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1、8.6动态问题型中考数学中考数学 (湖南公用湖南公用)1.(2021湖南湘潭湖南湘潭,8,3分分)如如图,等腰直角等腰直角EFG的直角的直角边GE与正方形与正方形ABCD的的边BC在同不断在同不断线上上,且点且点E与点与点B重合重合,EFG沿沿BC方向匀速运方向匀速运动,当点当点G与点与点C重合重合时停停顿运运动,设运运动时间为t,运运动过程中程中EFG与正方形与正方形ABCD的重叠部分面的重叠部分面积为S,那么那么S关于关于t的函数的函数图象大致象大致为()好题精练答案答案AEFG在运在运动过程中程中,重叠部分面重叠部分面积S变化分三种情况化分三种情况,设运运动速度速度为a,a0且且a为定定
2、值,那么那么S=(at)2,图象象为抛物抛物线,且开口向上且开口向上.S=SEFG,图象象为平行于平行于x轴的的线段段.S=SEFG-(at-BC)2,图象象为抛物抛物线,且开口向下且开口向下.思思绪分析分析根据每一幅根据每一幅图中的情况中的情况设未知数未知数,并求出重叠部分的面并求出重叠部分的面积S与与t的函数关系式的函数关系式.易易错警示警示此此题在解在解题时考生容易根据察看考生容易根据察看图形客形客观判判别重叠面重叠面积的增减性而直接的增减性而直接选B,注注意一定要意一定要计算出算出变化化过程中程中图象能否是一个一次函数象能否是一个一次函数图象象.2.(2021湖南湘潭湖南湘潭,26,1
3、0分分)如如图,动点点M在以在以O为圆心心,AB为直径的半直径的半圆弧上运弧上运动(点点M不与不与点点A、B及及的中点的中点F重合重合),衔接接OM.过点点M作作MEAB于点于点E,以以BE为边在半在半圆同同侧作正方形作正方形BCDE,过点点M作作O的切的切线交射交射线DC于点于点N,衔接接BM、BN.(1)探求探求:如如图一一,当当动点点M在在上运上运动时.判判别OEMMDN能否成立能否成立,请阐明理由明理由;设=k,k能否为定值?假设是,求出该定值;假设不是,请阐明理由;设MBN=,能否为定值?假设是,求出该定值;假设不是,请阐明理由;(2)拓展:如图二,当动点M在上运动时,分别判别(1)
4、中的三个结论能否坚持不变?如有变化,请直接写出正确的结论.(均不用阐明理由)解析解析(1)OEMMDN成立成立,理由如下理由如下:四四边形形BCDE是正方形是正方形,BE=BC,EBC=CDE=BCD=BED=90,EOM+EMO=90,MN是是O的切的切线,MNOM,OMN=90,DMN+EMO=90,EOM=DMN,OEMMDN.k值为定定值1.理由如下理由如下:作作BGMN于于G,如下如下图:那么BGOM,BGN=BGM=90,OMB=GBM,OB=OM,OBM=OMB,OBM=GBM,在BME和BMG中,BMEBMG(AAS),EM=GM,BE=BG,BG=BC.在RtBGN和RtBC
5、N中,RtBGNRtBCN(HL),GN=CN,EM+NC=GM+NC=MN,k=1.设MBN=,为定值45.理由如下:BMEBMG,RtBGNRtBCN,EBM=GBM,GBN=CBN,MBN=EBC=45,即=45.(2)(1)中的三个结论坚持不变.理由同(1),作BGMN于G,如下图.3.(2021海南海南,24,16分分)抛物抛物线y=ax2+bx+3经过点点A(1,0)和点和点B(5,0).(1)求求该抛物抛物线所所对应的函数解析式的函数解析式;(2)该抛物抛物线与直与直线y=x+3相交于相交于C、D两点两点,点点P是抛物是抛物线上的上的动点且位于点且位于x轴下方下方,直直线PMy轴
