世纪金榜数学文科教师用书配套

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1、第十章概率第一节 随机事件的概率【知【知识识梳理】梳理】1.1.必会知必会知识识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)基本概念基本概念: :必然事件必然事件: :在条件在条件S S下下,_,_发发生的事件生的事件, ,叫做相叫做相对对于条件于条件S S的必的必然事件然事件. .不可能事件不可能事件: :在条件在条件S S下下,_,_发发生的事件生的事件, ,叫做相叫做相对对于条件于条件S S的不可能事件的不可能事件. .确定事件确定事件:_:_事件与事件与_事件事件统统称称为为相相对对于条件于条件S S的确定事件的确定事件. .一定会一定会一定不会一定不会必然必然不可能不可能随机事件随机事

2、件: :在条件在条件S S下下_的事件的事件, ,叫做相叫做相对对于于条件条件S S的随机事件的随机事件. .频频数、数、频频率率: :在相同的条件在相同的条件S S下重复下重复n n次次试验试验, ,观观察某一事件察某一事件A A是否出是否出现现, ,称称n n次次试验试验中事件中事件A A出出现现的的_为为事件事件A A出出现现的的频频数数; ;称事件称事件A A出出现现的比例的比例f fn n(A)= (A)= 为为事件事件A A出出现现的的频频率率. .概率概率: :对对于于给给定的随机事件定的随机事件A,A,如果随着如果随着试验试验次数的增加次数的增加, ,事件事件A A发发生生的的

3、频频率率f fn n(A)(A)稳稳定在定在_,_,把把这这个常数个常数记记作作P(A),P(A),称称为为事件事件A A的的概率概率. .可能可能发发生也可能不生也可能不发发生生次数次数n nA A某个常数上某个常数上(2)(2)事件的关系与运算事件的关系与运算: :名称名称条件条件结论结论符号表示符号表示包含包含关系关系A A发发生生B B发发生生事件事件B_B_事件事件A(A(事件事件A A_事件事件B)B)B BA A( (或或A AB)B)相等相等关系关系若若_事件事件A A与事件与事件B B相等相等A=BA=B并并( (和和) )事件事件A A发发生或生或B B发发生生事件事件A

4、A与事件与事件B B的并事件的并事件( (或或和事件和事件) )_包含包含包含于包含于B BA A且且A AB BABAB( (或或A+B)A+B)名称名称条件条件结论结论符号表示符号表示交交( (积积) )事件事件A A发发生且生且B B发发生生事件事件A A与事件与事件B B的交事件的交事件( (或或积积事件事件) )_互斥互斥事件事件ABAB为为_事件事件事件事件A A与事件与事件B B互斥互斥AB=AB= 对对立立事件事件ABAB为为_事事件件,AB,AB为为必然事必然事件件事件事件A A与事件与事件B B互互为对为对立立事件事件AB=AB= , ,P(AB)=1P(AB)=1ABAB

5、( (或或AB)AB)不可能不可能不可能不可能(3)(3)概率的几个基本性概率的几个基本性质质: :概率的取概率的取值值范范围围:_.:_.必然事件的概率必然事件的概率为为_._.不可能事件的概率不可能事件的概率为为_._.概率的加法公式概率的加法公式: :如果事件如果事件A A与事件与事件B B互斥互斥, ,则则P(AB)=_.P(AB)=_.对对立事件的概率立事件的概率: :若事件若事件A A与事件与事件B B互互为对为对立事件立事件, ,则则ABAB为为必然事必然事件件,P(AB)=_,P(A)=_.,P(AB)=_,P(A)=_.0P(A)10P(A)11 10 0P(A)+P(B)P

6、(A)+P(B)1-P(B)1-P(B)1 12.2.必必备结论备结论 教材提教材提炼炼记记一一记记(1)(1)由各个事件所含的由各个事件所含的结结果果组组成的集合彼此的交集成的集合彼此的交集为为空集空集, ,则则事件互斥事件互斥. .(2)(2)事件事件A A的的对对立事件立事件 所含的所含的结结果果组组成的集合成的集合, ,是全集中由事件是全集中由事件A A所含所含的的结结果果组组成的集合的成的集合的补补集集. .3.3.必用技法必用技法 核心核心总结总结看一看看一看(1)(1)常用方法常用方法: :近似代替法、正近似代替法、正难则难则反法、反法、转转化法化法. .(2)(2)数学思想数学

