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1、大学物理第一章 质点运动学1.1.11.1.1、参考系、参考系( (reference frame) )和坐标系和坐标系( (coordinate) )参考系参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性）（运动描述的相对性）在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然坐标系坐标系：直角坐标系直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. .说明说明1.1 运动学的一些基本概念运动学的一些基本概念1.1.21.1.2、时间和空间的计量、时间和
2、空间的计量时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的时间测量的标准单位是秒。标准单位是秒。1967年定义秒为铯年定义秒为铯133原子基态的两个超精细原子基态的两个超精细能级之间跃迁辐射周期的能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙倍。量度时间范围从宇宙年龄年龄1018s(约约200亿年）到微观粒子的最短寿命亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时极限的时间间隔为普朗克时间间间隔为普朗克时间10-43s,小于此时间，现有的时间概念就不适小于此时间，现有的时间概念就不适用了。用了。1 1、时间及其计量、时间及
3、其计量2 2、空间及其计量、空间及其计量空间反映物质运动的广延性。空间反映物质运动的广延性。在巴黎国际标准局在巴黎国际标准局标准米尺；标准米尺；1983年定义米为真空中光在年定义米为真空中光在1/299792458s时间内所行经的距离。时间内所行经的距离。空间范围从宇宙范围的尺度空间范围从宇宙范围的尺度1026 m(约约200亿光年）到微粒的尺度亿光年）到微粒的尺度10-15 m.极限的空间长度为普朗克长度极限的空间长度为普朗克长度10-35m,小于此值，现有的小于此值，现有的空间概念就不适用了。空间概念就不适用了。1.1.31.1.3、质点（、质点（mass point）相对性；理想模型；质
4、点运动是研究物质运动的基础相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础. .具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。说明说明在不能把物体当作质点时，可把整个物体视为由许多个质点组在不能把物体当作质点时，可把整个物体视为由许多个质点组成的质点系，弄清每个质点的运动情况，就可以了解整个物体成的质点系，弄清每个质点的运动情况，就可以了解整个物体的运动。的运动。1.2.11.2.1、位置矢量、位置矢量(position vector)位置矢量的方向位置矢量的方向: : 位置矢量的大小：位置矢量的大小：在直角坐标系中位置矢量为在直角坐标系中位置矢量为: : 1.
5、2 描述质点运动的基本物理量描述质点运动的基本物理量参考系参考系坐标系坐标系原点和坐标轴原点和坐标轴钟钟 在直角坐标系中，在在直角坐标系中，在t 时刻某质点时刻某质点在点在点P的位置可用坐标系原点的位置可用坐标系原点O指向点指向点P的有向线段的有向线段 表示，矢量表示，矢量 称为位置称为位置矢量，简称位矢矢量，简称位矢. . 1.2.21.2.2、运动方程、运动方程质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的运动方程。质点的运动方程。在直角坐标系中，在直角坐标系中，根据轨迹的形状，质点运动分为根据轨迹的形状，质点运动分为直线运动直线运动 和和 曲线运动曲线运动
6、。质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点的运动轨迹质点的运动轨迹。轨迹方程轨迹方程( (trajectory) )从运动方程中消去从运动方程中消去t，则可得：，则可得：或：或：在直角坐标系中：在直角坐标系中：从质点初位置到质点末位置所引的矢量从质点初位置到质点末位置所引的矢量 定义为位移定义为位移。 位移矢量的大小位移矢量的大小位移矢量的方向位移矢量的方向1.2.31.2.3、位移矢量、位移矢量( (displacement) ) 路路程程1 1） 和和 是两个不同的概念是两个不同的概念。4 ）位移只取决于初末位置，与原点的选择无关位移只取决于初末位置，与