6、,分分别与与x轴和直和直线CD交于点交于点M、N.衔接接PC、PD,如如图1,在点在点P运运动过程中程中,PCD的面的面积能否存在最大能否存在最大值?假假设存在存在,求出求出这个最个最大大值;假假设不存在不存在,阐明理由明理由;衔接接PB,过点点C作作CQPM,垂足垂足为点点Q,如如图2,能否存在点能否存在点P,使得使得CNQ与与PBM类似似?假假设存存在在,求出求出满足条件的点足条件的点P的坐的坐标;假假设不存在不存在,阐明理由明理由.解析解析(1)抛物抛物线y=ax2+bx+3经过点点A(1,0)和点和点B(5,0),解得解得该抛物抛物线对应的函数解析式的函数解析式为y=x2-x+3.(2
7、)存在存在.点点P是抛物是抛物线上的上的动点且位于点且位于x轴下方下方,可可设P(1t5),直直线PMy轴,分分别与与x轴和直和直线CD交于点交于点M、N,M(t,0),N,PN=t+3-=-+.联立直立直线CD与抛物与抛物线解析式可得解析式可得解得解得或或C(0,3),D,分别过C、D作直线PN的垂线,垂足分别为E、F,如图,那么CE=t,DF=7-t,SPCD=SPCN+SPDN=PNCE+PNDF=PN=-+,当t=时,PCD的面积最大,最大值为.存在.CQN=PMB=90,当CNQ与PBM类似时,有=或=两种情况,CQPM,垂足为Q,Q(t,3),又C(0,3),N,CQ=t,NQ=t
8、+3-3=t,=,P,M(t,0),B(5,0),BM=5-t,PM=0-=-t2+t-3,当=时,那么PM=BM,即-t2+t-3=(5-t),解得t=2或t=5(舍去),此时P;当=时,那么BM=PM,即5-t=,解得t=或t=5(舍去),此时P.综上可知,存在满足条件的点P,其坐标为或.思思绪分析分析(1)由由A、B两点的坐两点的坐标,利用待定系数法可求得抛物利用待定系数法可求得抛物线解析式解析式;(2)设出出P点坐点坐标,表示出表示出M、N的坐的坐标,联立直立直线与抛物与抛物线解析式求得解析式求得C、D的坐的坐标,过C、D作作PN的垂的垂线,可用可用t表示出表示出PCD的面的面积,利用
9、二次函数的性利用二次函数的性质可求得其最大可求得其最大值;当当CNQ与与PBM类似似时有有=或或=两种情况两种情况,利用利用P点坐点坐标,可分可分别表示出表示出线段的段的长,可得到关于可得到关于P点坐点坐标的方程的方程,可求得可求得P点坐点坐标.解解题关关键在在(2)中用中用P点坐点坐标表示出表示出PCD的面的面积是解是解题的关的关键,在在(2)中利用中利用类似三角似三角形的性形的性质确定出相确定出相应线段的比是解段的比是解题的关的关键.评析此析此题为二次函数的二次函数的综合运用合运用问题,涉及待定系数法、函数涉及待定系数法、函数图象的交点、二次函数的性象的交点、二次函数的性质、类似三角形的断
10、定和性似三角形的断定和性质、方程思想及分、方程思想及分类讨论思想等知思想等知识.此此题调查知知识点点较多多,综合合性性较强,难度度较大大.4.(2021湖南益阳湖南益阳,22,14分分)如如图,在在ABC中中,ACB=90,B=30,AC=1,D为AB的中点的中点,EF为ACD的中位的中位线,四四边形形EFGH为ACD的内接矩形的内接矩形(矩形的四个矩形的四个顶点均在点均在ACD的的边上上).(1)计算矩形算矩形EFGH的面的面积;(2)将矩形将矩形EFGH沿沿AB向右平移向右平移,F落在落在BC上上时停停顿挪挪动.在平移在平移过程中程中,当矩形与当矩形与CBD重叠部重叠部分的面分的面积为时,
11、求矩形平移的求矩形平移的间隔隔;(3)如如图,将将(2)中矩形平移停中矩形平移停顿时所得的矩形所得的矩形记为矩形矩形E1F1G1H1,将矩形将矩形E1F1G1H1绕G1点按点按顺时针方向旋方向旋转,当当H1落在落在CD上上时停停顿转动,旋旋转后的矩形后的矩形记为矩形矩形E2F2G1H2,设旋旋转角角为,求求cos的的值.解析解析(1)在在ABC中中,ACB=90,B=30,AC=1,AB=2,又又D是是AB的中点的中点,AD=1,CD=AB=1.又又EF是是ACD的中位的中位线,EF=DF=,在在ACD中中,AD=CD,A=60,ADC=60.在在FGD中中,GF=DFsin60=,矩形矩形E
