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1、可转化为线性的多元非线性回归模型可转化为线性的多元非线性回归模型n 前前面面我我们们讨讨论论的的经经济济问问题题，都都是是假假定定作作为为因因变变量量的的经经济济变变量量与与作作为为解解释释变变量量的的经经济济变变量量之之间间存存在在着着线线性性关关系系。由由此此建建立立线线性性回回归归模模型型进进行行线线性性回回归归分分析析。这这里里所所说说的的线线性性是是指指：（1）变变量量的的线线性性，变变量量以以其其原原型型出出现现在在模模型型之之中中，而而不不是是以以X2或或X之之类类的的函函数数形形式式出出现现在在模模型型中中；（2）参参数数的的线线性性，因因变变量量Y是是各各参数的线性函数。参数
2、的线性函数。 但但是是，在在众众多多的的经经济济现现象象中中，分分析析经经济济变变量量之之间间的的关关系系，根根据据某某种种经经济济理理论论和和对对实实际际经经济济问问题题的的分分析析，所所建建立立的的经经济济模模型型往往往往不不符符合合上上面面的的线线性性要要求求，即即模模型型是是非非线线性性的的，称称为为非非线线性模型（性模型（Non-linear Model）。）。说说 明明n在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。表现为线性关系的情况并不多见。n如著名的如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线（Engle curve
3、s）表现为）表现为幂函数曲幂函数曲线线形式，类似地还有生产函数等。形式，类似地还有生产函数等。n但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。性回归模型的理论方法。这一部分我们要关注的是（这一部分我们要关注的是（1 1）如何将非线性模型转变为）如何将非线性模型转变为线性模型；（线性模型；（2 2）转变后，偏回归系数的含义。）转变后，偏回归系数的含义。 1、非线性回归模型与变量的直接置换法非线性回归模型与变量的直接置换法 当当变量是非线性
4、的变量是非线性的，参数之间是线性时参数之间是线性时，可，可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。以利用变量直接代换的方法将模型线性化。 因此，关于因此，关于解释变量的非线性问题解释变量的非线性问题都可以通都可以通过变量置换变成线性问题。过变量置换变成线性问题。一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 对于以下形式的非线性方程，我们可以直接对于以下形式的非线性方程，我们可以直接进行变量代换转换为线性方程：进行变量代换转换为线性方程：令令令令令令令令令令n模型特点：随着模型特点：随着X无限增大，无限增大， 项趋于项趋于0，Y趋于极限值。趋于极限值。n分三种类型：分三种类型：100000XY010X
5、Y0平均固定成本与产出水平平均固定成本与产出水平平均固定成本与产出水平平均固定成本与产出水平菲利普斯曲线菲利普斯曲线菲利普斯曲线菲利普斯曲线恩格尔曲线恩格尔曲线恩格尔曲线恩格尔曲线倒数模型的线性化：令倒数模型的线性化：令 ，原方程变为：，原方程变为：Y= 0+ 1Zi+ i在以上的这几类模型形式中：在以上的这几类模型形式中：（1）倒数模型）倒数模型（2）双曲函数模型）双曲函数模型双曲函数模型的一般形式为：双曲函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型6（2） 多项式回归模型多项式回归模型 多多项项式式回回归归模模型型通通常常用用于于描描述述生
6、生产产成成本本函函数数，其其一一般形式为：般形式为： 其其中中，Y表表示示总总成成本本，X表表示示产产出出，P为为多多项项式式的的阶阶数，一般不超过四阶。数，一般不超过四阶。 多多项项式式回回归归模模型型中中，解解释释变变量量X以以不不同同幂幂次次出出现现在在方方程程的的右右端端。这这类类模模型型也也仅仅存存在在变变量量非非线线性性，因因而而很很容容易线性化，可用易线性化，可用OLS法估计模型法估计模型。（3） 半对数模型半对数模型 半半对对数数模模型型指指的的是是应应变变量量和和解解释释变变量量中中一一个个为为对对数形式而另一个为线性的数形式而另一个为线性的模型。模型。 被被解解释释变变量量
