《中考数学一轮复习 第六章 图形的变换 6.1 图形的相似（试卷部分）课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学一轮复习 第六章 图形的变换 6.1 图形的相似（试卷部分）课件（110页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章 图形的变换6.1图形的相似中考数学中考数学 (河北专用)1.(2018河北,12,2分)用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形.要将它按下图的方 式 向 外 等 距 扩 1 ( 单 位 : c m ) , 得 到 新 的 正 方 形 , 则 这 根 铁 丝 需 增 加()A.4cmB.8cmC.(a+4)cmD.(a+8)cmA A组组 2014-2018 2014-2018年年河北河北中考题组中考题组五年中考答案答案B将正方形按如题图所示的方式向外等距扩1cm得到新的正方形,新的正方形边长增加2cm,周长增加8cm,则这根铁丝需增加8cm,故选B.2.(2017河北
2、,7,3分)若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC,则B的度数与其对应角B的 度 数 相 比()A.增加了10%B.减少了10%C.增加了(1+10%)D.没有改变答案答案DABC的每条边长增加各自的10%即变为原来的1.1倍,得到ABC,根据相似三角形的判定方法可得ABCABC,所以B=B,故选D.3.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形与原三角形的 是()答案答案C选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23
3、,且两边的夹角相等,所以两个三角形也是相似的,故选C.思路分析思路分析根据相似三角形的判定定理对各选项逐一判定即可.解题关键解题关键本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键.4.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:对于两人的观点,下列说法正确的是()A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对答案答案A由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确;新矩形与原矩形的角对应相等,但边不对应成比例,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点也正确,故选A.易错警示易错警示此题考查相似三角形以及相似多边形的判定
4、.学生易把对应角相等的两个四边形错认为相似.B B组组2014201420182018年全国中考题组年全国中考题组考点一考点一相似的有关概念相似的有关概念1.(2017甘肃兰州,1,4分)已知2x=3y(y0),则下列结论成立的是()A.= B.=C.= D.=答案答案A在等式左右两边同时除以2y(y0),可得=,故选A.2.(2017浙江杭州,3,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC.若BD=2AD,则()A.= B.= C.= D.=答案答案B 利用平行线分线段成比例可得=,故选B.3.(2016浙江杭州,2,3分)如图,已知直线abc,直线m分别交直线a,b,c
5、于点A,B,C;直线n分别交直线a,b,c于点D,E,F. 若=, 则=()A. B.C.D.1答案答案Babc,=,又=,=,故选B.评析评析本题考查平行线分线段成比例,关键是找准对应线段.4.(2018四川成都,13,4分)已知=,且a+b-2c=6,则a的值为.答案答案12解析解析设=k(k0),则a=6k,b=5k,c=4k,a+b-2c=6,6k+5k-8k=6.解得k=2.a=6k=12.5.(2015江苏扬州,15,3分)如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上.若线段AB=4cm,则线段BC=cm.答案答案12解析
6、解析如图,过点A作AECE于点E,交BD于点D,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,=,即=,BC=12cm.考点二考点二相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定1.(2018重庆,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6 c m 和 9 c m , 另 一 个 三 角 形 的 最 短 边 长 为 2 . 5 c m , 则 它 的 最 长 边 为()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm答案答案C设所求最长边为xcm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比例 , 可 列 等 式=,解得x=4.5,故选C.2.
7、(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的 长 为()A. B.C.D.答案答案D如图,连接DE.BD平分ABC,CBD=30,1=2=30.在RtBCD中,BD=BCcos30= 2.在RtABD中,AB=BDcos30=3.E为BC的中点,ED=BE=2,3=2=1.DEAB,AFBEFD,=,即=,DF=.故选D.思路分析思路分析根据题意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得B D=2,进而求得AB=3,由E是BC的中点,得ED=
8、BE,进而可得DEAB,所以AFBEFD,进而求出DF的长.解题关键解题关键本题考查了含30角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的关键是作出RtBCD斜边上的中线.3.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BFAE交AE于点F,则BF的 长 为()A. B. C.D.答案答案B由题意得AFB=D=BAD=90,FAB+DAE=90,FAB+ABF=90,ABF=DAE,ADE BFA, 则=, 即=3,设AF=x(x0),则BF=3x,在RtABF中,由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2
9、=22,解得x=(负值舍去),所以3x=,即BF=.故选B.思路分析思路分析先通过证明ADEBFA得到AF与BF的数量关系,再在RtABF中,由勾股定理建立方程求解.4.(2017四川绵阳,6,3分)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4cm,则旗杆DE的高度等于()A.10mB.