7、原点的选择无关（位矢与原点的选择有关）。（位矢与原点的选择有关）。3）位移与路程的区别：位移与路程的区别：2）位移大小位移大小 与与位矢大小增量位矢大小增量 的区别：的区别： 说明说明思考：思考：1.2.41.2.4、速度矢量（、速度矢量（Velocity）: : 表示表示质点运动快慢及方向质点运动快慢及方向的物理的物理量量1、平均速度平均速度2、速度速度方向沿切向，并指向前进方向。方向沿切向，并指向前进方向。在直角坐标系中：在直角坐标系中：速度大小速度大小平均速度和平均速率；瞬时速度和瞬时速率平均速度和平均速率；瞬时速度和瞬时速率定义：定义：定义：平均加速度定义：平均加速度 = =大小：大小
8、：瞬时加速度瞬时加速度: :方向：方向： t t0 0 时时 的的极限方向极限方向。在曲线运动中，。在曲线运动中， 总是指向曲线的总是指向曲线的凹侧凹侧。1.2.51.2.5、加速度矢量（、加速度矢量（acceleration）: :表示表示速度变化快慢速度变化快慢的物理量的物理量在直角坐标系中：在直角坐标系中：加速度的方向加速度的方向加速度的大小加速度的大小其中分量为其中分量为 运动学中的两类问题运动学中的两类问题1、已知质点的已知质点的运动学方程运动学方程求质点的求质点的速度、加速度速度、加速度等问等问题常称为运动学题常称为运动学第一类问题第一类问题2、由由加速度和初始条件加速度和初始条件
9、求求速度方程和运动方程速度方程和运动方程的问题称的问题称为运动学的为运动学的第二类问题第二类问题微分微分积分积分解解 根据质点根据质点速度的定义速度的定义则有则有速度的大小速度的大小根据质点根据质点加速度的定义加速度的定义 例题例题1- -1 已知质点的运动方程是已知质点的运动方程是式中式中R,都是正值常量。都是正值常量。求质点的速度和加速度的大小，并讨求质点的速度和加速度的大小，并讨论它们的方向。论它们的方向。加速度的大小加速度的大小则有则有根据根据矢量的点积运算矢量的点积运算，分别计算，分别计算 质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方向，质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方向
10、，加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。结论结论 例题例题1-2 一质点作平面运动，已知加速度为一质点作平面运动，已知加速度为 ，其中，其中A A、B B、均为正常数，且均为正常数，且A AB B, , A A0, 0, B B00。初始条件为。初始条件为t=t=0 0时，时， 。求该质。求该质点的运动轨迹。点的运动轨迹。 解解 这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨迹方程的问题。迹方程的问题。 由加速度三个分量由加速度三个分量 的定义可得的定义可得 从从x, y的表示式中消去的
11、表示式中消去t ，即可得质点的运动轨迹方程为，即可得质点的运动轨迹方程为: :结果表明，质点的运动轨迹为结果表明，质点的运动轨迹为椭圆椭圆。例题例题1-3 一质点沿一质点沿x轴正向运动，其加速度与位置的关系为轴正向运动，其加速度与位置的关系为a=3+2x。若在。若在x=0处，其速度处，其速度v0=5m/s，求质点运动到，求质点运动到x=3m处时所处时所具有的速度。具有的速度。 解解 已知已知 ，由加速度的定义式得：，由加速度的定义式得： 根据初始条件作定积分根据初始条件作定积分 速度的方向沿速度的方向沿x轴正向。轴正向。 解解 选取选取竖直向上为竖直向上为y轴的正方向轴的正方向，坐标原点在抛点
12、处。，坐标原点在抛点处。设小球上升运动的瞬时速率为设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为，阻力系数为k，则空气则空气阻力阻力为为此时小球的此时小球的加速度加速度为为即即作作变换变换整理则得整理则得例题例题1-4 以初速度以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为由地面竖直向上抛出一个质量为m 的小球，若的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多大？大高度是多大？根据初始条件，作根据初始条件，作定积分定积分可得可得当小球达到当小球达到最大高度最大高度H 时，时，v = = 0。可得。可得例例题题1-5