7、思想: :数形数形结结合思想、合思想、转转化与化化与化归归思想思想. .(3)(3)记忆记忆口口诀诀: :不可能随机与必然不可能随机与必然概率介于概率介于0 0与与1 1间间对对立含于互斥中立含于互斥中正正难难你就求反面你就求反面【小【小题题快快练练】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考判一判静心思考判一判(1)(1)事件事件发发生的生的频频率与概率是相同的率与概率是相同的.(.() )(2)(2)随机事件和随机随机事件和随机试验试验是一回事是一回事.(.() )(3)(3)在大量重复在大量重复试验试验中中, ,概率是概率是频频率的率的稳稳定定值值.(.() )(4)(4)两个事件的和事件是指两

8、个事件至少有一个两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发发生生.(.() )【解析】【解析】(1)(1)错误错误. .频率是在相同的条件下重复频率是在相同的条件下重复n n次试验次试验, ,频数与试验次频数与试验次数的比值数的比值, ,它是概率的一个近似值它是概率的一个近似值, ,频率是随机的频率是随机的, ,概率是一个客观存概率是一个客观存在的确定的数值在的确定的数值. .(2)(2)错误错误. .在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件; ;条件每实现一次条件每实现一次, ,叫做一次试验叫做一次试验, ,如果试验结果无法确定如果试

9、验结果无法确定, ,叫做随机试叫做随机试验验. .(3)(3)正确正确. .由概率的定义可知由概率的定义可知, ,在大量重复试验中在大量重复试验中, ,概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值. .(4)(4)正确正确. .两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生两个事件的和事件是指两个事件至少有一个发生. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.教材改教材改编编 链链接教材接教材练练一一练练(1)(1)(必修必修3P123T13P123T1改改编编) )若若A,BA,B为为互斥事件互斥事件, ,则则P(A)+P(B)P(A)+P(B)1.1.【解析】【解析】由互

10、斥事件概率的性质可知由互斥事件概率的性质可知:P(A)+P(B)1.:P(A)+P(B)1.答案答案: :(2)(2)(必修必修3P124T63P124T6改改编编) )袋中装有袋中装有9 9个白球个白球,2,2个个红红球球, ,从中任取从中任取3 3个球个球, ,则则恰有恰有1 1个个红红球和全是白球球和全是白球;至少有至少有1 1个个红红球和全是白球球和全是白球;至少有至少有1 1个个红红球和至少有球和至少有2 2个白球个白球;至少有至少有1 1个白球和至少有个白球和至少有1 1个个红红球球. .在上述事件中在上述事件中, ,是是对对立事件的立事件的为为. .【解析】【解析】至少有至少有1

11、 1个红球和全是白球不同时发生个红球和全是白球不同时发生, ,且一定有一个发生且一定有一个发生. .所以所以中两事件是对立事件中两事件是对立事件. .答案答案: :3.3.真真题题小小试试 感悟考感悟考题题试试一一试试(1)(2015(1)(2015西安模西安模拟拟) )下列各下列各组组事件中事件中, ,不是互斥事件的是不是互斥事件的是( () )A.A.一个射手一个射手进进行一次射行一次射击击, ,命中命中环环数大于数大于8 8与命中与命中环环数小于数小于6 6B.B.统计统计一个班的数学成一个班的数学成绩绩, ,平均分不低于平均分不低于9090分与平均分不高于分与平均分不高于9090分分C

12、.C.播种播种100100粒菜籽粒菜籽, ,发发芽芽9090粒与粒与发发芽芽8080粒粒D.D.检验检验某种某种产产品品, ,合格率高于合格率高于70%70%与合格率低于与合格率低于70%70%【解析】【解析】选选B.B.由互斥事件的意义由互斥事件的意义A,C,DA,C,D都是互斥事件都是互斥事件, ,而平均分不低于而平均分不低于9090分与平均分不高于分与平均分不高于9090分都含有分都含有9090分分, ,故故B B不是互斥事件不是互斥事件. .(2)(2015(2)(2015福州模福州模拟拟) )在一次在一次乒乓乒乓球比球比赛赛中中, ,某班代表某班代表队队的两名的两名选选手手甲甲夺夺得

13、冠得冠军军的概率的概率为为 , ,乙乙夺夺得冠得冠军军的概率的概率为为 , ,则该则该班班夺夺得冠得冠军军的的概率概率为为. .【解析】【解析】由于该班夺得冠军的事件包括由于该班夺得冠军的事件包括“甲夺得冠军甲夺得冠军”和和“乙夺得冠乙夺得冠军军”,”,但这两个事件不可能同时发生但这两个事件不可能同时发生, ,即彼此互斥即彼此互斥, ,所以该班夺冠的概所以该班夺冠的概率为率为 答案答案: :(3)(2015(3)(2015哈哈尔尔滨滨模模拟拟) )若若A,BA,B为为互斥事件互斥事件,P(A)=0.4,P(AB)=0.7,P(A)=0.4,P(AB)=0.7,则则P(B)=P(B)=. .【解

