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1、第1课时 解三角形的实际应用举例距离问题1.2 应用举例1.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；( (重点重点) )2.2.激发学生学习数学的兴趣激发学生学习数学的兴趣, ,并体会数学的应用价值；同并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力想解决数学问题的能力. .B BC CA A1.1.什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？什么是正
2、弦定理？运用正弦定理能解怎样的三角形？（1 1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即正弦的比相等，即 已知三角形的任意两边与其中一边的对角已知三角形的任意两边与其中一边的对角. . （2 2）正弦定理能解决的三角形类型）正弦定理能解决的三角形类型已知三角形的任意两角及其一边；已知三角形的任意两角及其一边； 2.2.什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三角形？（1 1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们
3、的夹角的余弦的积的两倍，的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即即已知三边求三角；已知三边求三角；（2 2）余弦定理能解决的三角形类型：）余弦定理能解决的三角形类型：已知两边及它们的夹角，求第三边已知两边及它们的夹角，求第三边. .3.3.有这样一个问题，有这样一个问题，“遥不可及的月球离地球究竟有多远遥不可及的月球离地球究竟有多远呢？呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的两者的距离，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可我
4、们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等不同的方法来解决，但形的方法，或借助解直角三角形等不同的方法来解决，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法却不能实施由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法却不能实施. .如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性所以，有些方法会有局限性. . 上面介绍的问题就是用以前上面介绍的问题就是用以前的方法所不能解决的的方法所不能解决的. .
5、今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离重要应用，首先研究如何测量距离. . 关于测量从一个可到达的点到一个不可到关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题达的点之间的距离的问题: :思考思考2 2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？思考思考1 1：ABCABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？理比较适当？题目条件告诉了边题目条件告诉了边ABAB和边和边BCBC的对角，的对角，ACAC为已知为已知边，再根据三
6、角形的内角边，再根据三角形的内角和定理很容易由两个已知和定理很容易由两个已知角算出角算出ACAC的对角，应用正的对角，应用正弦定理算出弦定理算出ABAB边边. .根据正弦定理，得根据正弦定理，得答答:A:A、B B两点间的距离为两点间的距离为65.765.7米米. .解：解：，. .关于测量关于测量两个都不可两个都不可到达的点之间的距离的问题到达的点之间的距离的问题: :例例2 2 如图，如图，A A，B B两点都在河的对岸两点都在河的对岸( (不可到达不可到达) )，设计一种，设计一种测量测量A A，B B两点间距离的方法两点间距离的方法. .A AB B分析：分析：这是例这是例1 1的变式
7、题，研究的是两个不可到达的点之间的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题的距离测量问题. .A AB B首先需要构造三角形，所以需要确定首先需要构造三角形，所以需要确定C C、D D两点两点. .用例用例1 1的方法，可以计算出河的这一岸的一点的方法，可以计算出河的这一岸的一点C C到对岸两点到对岸两点的距离，再测出的距离，再测出BCABCA的大小，借助于余弦定理可以计算出的大小，借助于余弦定理可以计算出A A，B B两点间的距离两点间的距离. .C CD DA AB B解：解：测量者可以在河岸边选定两点测量者可以在河岸边选定两点C C、D D，测得，测得CD=aCD=a，并且，并
8、且在在C C、D D两点分别测得两点分别测得D DC C，. .思考：思考：还有没有别的测量方法？还有没有别的测量方法？. . 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优种解决问题的方案，但有些过程较繁琐，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式条件来选择最佳的计算方式. .我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1 1中的中的ACAC，例，例2 2中的中的CD.
9、CD.在测量过程中在测量过程中, ,要根据实际需要选取合适的基线长度要根据实际需要选取合适的基线长度, ,使测量具有较高的精确度使测量具有较高的精确度. .一般来说一般来说, ,基线越长基线越长, ,测量的精确度越高测量的精确度越高. .思考：思考：你还能找出生活中这样的例子吗？你还能找出生活中这样的例子吗？基线：基线：C CA AB B北北东东解：解：.，3.3.一艘船以一艘船以32.2 n mile/h32.2 n mile/h的速度向正的速度向正北航行在北航行在A A处看灯塔处看灯塔S S在船的北偏东在船的北偏东2020的方向上，的方向上，30 min30 min后航行到后航行到B B处
10、，处，在在B B处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东6565的方向的方向上，已知距离此灯塔上，已知距离此灯塔6.5 n mile 6.5 n mile 以外以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？续一直沿正北方向航行吗？4.4.自动卸货汽车的车厢采用液压机构自动卸货汽车的车厢采用液压机构. .设计时需要计算油泵设计时需要计算油泵顶杆顶杆BCBC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是6060，油泵顶点，油泵顶点B B与与车厢支点车厢支点A A之间的距离为之间的距离为1.95 m1.95 m，ABAB与水平线之间的夹角为与水
11、平线之间的夹角为6 62020，ACAC长为长为1.40 m1.40 m，计算，计算BCBC的长（精确到的长（精确到0.01 m0.01 m） 分析：（分析：（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ （2 2）例题中涉及一个怎样的三角形？）例题中涉及一个怎样的三角形？最大角度最大角度此题即此题即“已知在已知在ABCABC中，中，ABAB1.95 m1.95 m，ACAC1.40 m1.40 m，夹角，夹角CABCAB66662020，求，求BCBC”解：解：由余弦定理，得由余弦定理，得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89 m.1.89 m. C CA AB B解三角形应用题的一般步骤：
12、解三角形应用题的一般步骤：(1)(1)分析：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图理解题意，分清已知与未知，画出示意图. .(2)(2)建模：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型型. .(4)(4)检验：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解出实际问题的解. .(3)(3)求解：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解求得数学模型的解. .装饰对于德行也同样是格格不入的，因为德行是灵魂的力量和生气。卢梭