7、为为对对数数形形式式的的称称为为对对数数-线线性性模模型型（log-lin model）。）。 解解释释变变量量为为对对数数形形式式的的称称为为线线性性-对对数数模模型型（lin-log model）。）。 n我们先介绍对数我们先介绍对数-线性模型，其形式如下：线性模型，其形式如下：n对对数数-线线性性模模型型中中，斜斜率率的的含含义义是是Y的的百百分分比比变变动动，即即解解释释变变量量X变变动动一一个个单单位位引引起起的的应变量应变量Y的百分比变动的百分比变动。n这是因为，利用微分可以得出：这是因为，利用微分可以得出： 这这表表明明，系系数数度度量量的的是是解解释释变变量量X的的单单位位变变
8、动动所所引引起起的应变量的应变量Y的相对变动。的相对变动。 对对数数-线线性性方方程程又又称称增增长长模模型型，通通常常我我们们用用这这类类估估计计许许多多变变量量的的增增长长率率。如如果果x取取“时时间间”t，即即按按时时间间顺顺序序依依次次取取值值为为1，2，T，变变量量t 的的系系数数 1 度度量量了了ln(Y)随随时时间间向向前前推推进进产产生生的的变变化化。如如果果 1为为正正，则则有有随随时时间间向向上上增增长长的的趋趋势势；如如果果 1为为负负，则则有有随随时时间间向向下下的的趋趋势势，因因此此t可称为趋势变量。可称为趋势变量。 例如，我们可以通过估计下面的半对数模型例如，我们可
9、以通过估计下面的半对数模型 得得到到一一国国GDP的的年年增增长长率率的的估估计计值值，这这里里t为为时时间间趋趋势变量。势变量。例：例：n求求1956-1970年美国个人可支配收入的增长率。年美国个人可支配收入的增长率。X2:个个人可支配收入，人可支配收入，X3:时间变量时间变量n模型：模型：lnX2i= 1+ 2ti+ in求解过程求解过程n结果：结果： ，说明，说明1956-1970年间，美国个人可支配年间，美国个人可支配收入每年增长收入每年增长4.23%。比较线性趋势模型比较线性趋势模型：X2i= b2+b23ti+ib23=17.13，说明个人，说明个人可支配收入每年平均可支配收入每
10、年平均增长增长17个单位。个单位。 另外，线性另外，线性-对数模型的形式如下：对数模型的形式如下： 与前面类似，我们可用微分得到与前面类似，我们可用微分得到 因此因此 这表明这表明 上上式式表表明明，Y的的绝绝对对变变动动量量等等于于 乘乘以以X的的相相对对变变动动量量。因因此此，线线性性-对对数数模模型型通通常常用用于于研研究究解解释释变变量量的的相相对对变变动动引引起的因变量的绝对变动量是多少起的因变量的绝对变动量是多少这类问题。这类问题。（4）双对数模型）双对数模型 双双对对数数模模型型的的应应用用非非常常广广泛泛，其其原原因因在在于于，由由于于回回归归线线是是一一条条直直线线（Y和和X
11、都都是是对对数数形形式式），所所以以它它的的斜斜率率为为一常数。一常数。 由由于于这这个个特特殊殊的的性性质质，双双对对数数模模型型又又称称为为不不变变弹弹性性模模型型。 例：美国咖啡需求：例：美国咖啡需求：1970-1980n美国咖啡消费（美国咖啡消费（Y）与平均真实零售价格）与平均真实零售价格（X）数据，（）数据，（X=名义价格名义价格/食品与饮料的消费食品与饮料的消费者价格指数，者价格指数，1967年年=100），求咖啡消费函数。），求咖啡消费函数。n散点图：确定函数形式：散点图：确定函数形式：Y-X; lnY-lnXn建立模型：建立模型：lnY= + lnX+ in参数估计：参数估计：
12、咖啡需求的价格咖啡需求的价格弹性为弹性为-0.253直接置换法一般步骤直接置换法一般步骤n1、根据有关理论或变量之间的散点图判断回归模型形式。、根据有关理论或变量之间的散点图判断回归模型形式。n2、根根据据模模型型本本身身特特点点对对模模型型或或数数据据进进行行变变量量变变换换，使使变变换后的模型或数据具有线性回归模型形式。换后的模型或数据具有线性回归模型形式。n3、对变换后的线性模型进行拟合，并进行回归检验。、对变换后的线性模型进行拟合，并进行回归检验。n4、对对检检验验符符合合要要求求的的模模型型用用原原变变量量写写出出回回归归模模型型，并并用用于于预预测测或或控控制制，对对检检验验不不符
13、符合合要要求求的的模模型型重重新新拟拟合合，直直到到符合要求为止。符合要求为止。 2、非线性回归模型与变量的间接置换、非线性回归模型与变量的间接置换n 在在某某些些经经济济问问题题中中，经经济济变变量量之之间间的的非非线线性性关关系系，不不能能通通过过直直接接变变量量代代换换转转化化为为线线性性形形式式，需需要要先先通通过过函函数数形形式式的的变变形形后后再再进进行行变变量量代代换换，转转化化为为线线性性形形式式，这这种种置置换换方方法法称称为为间间接置换法。接置换法。n 进进行行变变量量间间接接代代换换应应用用最最广广泛泛的的模模型型就就是是指数模型与幂函数模型。指数模型与幂函数模型。（1）
