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1、第一节第一节 定积分的概念定积分的概念一、引入定积分概念的实例一、引入定积分概念的实例二、定积分的概念二、定积分的概念三、定积分的存在定理三、定积分的存在定理四、定积分的根本性质四、定积分的根本性质一、引入定积分概念的实例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且延续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧y=f(x)称为曲边,线段ab称为底边.问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.求曲边梯形的面积A的详细做法：(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点过每个分点xi(i=1,2,n)作
2、y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.记每一个小区间 的长度为 把区间a,b分成n个小区间(2)近似、求和. 在每一个小区间xi-1, xi上任取一点i,以xi为底边,以f(i)为高作小矩形,其面积为f(i) xi.以此作相应的小曲边梯形面积的近似值,即n个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限的方法处理变力作功的问题.(3)取极限记一切小区间长度的最大值为当0时和式 (n个小矩形面积之和)的极限存在,那么定义极限值为曲边梯形面积,即 引例2 变力做功 设一物体作直线运动,遭到与运动方向平行的力的作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做
3、的功就是w=Fs. 但实践问题中,物体在运动中受力经常不是恒力,此时不能直接用上述公式计算变力所做的功.假设知F(s)是位移s的延续函数,物体位移区间为a,b(即位移s从a变到b).那么所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数F(s).假设把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.计算步骤(1)分割 以上两问题虽然不同，但处理问题的方法却一样，即归结为求同一构造的总和的极限.由此引入定积分的概念.在每个小区间 任取一点 作和式二、定积分的概念定义5.1 设函数f(x)在区间a,b上有界,在(a,b)内插入n1个分点各小区间的长度为把区间a,b分为n个小区间定
4、积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描画： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即 物体在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a挪动到b，变力对物体所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即 假设函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，那么称函数f(x)在区间a,b上可积. 关于定积分的概念，还应留意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值,定积分值只与被
5、积函数f(x)及积分区间a,b有关,而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分 的定义中,总假设 ,为了今后运用方便，对于 的情况作如下规定：定积分的几何意义： 假设在a,b上 ，那么 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积. 假设在a,b上 ,此时由曲线y=f(x),直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,那么定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数. 假设在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，那么定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.三、定积分的存在定理定理5.1定理5.
6、2例1 用定义计算解 (1)分割.插入n1个分点把区间0,1分成n等分,各分点的坐标依次是每个小区间的长度均为(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为i,即作乘积这里用了正整数平方和公式(3)取极限.当 , 时取极限,得所以所求的定积分性质1 函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差)证明设各性质中涉及的函数都是可积. 四、定积分的根本性质推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即证明性质 3 假设积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,那么 性质6.3阐明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段
7、函数的定积分.按定积分的补充规定有:不论a,b,c的相对位置如何(如abc,cab等),总有等式利用定积分的几何意义，可分别求出例2 知解性质 4性质 5推论1性质 6 (估值定理)证明由性质6.2和性质6.4,可得 曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.性质6的几何意义：例3解性质 7(定积分中值定理) 假设函数f(x)在闭区间a,b上延续，那么在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立证明 由于函数f(x)在闭区间a,b上延续，根据闭区间上延续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质 6，有 即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.性质 7的几何意义： 假设函数f(x)在闭区间a,b上延续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.