14、析】【解析】因为因为A,BA,B为互斥事件为互斥事件, ,所以所以P(AB)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)+P(B).所以所以P(B)=P(AB)-P(A)=0.7-0.4=0.3.P(B)=P(AB)-P(A)=0.7-0.4=0.3.答案答案: :0.30.3考点考点1 1 随机事件及其随机事件及其频频率和概率率和概率【典例【典例1 1】假假设设甲乙两种品牌的同甲乙两种品牌的同类产类产品在某地区市品在某地区市场场上上销销售量相等售量相等, ,为为了解它了解它们们的使用寿命的使用寿命, ,现现从从这这两种品牌的两种品牌的产产品中分品中分别别随机抽取随机抽取100100个个进进行行

15、测试测试, ,结结果果统计统计如如图图所示所示: :(1)(1)估估计计甲品牌甲品牌产产品寿命小于品寿命小于200200小小时时的概率的概率. .(2)(2)这这两种品牌两种品牌产产品中品中, ,某个某个产产品已使用了品已使用了200200小小时时, ,试试估估计该产计该产品是甲品品是甲品牌的概率牌的概率. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)根据统计图分析甲品牌产品寿命小于根据统计图分析甲品牌产品寿命小于200200小时的频率小时的频率, ,利用频率估计概率利用频率估计概率. .(2)(2)分析寿命大于分析寿命大于200200小时的甲、乙品牌的产品数小时的甲、乙品牌的产品数, ,计算甲产品

16、的频率计算甲产品的频率, ,从而估计概率从而估计概率. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)甲品牌产品寿命小于甲品牌产品寿命小于200200小时的频率为小时的频率为 所以估计甲品牌产品寿命小于所以估计甲品牌产品寿命小于200200小时的概率为小时的概率为 . .(2)(2)根据抽样结果根据抽样结果, ,寿命大于寿命大于200200小时的产品共有小时的产品共有75+70=145(75+70=145(个个),),其中其中甲品牌产品是甲品牌产品是7575个个. .所以在样本中所以在样本中, ,寿命大于寿命大于200200小时的产品是甲品牌的频率是小时的产品是甲品牌的频率是所以估计已使用了所以估计已

17、使用了200200小时的该产品是甲品牌的概率为小时的该产品是甲品牌的概率为 【规规律方法】律方法】1.1.概率与概率与频频率的关系率的关系频频率反映了一个随机事件出率反映了一个随机事件出现现的的频频繁程度繁程度, ,频频率是随机的率是随机的, ,而概率是一而概率是一个确定的个确定的值值, ,通常用概率来反映随机事件通常用概率来反映随机事件发发生的可能性的大小生的可能性的大小, ,有有时时也也用用频频率来作率来作为为随机事件概率的估随机事件概率的估计值计值. .2.2.随机事件概率的求法随机事件概率的求法利用概率的利用概率的统计统计定定义义求事件的概率求事件的概率, ,即通即通过过大量的重复大量

18、的重复试验试验, ,事件事件发发生生的的频频率会逐率会逐渐趋渐趋近于某一个常数近于某一个常数, ,这这个常数就是概率个常数就是概率. .【变变式式训练训练】1.1.给给出下列命出下列命题题, ,其中正确命其中正确命题题有有个个. .有一大批有一大批产产品品, ,已知次品率已知次品率为为10%,10%,从中任取从中任取100100件件, ,必有必有1010件是次品件是次品; ;做做7 7次抛硬次抛硬币币的的试验试验, ,结结果果3 3次出次出现现正面正面, ,因此正面出因此正面出现现的概率是的概率是 ; ;随机事件随机事件发发生的生的频频率就是率就是这这个随机事件个随机事件发发生的概率生的概率.

19、 .【解析】【解析】错错, ,不一定是不一定是1010件次品件次品; ;错错, , 是频率而非概率是频率而非概率; ;错错, ,频频率不等于概率率不等于概率, ,这是两个不同的概念这是两个不同的概念. .答案答案: :0 02.2.某人在如某人在如图图所示的直角所示的直角边长为边长为4 4米的三角形地米的三角形地块块的每个格点的每个格点( (指指纵纵、横直横直线线的交叉点以及三角形的的交叉点以及三角形的顶顶点点) )处处都种了一株相同品种的作物都种了一株相同品种的作物. .根根据据历历年的种植年的种植经验经验, ,一株一株该该种作物的年收种作物的年收获获量量Y(Y(单单位位:kg):kg)与它