13、已已知知一一质质点点由由静静止止出出发发，它它的的加加速速度度在在x轴轴和和y轴轴上上的的分分量分别为量分别为ax=10t和和ay=15t 2 。求。求t=5s 时质点的速度和位置。时质点的速度和位置。解解 取质点的出发点为坐标原点，由定义得取质点的出发点为坐标原点，由定义得根据题意，初始条件为根据题意，初始条件为 t=0 ,v0x=0 ,v0y=0 ，对上式进行积分，得，对上式进行积分，得 t=5s代入上式得代入上式得利用初始条件利用初始条件t=0 , x0=0 , y0=0 ，对，对 vx , vy 进行积分，得进行积分，得s代入上式得代入上式得 切向切向（tangential）单位矢量）
14、单位矢量法向法向（normal）单位矢量）单位矢量1.3.1、自然坐标系、自然坐标系1.3 平面曲线运动平面曲线运动其方向都是随位置（时间）变化的其方向都是随位置（时间）变化的 在质点运动的轨迹上任取一点在质点运动的轨迹上任取一点O作为自作为自然坐标系的原点，沿轨迹规定一个弧长正然坐标系的原点，沿轨迹规定一个弧长正方向方向,则可以用由原点到质点所在位置的则可以用由原点到质点所在位置的弧弧长长S来描述质点的位置来描述质点的位置 在自然坐标系中弧长在自然坐标系中弧长s是可正可负的坐标量，当质点是可正可负的坐标量，当质点P 位位于于O点点弧弧长正方向一侧时取正值，处于长正方向一侧时取正值，处于O点另
15、一侧时去负值。点另一侧时去负值。称为切向加速度称为切向加速度 称为法向加速度称为法向加速度 速度矢量表示为速度矢量表示为加速度矢量表示为加速度矢量表示为1.3.21.3.2、质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度由由加速度的定义加速度的定义是矢量，方向垂直于是矢量，方向垂直于并指向圆心，与并指向圆心，与的方向一致。的方向一致。的长度等于的长度等于1 1，于是有，于是有 由于由于 质点速率变化的快慢质点速率变化的快慢质点速度方向变化的快慢质点速度方向变化的快慢切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度加速度的大小加速度的大小1.3.41.3.4、圆周运动的
16、角量描述、圆周运动的角量描述1、角位置（角位置（angular position）：）： 3、角位移角位移( (angular displacement) )： 1.3.3 1.3.3 一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度 曲线上任一点曲线上任一点P P的附近极短的一段曲线上，的附近极短的一段曲线上，可用与它相切处曲率半径为可用与它相切处曲率半径为的圆弧来代替的圆弧来代替,则则一般平面曲线运动的切向加速度和法向加速度。一般平面曲线运动的切向加速度和法向加速度。 2、运动方程运动方程曲率半径：（瞬时）角速度（瞬时）角速度4、角速度、角速度(angu
17、lar velocity)平均角速度平均角速度5、角加速度角加速度( (angular acceleration) )平均角加速度平均角加速度（瞬时）角加速度（瞬时）角加速度角速度是矢量，其方向垂直于质点运动的角速度是矢量，其方向垂直于质点运动的平面，指向由右手螺旋法则确定：当四指平面，指向由右手螺旋法则确定：当四指沿运动方向弯曲时，大拇指的指向就是角沿运动方向弯曲时，大拇指的指向就是角速度的方向。速度的方向。 匀速率圆周运动：匀速率圆周运动：角速度是恒量，角加速度为零；角速度是恒量，角加速度为零；变速率圆周运动：变速率圆周运动：角速度不是恒量，角加速度一般也不是恒量。角速度不是恒量，角加速度
18、一般也不是恒量。角加速度是恒量时，质点作匀变速圆周运动。角加速度是恒量时，质点作匀变速圆周运动。 在匀在匀变速变速圆周运动中的角位置、角速度和角加速度间的关系圆周运动中的角位置、角速度和角加速度间的关系与匀加速直线运动中的位移、速度和加速度间的关系形式上完全与匀加速直线运动中的位移、速度和加速度间的关系形式上完全类似，它可写为类似，它可写为 1.3.51.3.5、角量与线量的关系、角量与线量的关系在在dtdt 时间内质点的位移时间内质点的位移质点的质点的速度速度由由加速度的定义加速度的定义切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度圆周运动的第二类运动学问题圆周运动的第二类运动学问题积分积分积分积