12、FGH的面的面积=EFGF=.(3分分)(2)如如图,设矩形挪矩形挪动的的间隔隔为x,那么那么0x,当矩形与CBD重叠部分为三角形时,那么0(舍去).当矩形与CBD重叠部分为直角梯形时,那么x,重叠部分的面积S=x-=,x=.即矩形挪动的间隔为时,矩形与CBD重叠部分的面积是.(8分)(3)如图,作H2QAB于Q.设DQ=m,那么H2Q=m,易知DG1=,H2G1=.在RtH2QG1中,(m)2+=,解得m=(负值舍去),cos =.(14分)5.(2021湖南湘西湖南湘西,26,14分分)如如图,知直知直线y=-x+3与与x轴、y轴分分别交于交于A,B两点两点,抛物抛物线y=-x2+bx+c
13、经过A,B两点两点,点点P在在线段段OA上上,从点从点O出出发,向点向点A以以1个个单位位/秒的速度匀速运秒的速度匀速运动;同同时,点点Q在在线段段AB上上,从点从点A出出发,向点向点B以以个个单位位/秒的速度匀速运秒的速度匀速运动,衔接接PQ,设运运动时间为t秒秒.(1)求抛物求抛物线的解析式的解析式;(2)问:当当t为何何值时,APQ为直角三角形直角三角形?(3)过点点P作作PEy轴,交交AB于点于点E,过点点Q作作QFy轴,交抛物交抛物线于点于点F,衔接接EF,当当EFPQ时,求点求点F的坐的坐标;(4)设抛物抛物线顶点点为M,衔接接BP,BM,MQ,问:能否存在能否存在t的的值,使以使
14、以B,Q,M为顶点的三角形与以点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形点的三角形类似似?假假设存在存在,恳求出求出t的的值;假假设不存在不存在,请阐明理由明理由.解析解析(1)y=-x+3与与x轴交于点交于点A,与与y轴交于点交于点B,当当y=0时,x=3,即即A点坐点坐标为(3,0),当当x=0时,y=3,即即B点坐点坐标为(0,3),将将A(3,0),B(0,3)代入代入y=-x2+bx+c,得得解得解得抛物抛物线的解析式的解析式为y=-x2+2x+3.(2)OA=OB=3,BOA=90,QAP=45.如如图所示所示,当当PQA=90时,由由题知知,QA=t,PA=3-t.在在RtPQA中中
15、,=,即即=,解得解得t=1.如如图所示所示,当当QPA=90时,在在RtPQA中中,=,即即=,解得解得t=.综上所述上所述,当当t=1或或t=时,PQA是直角三角形是直角三角形.(3)如图所示:图设点P的坐标为(t,0),那么点E的坐标为(t,-t+3),那么EP=3-t,点Q的坐标为(3-t,t),点F的坐标为(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),那么FQ=3t-t2.EPFQ,EFPQ,四边形EPQF为平行四边形,EP=FQ,即3-t=3t-t2.解得t1=1,t2=3(舍去).将t=1代入F(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),得点F的坐标为(2,3).(4)存在.如
16、图所示:图由题知,OP=t,BQ=(3-t).y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,点M的坐标为(1,4).MB=.易知MBQ=90,当BOPQBM时,=,即=,整理得t2-3t+3=0,=32-4130,无解.当BOPMBQ时,=,即=,解得t=.当t=时,以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形类似.评析此析此题主要主要调查的是二次函数、的是二次函数、锐角三角函数、平行四角三角函数、平行四边形、形、类似三角形的似三角形的综合运用合运用,利用含字母利用含字母t的式子表示出相关的式子表示出相关线段的段的长度度,根据根据图形的性形的性质建立关于字母建立关于字母t的方程是解的方程是解题的关的关键.