20、的与它的“相近相近”作物株数作物株数X X之之间间的关系如表所示的关系如表所示: :X1234Y51484542这这里里, ,两株作物两株作物“相近相近”是指它是指它们们之之间间的直的直线线距离不超距离不超过过1 1米米. .(1)(1)完成下表完成下表, ,并求所种作物的平均年收并求所种作物的平均年收获获量量: :(2)(2)在所种作物中随机在所种作物中随机选选取一株取一株, ,求它的年收求它的年收获获量至少量至少为为48kg48kg的概率的概率. .Y Y5151484845454242频频数数4 4【解析】【解析】(1)(1)所种作物的总株数为所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,

21、1+2+3+4+5=15,其中其中“相近相近”作物作物株数为株数为1 1的作物有的作物有2 2株株,“,“相近相近”作物株数为作物株数为2 2的作物有的作物有4 4株株,“,“相近相近”作作物株数为物株数为3 3的作物有的作物有6 6株株,“,“相近相近”作物株数为作物株数为4 4的作物有的作物有3 3株株, ,列表如下列表如下: :Y Y5151484845454242频数频数2 24 46 63 3所种作物的平均年收获量为所种作物的平均年收获量为(2)(2)由由(1)(1)知，知，P(YP(Y51)51) ，P(YP(Y48)48) . .故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为故在

22、所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg48 kg的概率为的概率为P(Y48)P(Y48)P(YP(Y51)51)P(YP(Y48)48)【加固【加固训练训练】A A地到火地到火车车站共有两条路径站共有两条路径L L1 1和和L L2 2, ,现现随机抽取随机抽取100100位从位从A A地到火地到火车车站的人站的人进进行行调查调查, ,调查结调查结果如下果如下: :所用所用时间时间( (分分钟钟) )1010202020203030303040404040505050506060选择选择L L1 1的人数的人数6 61212181812121212选择选择L L2 2的人数的人数

23、0 04 4161616164 4(1)(1)试试估估计计4040分分钟钟内不能赶到火内不能赶到火车车站的概率站的概率. .(2)(2)分分别别求通求通过过路径路径L L1 1和和L L2 2所用所用时间时间落在上表中各落在上表中各时间时间内的概率内的概率. .(3)(3)现现甲、乙两人分甲、乙两人分别别有有4040分分钟钟和和5050分分钟时间钟时间用于赶往火用于赶往火车车站站, ,为为了尽了尽最大可能在允最大可能在允许许的的时间时间内赶到火内赶到火车车站站, ,试试通通过计过计算算说说明明, ,他他们们如何如何选择选择各自的路径各自的路径. .【解析】【解析】(1)(1)由已知共调查了由已

24、知共调查了100100人人, ,其中其中4040分钟内不能赶到火车站的分钟内不能赶到火车站的有有12+12+16+4=4412+12+16+4=44人人, ,因此用频率估计相应的概率为因此用频率估计相应的概率为0.44.0.44.(2)(2)选择路线选择路线L L1 1的有的有6060人人, ,选择路线选择路线L L2 2的有的有4040人人, ,故由调查结果得出的频故由调查结果得出的频率为率为: :所用时间所用时间( (分钟分钟) )1010202020203030303040404040505050506060L L1 1的频率的频率0.10.10.20.20.30.30.20.20.20

25、.2L L2 2的频率的频率0 00.10.10.40.40.40.40.10.1(3)(3)设设A A1 1,A,A2 2分别表示甲选择分别表示甲选择L L1 1和和L L2 2时时, ,在在4040分钟内赶到火车站分钟内赶到火车站;B;B1 1,B,B2 2分分别表示乙选择别表示乙选择L L1 1和和L L2 2时时, ,在在5050分钟内赶到火车站分钟内赶到火车站. .由由(2)(2)知知:P(A:P(A1 1)=0.1+)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A0.2+0.3=0.6,P(A2 2)=0.1+0.4=0.5,P(A)=0.1+0.4=0.5,P(A1 1)P(A)P(A

26、2 2),),所以甲应选择所以甲应选择L L1 1. .又因又因为为P(BP(B1 1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2 2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B1 1)P(B)P(B2 2),),所以乙应选择所以乙应选择L L2 2. .考点考点2 2 随机事件随机事件间间的关系的关系【典例【典例2 2】(1)(1)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2 2个球个球, ,以下以下给给出了三出了三组组事件事件: :至少有至少有1 1个白球与至少有