19、分切向加速度切向加速度 at 和初始条件和初始条件速率方程和自然坐速率方程和自然坐标表示的运动方程标表示的运动方程角加速度角加速度 和初始条件和初始条件角速度方程和以角角速度方程和以角量表示的运动方程量表示的运动方程解解 （1）由由角速度角速度和和角加速度角加速度的定义，得的定义，得把把 t = 2s代入代入运动方程运动方程、角速度角速度和和角加速度方程角加速度方程，可得，可得 例题例题1-6 一质点作半径为一质点作半径为 R=1.0m的圆周运动，其运动方程的圆周运动，其运动方程为为 =2t3+3t，其中其中 以以 rad 计，计，t 以以 s 计。计。试求试求：（：（1）t = 2s时质点的
20、角位置、角速度和角加速度。时质点的角位置、角速度和角加速度。 （2） t = 2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。（2）根据根据线量与角量的关系线量与角量的关系，可得，可得加速度加速度加速度的大小加速度的大小设加速度与法向加速度的夹角为设加速度与法向加速度的夹角为，则则例题例题1-7 如图所示，汽车以如图所示，汽车以5m/s的匀速率在广场上沿半径为的匀速率在广场上沿半径为 R=250m的的环环形形马马路路上上行行驶驶。当当汽汽车车油油门门关关闭闭以以后后，由由于于与与地地面面的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行50m而
21、停止，试求：而停止，试求：（1）汽车在关闭油门前运动的加速度。）汽车在关闭油门前运动的加速度。（2）汽车在关闭油门后）汽车在关闭油门后4s时运动的加速度。时运动的加速度。解解 （1）汽汽车车关关闭闭油油门门前前时时作作匀匀速速率率圆圆周周运运动动，其切向加速度和法向加速度分别为其切向加速度和法向加速度分别为则，其方向指向环心则，其方向指向环心O。 （2）汽车在关闭油门后滑行）汽车在关闭油门后滑行50m而停止。汽车的切向加速度为而停止。汽车的切向加速度为油门关闭油门关闭4（s）时，汽车的速率为）时，汽车的速率为此时法向加速度为此时法向加速度为: : 总加速度的大小为总加速度的大小为: : 总加速
22、度与速度的夹角为总加速度与速度的夹角为 例题例题1-8 一飞轮以一飞轮以n=1500r/min的转速转动，受到制动而均匀地减的转速转动，受到制动而均匀地减速，经速，经t=50s后静止。后静止。（1）求角加速度）求角加速度和从制动开始到静止时飞轮的转数和从制动开始到静止时飞轮的转数N为多少？为多少？( 2）求制动开始）求制动开始t=25s时飞轮的角速度时飞轮的角速度(3）设飞轮的半径）设飞轮的半径R=1m时，求时，求t=25s时，飞轮边缘上一点的速度、时，飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度解解 （1 1）由匀变速圆周运动基本公式）由匀变速圆周运动基本公式从开始制动
23、到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数及转数N分别为分别为 ( 2）t=25s时飞轮的角速度时飞轮的角速度为为(3）t=25s时，飞轮边缘上一点的速度为时，飞轮边缘上一点的速度为切向加速度和法向加速度为切向加速度和法向加速度为解解 设加速度与速度方向的夹角为设加速度与速度方向的夹角为，则，则即即所以所以两边积分两边积分例题例题1-9 质点沿半径为质点沿半径为 R 的圆轨道运动，初速度为的圆轨道运动，初速度为v0，加速，加速度与速度与速 度方向的夹角恒定，如图所示求速度的大小与时间的度方向的夹角恒定，如图所示求速度的大小与时间的关系关系解解: 取取t=0时质点的位置时质点的位置
24、O为自然坐标系原点，以质点运动的方向为自然坐标系原点，以质点运动的方向为自然坐标正向，并设任意时刻为自然坐标正向，并设任意时刻t质点的速度为质点的速度为v，自然坐标为，自然坐标为s .（1）代入代入t=1s，可得质点的速度和加速度的大小为，可得质点的速度和加速度的大小为 例题例题1-10 质点沿半径质点沿半径R=3m的圆周运动，如图所示。已知切向加的圆周运动，如图所示。已知切向加速度速度at=3m/s2, t=0 时质点在时质点在O点，其速度点，其速度v0=0 ，试求：，试求：（1）t=1s时质点速度和加速度的大小；时质点速度和加速度的大小；（2）第）第2秒内质点所通过的路程。秒内质点所通过的