14、指数函数模型）指数函数模型 指数函数模型的一般形式为指数函数模型的一般形式为 对上式两边取对数得到对上式两边取对数得到令令则可将原模型化为标准的线性回归模型；则可将原模型化为标准的线性回归模型；（2）幂函数模型幂函数模型幂函数模型的一般形式为：幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：对上式两边取对数得到：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型：则可将原模型化为标准的线性回归模型： n幂函数模型常用于人口增长、产值或利润幂函数模型常用于人口增长、产值或利润增长、劳动生产率以及就业等问题。这类增长、劳动生产率以及就业等问题。这类模型的一般形式为：模型的一般形式为： 以柯布以柯布道格拉斯（道格
15、拉斯（CobbDouglas）生产函数）生产函数模型模型 为例为例 下下表表列列出出了了1955-1974年年间间墨墨西西哥哥的的产产出出Y（用用国国内内生生产产总总值值GDP度度量量，以以1960年年不不变变价价格格计计算算，单单位位为为百百万万比比索索）、劳劳动动投投入入X2（用用总总就就业业人人数数度度量量，单单位位为为千千人人）以以及及资资本本投投入入X3（用用固固定定资资本本度度量量，以以1960年年不不变变价价格格计计算算，单单位位业业百百万万比比索索）的的数数据据，试试用用回回归归分分析析法法解解释释在在墨墨西西哥哥国内生产总值产出中，各要素的贡献及其产出特点。国内生产总值产出中
16、，各要素的贡献及其产出特点。 例题：例题：表表 墨西哥的实际墨西哥的实际GDP、就业人数和实际固定资本、就业人数和实际固定资本 解：根据所提供的数据，运用解：根据所提供的数据，运用Eviews4.1回归回归, 输出结果如下输出结果如下：回归方程为回归方程为： t = (-2.73) (1.83) (9.06) p = (0.0144*) (0.085) (0.000*) R2=0.995, F=1719.365 对回归方程解释如下：对回归方程解释如下： 斜斜率率系系数数0.3397表表示示产产出出对对劳劳动动报报酬酬的的弹弹性性，即即表表明明在在资资本本投投入入保保持持不不变变的的条条件件下下
17、，劳劳动动投投入入每每增增加加一一个个百百分分点点，平平均均产产出出将将增增加加0.3397个个百百分分点点。同同样样地地，在在劳劳动动投投入入保保持持不不变变的的条条件件下下，资资本本投投入入每每增增加加一一个个百百分分点点，产产出出将将平平均均增增加加0.8640个个百百分分点点。两两个个弹弹性性系系数数相相对对为为规规模模报报酬酬参参数数，其其数数值值等等于于1.1857，表表明明墨墨西西哥哥经经济济的的特特征征是是规规模模报报酬酬递递增增的的（如如果果数数值值等等于于1，属属于于规规模模报报酬酬不不变变；小小于于1，则则属属于于规规模模报酬递减）。报酬递减）。 虽虽然然资资本本对对产产
18、出出的的影影响响看看似似大大于于劳劳动动力力对对产产出出的的影影响响，但但根根据据单单边边检检验验的的结结果果，这这两两个个系系数数各各自自均均是是统统计计显显著著的的（这这是是用用单单边边检检验验，因因为为我我们们预预期期劳劳动动力力和和资资本本对对产产出出影影响响都都是是正正向向的的）估估计计的的F值值也也是是高高度度相相关关的的（因因为为p值值几几乎乎为为零零），因因此此能能够够拒拒绝绝零零假假设设：劳劳动动力力与与资资本本对对产产出出无无影响。影响。 R2值值为为0.995，表表明明劳劳动动力力和和资资本本（对对数数）解解释释了了大大约约99.5%的的产产出出（对对数数）的的变变动动，说说明明了了模模型型很很好好地地拟拟合合了样本数据。了样本数据。 3、复杂函数模型与级数展开法复杂函数模型与级数展开法 例如，著名的例如，著名的CES生产函数将产出量生产函数将产出量Q与投与投入要素（入要素（ ）之间的关系描述为如下的复杂函数）之间的关系描述为如下的复杂函数形式：形式： 方程两边取对数后，得到方程两边取对数后，得到： n将式中将式中 在在 处展开泰勒级数，取关于的线性项，即处展开泰勒级数，取关于的线性项，即得到一个线性近似式。得到一个线性近似式。 如取如取0阶、阶、1阶、阶、2阶项，可得阶项，可得