27、个白球与至少有1 1个黄球个黄球; ;至少有至少有1 1个黄球与都是黄球个黄球与都是黄球; ;恰有恰有1 1个白球与恰有个白球与恰有1 1个黄球个黄球. .其中互斥而不其中互斥而不对对立的事件共有立的事件共有( () )A.0A.0组组B.1B.1组组C.2C.2组组D.3D.3组组(2)(2)某小某小组组有有3 3名男生和名男生和2 2名女生名女生, ,从中任从中任选选2 2名同学去参加演名同学去参加演讲讲比比赛赛, ,判断判断下列各下列各对对事件是否是互斥事件事件是否是互斥事件, ,并并说说明理由明理由. .恰有恰有1 1名男生和恰有两名男生名男生和恰有两名男生; ;至少有至少有1 1名男

28、生和至少有名男生和至少有1 1名女生名女生; ;至少有至少有1 1名男生和全是男生名男生和全是男生; ;至少有至少有1 1名男生和全是女生名男生和全是女生. .【解题提示】【解题提示】(1)(1)对立事件是在互斥的基础之上对立事件是在互斥的基础之上, ,在一次试验中两个事在一次试验中两个事件必定有一个要发生件必定有一个要发生. .根据这个定义根据这个定义, ,对各选项依次加以分析对各选项依次加以分析, ,不难得不难得出符合题意的答案出符合题意的答案. .(2)(2)判断两个事件是否为互斥事件判断两个事件是否为互斥事件, ,就是考虑它们能否同时发生就是考虑它们能否同时发生, ,如果如果不能同时发

29、生不能同时发生, ,就是互斥事件就是互斥事件, ,否则就不是互斥事件否则就不是互斥事件. .【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选A.A.对于对于,“,“至少有至少有1 1个白球个白球”发生时发生时,“,“至少有至少有1 1个黄球个黄球”也会发生也会发生, ,比如恰好一个白球和一个黄球比如恰好一个白球和一个黄球, ,故故中的两个事件中的两个事件不互斥不互斥. .对于对于,“,“至少有至少有1 1个黄球个黄球”说明有黄球说明有黄球, ,黄球的个数可能是黄球的个数可能是1 1或或2,2,而而“都是黄球都是黄球”说明黄球的个数是说明黄球的个数是2,2,故这两个事件不是互斥事件故这两个事件不是互斥事

30、件. .“恰有恰有1 1个白球个白球”与与“恰有恰有1 1个黄球个黄球”,”,都表示取出的两个球中都表示取出的两个球中, ,一个一个是白球是白球, ,另一个是黄球另一个是黄球. .故不是互斥事件故不是互斥事件. .故选故选A.A.(2)(2)是互斥事件是互斥事件. .理由是理由是: :在所选的在所选的2 2名同学中名同学中,“,“恰有恰有1 1名男生名男生”实质实质选出的是选出的是“1“1名男生和名男生和1 1名女生名女生”,”,它与它与“恰有两名男生恰有两名男生”不可能同时不可能同时发生发生, ,所以是一对互斥事件所以是一对互斥事件. .不是互斥事件不是互斥事件. .理由是理由是:“:“至少

31、有至少有1 1名男生名男生”包括包括“1“1名男生、名男生、1 1名女名女生生”和和“两名都是男生两名都是男生”两种结果两种结果.“.“至少有至少有1 1名女生名女生”包括包括“1“1名女名女生、生、1 1名男生名男生”和和“两名都是女生两名都是女生”两种结果两种结果, ,当事件当事件“有有1 1名男生和名男生和1 1名女生名女生”发生时两个事件都发生了发生时两个事件都发生了. .不是互斥事件不是互斥事件. .理由是理由是:“:“至少有至少有1 1名男生名男生”包括包括“1“1名男生、名男生、1 1名女名女生生”和和“两名都是男生两名都是男生”,”,这与这与“全是男生全是男生”可同时发生可同时

32、发生. .是互斥事件是互斥事件. .理由是理由是:“:“至少有至少有1 1名男生名男生”包括包括“1“1名男生、名男生、1 1名女生名女生”和和“两名都是男生两名都是男生”两种结果两种结果, ,它和它和“全是女生全是女生”不可能同时发生不可能同时发生. .【互【互动动探究】探究】第第(1)(1)题题条件不条件不变变, ,根据摸出的根据摸出的结结果写出三果写出三对对对对立事件立事件. .【解析】【解析】至少有至少有1 1个白球与个白球与2 2个全是黄球个全是黄球; ;至多有至多有1 1个白球与个白球与2 2个全是白球个全是白球; ;11个白球个白球1 1个黄球与两个都是白球或黄球个黄球与两个都是

