初等变换与初等矩阵

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1、1第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵2.5 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换三、初等矩阵三、初等矩阵四、等价四、等价五、利用初等变换求逆矩阵五、利用初等变换求逆矩阵二、行阶梯形与标准形二、行阶梯形与标准形2第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 所谓矩阵的初等变换来源于对线性方程组的所谓矩阵的初等变换来源于对线性方程组的同解变换同解变换。 前面几节主要介绍了矩阵与矩阵之间以及矩阵前面几节主要介绍了矩阵与矩阵之间以及矩阵与与( (实实) )数数之间的之间的代数运算关系代数运算关系。 本节则主要介绍矩阵内部元素与元素之

2、间、行与行之间本节则主要介绍矩阵内部元素与元素之间、行与行之间以及列与列之间的以及列与列之间的操作关系操作关系。3第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换:( (记为记为 ) )( (记为记为 ) )一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换( (记为记为 ) )(1) 交换交换 (或或对调对调) 两行；两行；(3) 某行的某行的 k 倍加到另一行上。倍加到另一行上。(2) 将某行将某行 k 倍倍 ；矩阵的矩阵的行初等变换行初等变换与与列初等变换列初等变换统称为统称为初等变换初等变换同样可定义同样可定义列初等变换列初等变换 (所用记号是把

3、所用记号是把“r”换成换成“c”) .定义定义“ ” 连接，不可用连接，不可用“ = ”连接。连接。注意注意对矩阵进行初等变换时，所得矩阵和原矩阵之间用对矩阵进行初等变换时，所得矩阵和原矩阵之间用4第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵例例 利用初等变换利用初等变换“化简化简”矩阵矩阵5第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵记为记为6第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与标准形二、行阶梯形与标准形1. 行阶梯形行阶梯形称矩阵称矩阵 A 为为行阶梯行阶梯形形，如果满足如下条件：，如果满足如下条件：(1) 若若 A 有零行，则有零行，则零行零行位于位于最下方最下方。(2) 每个非零行

4、的第一个非零元每个非零行的第一个非零元( (即即非零首元非零首元) )的列号的列号定义定义严格大于上一行的非零首元的列号严格大于上一行的非零首元的列号 .7第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与标准形二、行阶梯形与标准形1. 行阶梯形行阶梯形而而 不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵 .下列矩阵都是阶梯形矩阵：下列矩阵都是阶梯形矩阵：例如例如8第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与标准形二、行阶梯形与标准形1. 行阶梯形行阶梯形2. 行标准形行标准形称矩阵称矩阵 A 为为行标准行标准形形，如果满足如下条件：，如果满足如下条件：(1) A 为行阶梯形；为行阶梯形；(2) 每个

5、非零行的非零首元为每个非零行的非零首元为 1 .定义定义(3) 每个非零行的非零首元所在列的其余元素全为每个非零行的非零首元所在列的其余元素全为 0 .矩阵矩阵 为为行标准形行标准形 .例如例如9第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与标准形二、行阶梯形与标准形1. 行阶梯形行阶梯形2. 标准行阶梯形标准行阶梯形3. 标准形标准形称矩阵称矩阵 A 为为标准形标准形, 如果如果 A 的左上角为单位阵的左上角为单位阵, 其余的其余的定义定义元素全为元素全为 0，即即10第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵二、行阶梯形与标准形二、行阶梯形与标准形1. 行阶梯形行阶梯形2. 标准行阶梯形

6、标准行阶梯形3. 标准形标准形4. 结论结论(1) 对于任何矩阵，经过初等行变换总可以变为对于任何矩阵，经过初等行变换总可以变为行阶梯形行阶梯形；(2) 进一步，经过初等行变换总可以变为进一步，经过初等行变换总可以变为行标准形行标准形；(3) 更进一步，经过初等变换总可以变成更进一步，经过初等变换总可以变成标准形标准形 . 下面从另一个角度来认识初等变换，下面从另一个角度来认识初等变换，变为对矩阵的变为对矩阵的运算运算。并把对矩阵的并把对矩阵的操作操作11第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵引例引例 单位阵单位阵交换两行交换两行左左乘矩阵乘矩阵 矩阵被矩阵被交换两行交