25、路程。 利用初始条件作定积分利用初始条件作定积分（2 2）由）由 得得 ，利用初始条件作定积分，利用初始条件作定积分代入数据可得第代入数据可得第2 2秒内质点通过的路程为秒内质点通过的路程为 1.4 相相 对对 运运 动动 同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之间的关系的规律。量之间的关系的规律。物体运动的描述物体运动的描述依赖于依赖于观察者所处的观察者所处的参考系参考系S（oxy)系和系和S(oxy)系在系在t=0时重合，时重合，P,P点点重合。在重合。在t 时间内时间内S相对相对S位移位移D，则，则伽利略速度相加原理伽利
26、略速度相加原理若若u为常量，则为常量，则在相对作匀速直线运动的不同参考系中观察在相对作匀速直线运动的不同参考系中观察同一质点的运动，所得的加速度相同。同一质点的运动，所得的加速度相同。位移相加原理位移相加原理而位移相加原理是相对同一参考系来说的。这里默认了长度和而位移相加原理是相对同一参考系来说的。这里默认了长度和时间的测量与参考系的相对运动无关。说明长度和时间的测量时间的测量与参考系的相对运动无关。说明长度和时间的测量是绝对的是绝对的牛顿时空观。牛顿时空观。适用条件适用条件: :宏观、低速情况宏观、低速情况 例题例题1-11 一带蓬卡车高一带蓬卡车高h=2m，它停在马路上时雨点可落在车，它停
27、在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方内到达蓬后沿前方d=1m处，当它以处，当它以15 km/h 速率沿平直马路行速率沿平直马路行驶时，雨滴恰好不能落入车内，如图所示。求雨滴相对地面的驶时，雨滴恰好不能落入车内，如图所示。求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。速度及雨滴相对车的速度。 解解 选地面为选地面为S系，车为系，车为S系，系， S系相对系相对S系运动速率为系运动速率为u=15km/h。所求雨滴相对。所求雨滴相对地面的速度为地面的速度为 ，雨滴相对车的速度为，雨滴相对车的速度为 。根据伽利略速度相加定理，则有。根据伽利略速度相加定理，则有由已知条件得与地面的夹角由已知条件得与地面的夹角
28、 且且 与与u 垂直，故可得垂直，故可得 例题例题1-12 在相对地面静止的坐标系内，在相对地面静止的坐标系内，A，B两船都以两船都以2m/s的速率匀速行驶，的速率匀速行驶，A船沿船沿x轴正向，轴正向，B船沿船沿y轴正向，轴正向，今在今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x，y单单位矢量分别用位矢量分别用 表示），求在表示），求在A船上看船上看B船的速度。船的速度。解解 选地面为选地面为S系，系，A船为船为S系，系，B船为运动物体，船为运动物体， S系相系相对对S系运动速度为系运动速度为根据伽利略速度相加定理，则根据伽利略速度相加定理，则B船对船对S
29、系的运动速度为系的运动速度为B船对船对S系的运动速度为系的运动速度为解解 选选地面为地面为S系系，劈形物体为劈形物体为S系。系。在两参考系上建如图所示的坐标系。在两参考系上建如图所示的坐标系。木块相对木块相对S系的加速度系的加速度为为SS系相对系相对S S系的加速度系的加速度为为根据根据加速度叠加原理加速度叠加原理，木块对地面的加速度木块对地面的加速度为为例题例题1-13 倾角倾角 = 300 的劈形物体放在水平地面上。当斜面的劈形物体放在水平地面上。当斜面上的物体沿斜面下滑时，劈形物体以加速度上的物体沿斜面下滑时，劈形物体以加速度4m s-2为向右运动。为向右运动。又知道木块相对斜面的加速度为又知道木块相对斜面的加速度为6m s-2，求木块相对地面的加，求木块相对地面的加速度。速度。小小小小 结结结结一、基本概念：一、基本概念：位矢：位矢：运动学方程。运动学方程。位移：位移：速度：速度：加速度：加速度：二、两类基本问题：二、两类基本问题：三、运动的描述三、运动的描述1、基本物理量基本物理量位置矢量位置矢量位位 移移速速 度度加速度加速度线线 量量角角 量量2、线量与角量的关系线量与角量的关系四、运动的相对性四、运动的相对性伽利略速度相加原理伽利略速度相加原理位移相加原理位移相加原理加速度相加关系加速度相加关系预习第预习第2 2章内容章内容