33、白球或黄球. .【规规律方法】律方法】1.1.准确把握互斥事件与准确把握互斥事件与对对立事件的概念立事件的概念(1)(1)互斥事件是不可能同互斥事件是不可能同时发时发生的事件生的事件, ,但可以同但可以同时时不不发发生生. .(2)(2)对对立事件是特殊的互斥事件立事件是特殊的互斥事件, ,特殊在特殊在对对立的两个事件不可能都不立的两个事件不可能都不发发生生, ,即有且即有且仅仅有一个有一个发发生生. .2.2.判判别别互斥、互斥、对对立事件的方法立事件的方法判判别别互斥事件、互斥事件、对对立事件一般用定立事件一般用定义义判断判断, ,不可能同不可能同时发时发生的两个事生的两个事件件为为互斥事

34、件互斥事件; ;两个事件两个事件, ,若有且若有且仅仅有一个有一个发发生生, ,则这则这两事件两事件为对为对立事件立事件, ,对对立事件一定是互斥事件立事件一定是互斥事件. .【变变式式训练训练】口袋里装有口袋里装有1 1红红,2,2白白,3,3黄共黄共6 6个形状相同的小球个形状相同的小球, ,从中取从中取出出2 2球球, ,事件事件A=“A=“取出的两球同色取出的两球同色”,B=“”,B=“取出的取出的2 2球中至少有一个黄球中至少有一个黄球球”,C=“”,C=“取出的取出的2 2球至少有一个白球球至少有一个白球”,D=“”,D=“取出的两球不同色取出的两球不同色”,”,E=“E=“取出的

35、取出的2 2球中至多有一个白球球中至多有一个白球”.”.下列判断中正确的序号下列判断中正确的序号为为. .AA与与D D为对为对立事件立事件;B;B与与C C是互斥事件是互斥事件;C;C与与E E是是对对立事件立事件;P(CE);P(CE)=1;P(B)=P(C).=1;P(B)=P(C).【解析】【解析】当取出的当取出的2 2个球中一黄一白时个球中一黄一白时,B,B与与C C都发生了都发生了, ,故故错错; ;当取出当取出的的2 2个球中恰有一白球时个球中恰有一白球时,C,C与与E E都发生了都发生了, ,故故错错;P(B)= ,P(C)= ,;P(B)= ,P(C)= ,故故错错,和和都是

36、正确的都是正确的. .答案答案: :【加固【加固训练训练】从从6 6个男生、个男生、2 2个女生中任个女生中任选选3 3人人, ,则则下列事件中必然事件下列事件中必然事件是是( () )A.3A.3个都是男生个都是男生B.B.至少有至少有1 1个男生个男生C.3C.3个都是女生个都是女生D.D.至少有至少有1 1个女生个女生【解析】【解析】选选B.B.因为只有因为只有2 2个女生个女生, ,任选任选3 3人人, ,则至少有则至少有1 1人是男生人是男生. .考点考点3 3 互斥事件、互斥事件、对对立事件的概率立事件的概率知知考情考情 互斥事件、互斥事件、对对立事件概率的求解是高考考立事件概率的

37、求解是高考考查查概率的一个重要考向概率的一个重要考向, ,常以常以选择题选择题、填空、填空题题的形式出的形式出现现. .明明角度角度命命题题角度角度1:1:互斥事件的概率互斥事件的概率【典例【典例3 3】(2015(2015长长沙模沙模拟拟) )经过统计经过统计, ,在某在某储储蓄所一个蓄所一个营业营业窗口等候人窗口等候人数及相数及相应应概率如下概率如下: :(1)(1)求至多求至多2 2人排人排队队等候的概率是多少等候的概率是多少? ?(2)(2)求至少求至少3 3人排人排队队等候的概率是多少等候的概率是多少? ?排排队队人数人数0 01 12 23 34 45 5人及以上人及以上概率概率0

38、.10.10.160.160.30.30.30.30.10.10.040.04【解题提示】【解题提示】至多至多2 2人排队等候人排队等候, ,包含包含0 0人排队等候、人排队等候、1 1人排队等候与人排队等候与2 2人排队等候人排队等候3 3个互斥事件个互斥事件; ;至少至少3 3人排队等候包含人排队等候包含3 3人排队等候、人排队等候、4 4人排人排队等候与队等候与5 5人及以上排队等候人及以上排队等候3 3个互斥事件个互斥事件. .【规范解答】【规范解答】设设“至多至多2 2人排队等候人排队等候”为事件为事件B,“B,“至少至少3 3人排队等候人排队等候”为事件为事件C,C,(1)P(B)