7、换两行 单位阵单位阵交换两列交换两列右右乘矩阵乘矩阵 矩阵被矩阵被交换两列交换两列12第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵单位矩阵单位矩阵 I 经过经过一次一次初等变换得到的矩阵称为初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵. 三种初等变换对应着三类初等矩阵三种初等变换对应着三类初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵定义定义(1) 交换交换单位矩阵单位矩阵的两行的两行 (列列)；(3) 将将单位矩阵单位矩阵某行某行 (列列) 的的 k 倍加到另一行倍加到另一行 (列列) 上。上。(2) 将将单位矩阵单位矩阵某行某行 (列列) k 倍倍 ；13第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩

8、阵(1) 交换单位矩阵的交换单位矩阵的两行两行 (列列)；第第 i 列列第第 j 列列第第 i 行行第第 j 行行1. 三类初等矩阵三类初等矩阵14第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵(1) 交换单位矩阵的交换单位矩阵的两行两行 (列列)；1. 三类初等矩阵三类初等矩阵(2) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) k 倍倍 ； 第第 i 列列第第 i 行行15第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵(1) 交换单位矩阵的交换单位矩阵的两行两行 (列列)；1. 三类初等矩阵三类初等矩阵(2) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) k 倍倍 ；(

9、3) 将单位矩阵某行将单位矩阵某行 (列列) 的的 k 倍加到另一行倍加到另一行 (列列) 上。上。第第 j 行行第第 i 行行第第 i 列列 第第 j 列列16第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵(1) 对对 A 施行一次初等施行一次初等行行变换，变换，三、初等矩阵三、初等矩阵1. 三类初等矩阵三类初等矩阵2. 初等矩阵的作用初等矩阵的作用定理定理设设 A 是一个是一个 阶矩阵，阶矩阵，(2) 对对 A 施行一次初等施行一次初等列列变换，变换，证明证明( (略略) )注注孤立地看一个初等阵，它既可以是一个孤立地看一个初等阵，它既可以是一个行行初等阵初等阵, 又可以又可以是一个是一个列列初等

10、阵。初等阵。因此关键是要看它乘在矩阵的哪一边。因此关键是要看它乘在矩阵的哪一边。相当于在相当于在 A 的的左左边乘以边乘以相应的相应的 m 阶阶行行初等矩阵；初等矩阵；相当于在相当于在 A 的的右右边乘以边乘以相应的相应的 n 阶阶列列初等矩阵。初等矩阵。17第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵三、初等矩阵三、初等矩阵1. 三类初等矩阵三类初等矩阵2. 初等矩阵的作用初等矩阵的作用结论结论(1) 任何矩阵任何矩阵左左乘一系列乘一系列行行初等阵总可以变为初等阵总可以变为行阶梯形行阶梯形;(2) 进一步进一步左左乘一系列乘一系列行行初等总可以变为初等总可以变为行标准形行标准形；(3) 更进一步更

11、进一步右右乘一系列乘一系列列列初等总可以变成初等总可以变成标准形标准形 .这里所说的这里所说的 “变为变为” 不再是不再是 “ ” 而是而是 “ = ”。注意注意18第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵？I ，三、初等矩阵三、初等矩阵1. 三类初等矩阵三类初等矩阵2. 初等矩阵的作用初等矩阵的作用3. 初等矩阵的逆矩阵初等矩阵的逆矩阵 慕容复慕容复斗转星移术斗转星移术以彼之道以彼之道还施彼身还施彼身？I ，？I ，对列初等阵有类似的结果。对列初等阵有类似的结果。 可见，初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。可见，初等矩阵都可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。19第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵

12、则称矩阵则称矩阵 B 为为 A 的的等价标准等价标准形形 . .四、等价四、等价定义定义(1) 如果矩阵如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵 B，记作记作性质性质(1) 反身性，反身性，(2) 对称性，对称性，(3) 传递性，传递性，即即若若则则则则若若与与 B 等价等价，(2) 如果矩阵如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵1. 等价的定义与性质等价的定义与性质等价等价相似相似合同合同则称则称 A20第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵四、等价四、等价1. 等价的定义与性质等价的定义与性质2. 关于可逆方阵的几个结论关于可逆方阵的几个结论定

13、理定理(3) 仅用初等行变换就可以将仅用初等行变换就可以将 A 化为单位矩阵化为单位矩阵.(2) A 一定可以表示成一些初等矩阵的乘积；一定可以表示成一些初等矩阵的乘积；(1) A 一定等价于单位矩阵；一定等价于单位矩阵；设设 A 为为 n 阶可逆方阵，则阶可逆方阵，则21第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵证明证明即即 A 一定可以表示成一些初等矩阵的乘积一定可以表示成一些初等矩阵的乘积 .(1) 一定存在初等矩阵一定存在初等矩阵 和和 使得使得由由 A 可逆且可逆且初等矩阵可逆初等矩阵可逆有有即得即得(2) 由上式可得由上式可得即即仅用初等行变换就可以将仅用初等行变换就可以将 A 化为单

14、位矩阵化为单位矩阵.(3) 由由 可得可得22第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵例例 将矩阵将矩阵 表示成有限个初等初阵的乘积。表示成有限个初等初阵的乘积。解解其中其中23第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵四、等价四、等价1. 等价的定义与性质等价的定义与性质2. 关于可逆方阵的几个结论关于可逆方阵的几个结论3. 对于一般矩阵的几个结论对于一般矩阵的几个结论定理定理(1) 设设 A, B 为为 mn 矩阵，则矩阵，则 A 和和 B 等价的等价的充要条件充要条件是是存在存在 m 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 P 及及 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q，PAQ = B .(2) 对于矩阵对于矩阵 Am

15、n , 一定存在可逆矩阵一定存在可逆矩阵 , ( (可作为矩阵等价的另一种定义可作为矩阵等价的另一种定义) )使得使得使得使得24第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵五、利用初等变换求逆矩阵五、利用初等变换求逆矩阵设设 A 为可逆矩阵，为可逆矩阵，则仅用初等行变换就可以将则仅用初等行变换就可以将 A 化为化为即即1. 原理原理即存在初等矩阵即存在初等矩阵 ，使得，使得单位矩阵单位矩阵.求解系数阵为求解系数阵为 A, 右端项分别为右端项分别为的的 n 个线性方程组个线性方程组思考思考它与它与有何联系？有何联系？25第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵五、利用初等变换求逆矩阵五、利用初等变换求

16、逆矩阵1. 原理原理2. 方法方法对矩阵对矩阵 施行一系列施行一系列初等行变换初等行变换，当把当把 A 变成变成 I 时，原来的时，原来的 I 就变成了就变成了注注利用初等行变换求逆矩阵时，不必先判断矩阵是否可逆；利用初等行变换求逆矩阵时，不必先判断矩阵是否可逆；在作变换的过程中，若出现零行，在作变换的过程中，若出现零行， 则则 A 不可逆。不可逆。可否利用初等列变换求逆矩阵可否利用初等列变换求逆矩阵？思考思考提示提示利用原理利用原理 并考虑矩阵并考虑矩阵26第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵解解27第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵28第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵例例设矩阵设矩阵 求求解解方法一方法一 ( (仅用行变换仅用行变换) )上上( (下下) )三三角矩阵角矩阵？29第二章 矩阵2.5 初等变换与初等矩阵例例设矩阵设矩阵 求求解解方法二方法二 ( (仅用列变换仅用列变换) )