ ）= =x2 2+5+5x, ,则则f( (x)=)= . . 解析解析10三.待
4、定系数法已知函数模型（如：一次函数，二次函数，等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数11例例2 已知已知f(x)是二次函数，且是二次函数，且求求解：解：12练习：1. 设：f（x）=ax+b，则f（f（x)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1a2=4,ab+b=-1a=2,b= 或a=-2，b=1f（x）=2x- 或f（x）=-2x+1132.已知函数 是一次函数，且经过(1，2)，（2，5）求函数 的解析式设f（x）=ax+b，由题知：f（1）=2，f（2）=5即a+b=2,2a+b=5a=3，b=-1f（x）=3x+b14四.方程组法求抽象函数的解析式，往往通
5、过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f（x）的解析式15例3.设f(x)满足关系式求函数的解析式解:令 联立方程，得： 解得 16练习：若3f(x)+f(-x)=2x,求f(x). 解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x联立方程组，得：解得：17 解方程组法例3 已知 f(x)+f( )=1+x (x0, 1), 求 f(x). xx-1解: 记题中式子为式, 用 代替中的 x, 整理得:xx-1f( )+f( )= , xx-11-x1x2x-1再用 代替中的 x, 整理得:1-x1f( )+f(x)= , 1-x11-x2-x解由 , , 组成的方程组, 得: 2x(
6、x-1)x3-x2-1f(x)= . 18例4.设f(x)满足关系式求函数的解析式.分析：如果将题目所给的 看成两个变量，那么该等式即可看作二元方程，那么必定还需再找一个关于它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程19【练习练习】 （1 1）设二次函数）设二次函数f( (x) )满足满足f( (x-2)=-2)=f(-(-x-2)-2)， 且图象在且图象在y轴上的截距为轴上的截距为1 1，被，被x轴截得的线段长为轴截得的线段长为 ，求，求f( (x) )的解析式；的解析式；（2 2）已知）已知（3 3）已知）已知f( (x) )满足满足2 2f( (x)+ =3)+ =3x, ,求求f(
7、(x).). 问题（问题（1 1）由题设）由题设f（x）为二次函数，）为二次函数， 故可先设出故可先设出f（x）的表达式，用待定系数法求解；）的表达式，用待定系数法求解； 问题（问题（2 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此）已知条件是一复合函数的解析式，因此可用换元法；问题（可用换元法；问题（3 3）已知条件中含）已知条件中含x， ，可用，可用解方程组法求解解方程组法求解. . 思维启迪思维启迪20解解 : :（1 1）f（x）为二次函数，）为二次函数，设设f( (x)=)=ax2 2+ +bx+ +c ( (a0)0)，且，且f( (x)=0)=0的两根为的两根为x1 1, ,x2 2.
8、 .由由f( (x-2)=-2)=f（- -x-2-2），得），得4 4a- -b=0.=0.由已知得由已知得c=1.=1.由由、式解得式解得b=2,=2,a= ,= ,c=1,=1,f（x）= = x2 2+2+2x+1.+1.212223五.赋值法24五.赋值法一般的，已知一个关于x,y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的解析式。25解：解： 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)，对任意，对任意实数实数x,yx,y满足：满足：求求26练习：已知函数 对于一切实数 都有 成立，且1.求的值令x=1，y=0得f(1+0)-f(0)=(1+20+1) 1即0
9、-f(0)=2解得f(0)=-2令y=0得f(x+0)-f(0)=(x+20+1) x即f(x)-(-2)=x(x+1)解得f(x)=x2+x-227六.根据图象写出解析式28六.根据图象写出解析式观察图像的特点和特殊点，可用代入法，或根据函数图像的性质进行解题。注意定义域的变化。29如下图，函数图象是两个部分抛物线构成，求函数的解析式解：当x 1时，函数图象是对称轴为x=2，顶点坐标为（2,1）的图象解析式为y=(x-2)2+1，x1当x1时，函数图象为是对称轴x=0，顶点坐标为（0,1）的图象解析式为y=x2+1，x1函数的解析式为y=(x-2)2+1，x1y=x2+1，x130f（x）的图象如图，则f（x）=当x-2,0)时，当x0,3时，f(x)=3132