39、=0.1+0.16+0.3=0.56.(1)P(B)=0.1+0.16+0.3=0.56.(2)P(C)=0.3+0.1+0.04=0.44.(2)P(C)=0.3+0.1+0.04=0.44.命命题题角度角度2:2:对对立事件的概率立事件的概率【典例【典例4 4】(2015(2015唐山模唐山模拟拟) )已知甲、乙两人下棋已知甲、乙两人下棋, ,和棋的概率和棋的概率为为 , ,乙乙胜胜的概率的概率为为 , ,则则甲甲胜胜的概率和甲不的概率和甲不输输的概率分的概率分别为别为. .【解题提示】【解题提示】“甲胜甲胜”的对立事件是的对立事件是“和棋或乙胜和棋或乙胜”;“”;“甲不输甲不输”可可看作

40、是看作是“甲胜甲胜”与与“和棋和棋”这两个互斥事件的和事件或这两个互斥事件的和事件或“乙胜乙胜”的对的对立事件立事件. .【规范解答】【规范解答】“甲胜甲胜”是是“和棋或乙胜和棋或乙胜”的对立事件的对立事件, ,所以所以“甲胜甲胜”的概率为的概率为 方法一方法一: :设设“甲不输甲不输”为事件为事件A,A,则则A A可看作是可看作是“甲胜甲胜”与与“和棋和棋”这这两个互斥事件的和事件两个互斥事件的和事件, ,所以所以P(A)=P(A)=方法二方法二: :设设“甲不输甲不输”为事件为事件A,A,则则A A可看作是可看作是“乙胜乙胜”的对立事件的对立事件, ,所所以以P(A)=P(A)=答案答案:

41、 :【易【易错错警示】警示】解答本解答本题题有两点容易出有两点容易出错错:(1)“:(1)“甲甲胜胜”的的对对立事件立事件为为“乙乙胜胜”,”,从而造成从而造成错错解解.(2)“.(2)“甲不甲不输输”的的对对立事件立事件为为“乙不乙不输输”,”,从而造成从而造成错误错误. .悟悟技法技法求复求复杂杂的互斥事件的概率的两种方法的互斥事件的概率的两种方法(1)(1)直接求解法直接求解法, ,将所求事件的概率分解将所求事件的概率分解为为一些彼此互斥的事件的概率一些彼此互斥的事件的概率的和的和, ,运用互斥事件的概率求和公式运用互斥事件的概率求和公式计计算算. .(2)(2)间间接求法接求法, ,先

42、求此事件的先求此事件的对对立事件的概率立事件的概率, ,再用公式再用公式P(A)=1-P( ),P(A)=1-P( ),即运用逆向思即运用逆向思维维( (正正难则难则反反),),特特别别是是“至多至多”“”“至少至少”型型题题目目, ,用用间间接接求法就求法就显显得得较简较简便便. .通通一一类类1.(20151.(2015合肥模合肥模拟拟) )从一箱从一箱产产品中随机地抽取一件品中随机地抽取一件, ,设设事件事件A=A=抽到抽到一等品一等品,事件事件B=B=抽到二等品抽到二等品,事件事件C=C=抽到三等品抽到三等品,且已知且已知P(A)P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,

43、=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则则事件事件“抽到的不是一等品抽到的不是一等品”的概率的概率为为( () )A.0.7 B.0.65 A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 C.0.35 D.0.3【解析】【解析】选选C.C.事件事件“抽到的不是一等品抽到的不是一等品”与事件与事件A A是对立事件是对立事件, ,由于由于P(A)=0.65,P(A)=0.65,所以由对立事件的概率公式得所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品抽到的不是一等品”的概的概率为率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.P=1-P(A)=1-0.65=0.35.2.(20152.(2

44、015日照模日照模拟拟) )在一次随机在一次随机试验试验中中, ,彼此互斥的事件彼此互斥的事件A,B,C,DA,B,C,D的概的概率分率分别别是是0.2,0.2,0.3,0.3,0.2,0.2,0.3,0.3,则则下列下列说说法正确的是法正确的是( () )A.A+BA.A+B与与C C是互斥事件是互斥事件, ,也是也是对对立事件立事件B.B+CB.B+C与与D D是互斥事件是互斥事件, ,也是也是对对立事件立事件C.A+CC.A+C与与B+DB+D是互斥事件是互斥事件, ,但不是但不是对对立事件立事件D.AD.A与与B+C+DB+C+D是互斥事件是互斥事件, ,也是也是对对立事件立事件【解析

45、】【解析】选选D.D.因为因为A,B,C,DA,B,C,D彼此互斥彼此互斥, ,且且A+B+C+DA+B+C+D是是一个必然事件一个必然事件, ,故其事件的关系可由如图所示的故其事件的关系可由如图所示的VennVenn图表示图表示, ,由图可知由图可知, ,任何一个事件与其余任何一个事件与其余3 3个个事件的和事件必然是对立事件事件的和事件必然是对立事件, ,任何两个事件的任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件. .故选故选D.D.3.(20153.(2015威海模威海模拟拟) )围围棋盒子中有多粒黑子和白子棋盒子中有多粒黑子和白子, ,

46、已知从中取出已知从中取出2 2粒都是黑子的概率粒都是黑子的概率为为 , ,都是白子的概率是都是白子的概率是 . .则则从中任意取出从中任意取出2 2粒粒恰好是同一色的概率是恰好是同一色的概率是. .【解析】【解析】设设“从中取出从中取出2 2粒都是黑子粒都是黑子”为事件为事件A,“A,“从中取出从中取出2 2粒都是白粒都是白子子”为事件为事件B,“B,“任意取出任意取出2 2粒恰好是同一色粒恰好是同一色”为事件为事件C,C,则则C=AB,C=AB,且且事件事件A A与与B B互斥互斥. .所以所以P(C)=P(A)+P(B)= .P(C)=P(A)+P(B)= .即任意取出即任意取出2 2粒恰

47、粒恰好是同一色的概率为好是同一色的概率为 . .答案答案: :4.(20154.(2015北京模北京模拟拟) )有有编编号号为为1,2,31,2,3的三个白球的三个白球, ,编编号号4,5,64,5,6的三个黑球的三个黑球, ,这这六个球除六个球除编编号和号和颜颜色外完全相同色外完全相同, ,现现从中任意取出两个球从中任意取出两个球. .(1)(1)求取得的两个球求取得的两个球颜颜色相同的概率色相同的概率. .(2)(2)求取得的两个球求取得的两个球颜颜色不相同的概率色不相同的概率. .【解析】【解析】从六个球中取出两个球的基本事件是从六个球中取出两个球的基本事件是: :(1,2),(1,3)

48、,(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计共计1515个个. .(1)(1)记事件记事件A A为为“取出的两个球是白球取出的两个球是白球”,”,则这个事件包含的基本事件则这个事件包含的基本事件是是(1,2),(1,3),(2,3),(1,2),(1,3),(2,3),共计共计3 3个个, ,故故P(

49、A)= P(A)= 记记“取出的两个球是黑球取出的两个球是黑球”为事件为事件B,B,同理可得同理可得P(B)=P(B)=记事件记事件C C为为“取出的两个球的颜色相同取出的两个球的颜色相同”,A,B”,A,B互斥互斥, ,根据互斥事件的根据互斥事件的概率加法公式概率加法公式, ,得得P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)=(2)(2)记事件记事件D D为为“取出的两个球的颜色不相同取出的两个球的颜色不相同”,”,则事件则事件C,DC,D对立对立, ,根据根据对立事件概率之间的关系对立事件概率之间的关系, ,得得P(D)=1-P(C)=1-P(D)=1

50、-P(C)=1-自我自我纠错纠错2424 求互斥事件的概率求互斥事件的概率【典例】【典例】抛抛掷掷一枚均匀的正方体骰子一枚均匀的正方体骰子( (各面分各面分别标别标有数字有数字1,2,3,1,2,3,4,5,6),4,5,6),事件事件A A表示表示“朝上一面的数是奇数朝上一面的数是奇数”,”,事件事件B B表示表示“朝上一朝上一面的数不超面的数不超过过3”,3”,则则P(AB)=_.P(AB)=_.【解题过程】【解题过程】【错错解分析】解分析】分析上面解分析上面解题过题过程程, ,你知道你知道错错在哪里在哪里吗吗? ?提示提示: :不清楚事件不清楚事件A,BA,B的关系的关系, ,误以为事件

51、误以为事件A,BA,B是互斥事件导致错解是互斥事件导致错解. .【规避策略】【规避策略】理解互斥事件、对立事件的含义理解互斥事件、对立事件的含义, ,准确按定义判断事件准确按定义判断事件的关系的关系. .有时需要利用转化思想有时需要利用转化思想, ,将不互斥的事件将不互斥的事件, ,重新组合转化为互重新组合转化为互斥事件斥事件. .【自我矫正】【自我矫正】事件事件ABAB可以分成事件可以分成事件C=“C=“朝上一面的数为朝上一面的数为1,2,3”1,2,3”与事件与事件D=“D=“朝上一面的数为朝上一面的数为5”,5”,则事件则事件C C和事件和事件D D互斥互斥, ,故故P(AB)=P(AB)=P(CD)=P(C)+P(D)=P(CD)=P(C)+P(D)=答案答案: :