10、12mC.12.4mD.12.32m答案答案B由题意可得ACB=ECD,ABC=EDC,ABCEDC,=,=,ED=12m,故选B.解题思路解题思路本题是学科综合题,关键是根据反射角等于入射角,得出ACB=ECD,从而利用ABCEDC得出ED的长.5.(2016安徽,8,4分)如图,ABC中,AD是中线,BC=8,B=DAC,则线段AC的长为()A.4 B.4C.6D.4答案答案B由AD是中线可得D C=BC=4.B=DAC,C=C,ADCBAC,=,AC2=BCDC=84=32,AC=4,故选B.评析评析本题考查相似三角形的判定与性质,以及三角形的中线,属容易题.6.(2015内蒙古呼和浩特
11、,7,3分)如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CEF的 面 积 为()A. B.C.2D.4答案答案C在题中的第三个图中,AD=6,AB=4,DE=6,因为BFDE,所以ABFA D E,所以=,即=,解得BF=4,所以CF=2,SCEF=CECF=2.7.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,ABC和EPD的顶点均在格点上,要使ABCEPD,则点P所 在 的 格 点 为()A.P1B.P2C.P3D.P4答案答案C由题图可知,E=A=90,要使ABCEPD,则=2,所以
12、EP=2AB=6,点P所在的格点为P3,故选C.评析评析本题考查相似三角形的判定,设计巧妙,属容易题.8.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则BD长为.答案答案2解析解析如图,连接AC,过点D作DEBC,交BC的延长线于E.ABC=90,AB=3,BC=4,AC=5,CD=10,DA= 5,AC2+CD2=AD2,ACD=90,ACB+DCE=90,ACB+BAC=90,BAC=DCE,又ABC=DEC=90,ABCCED,=,即=,CE=6,DE=8.在RtBED中,BD=2.9.(2015山东临沂,18,3分)
13、如图,在ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O, 则=.答案答案2解析解析连接DE,BD,CE是AC,AB边上的中线,DE为ABC的中位线,DE=BC,DEBC,OBCODE,=2.10.(2017浙江杭州,19,8分)如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AGBC于点G,AFDE于点F,EAF=GAC.(1)求证:ADEABC;(2)若AD=3,AB=5,求的值.解析解析(1)证明:因为AFDE,AGBC,所以AFE=90,AGC=90,所以AEF=90-EAF,C=90-GAC,又因为EAF=GAC,所以AEF=C,又因为DAE=BAC,所
14、以ADEABC.(2)因为ADEABC,所以ADE=B,又因为AFD=AGB=90,所以AFDAGB,所以=,又因为AD=3,AB=5,所以=.11.(2016湖北武汉,23,10分)在ABC中,P为边AB上一点.(1)如图1,若ACP=B,求证:AC2=APAB;(2)若M为CP的中点,AC=2.如图2,若PBM=ACP,AB=3,求BP的长;如图3,若ABC=45,A=BMP=60,直接写出BP的长.图1图2图3解析解析(1)证明:ACP=B,A=A,ACPABC.(2分)=,AC2=APAB.(3分)(2)解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD.M为CP中点,CDMB,D=PBM
15、,(4分)PBM=ACP,D=PBM=ACP.由(1)得AC2=APAD,(5分)设BP=x,则22=(3-x)(3+x).解得x=(舍去负根),即BP=.(7分)解法二:取AP的中点E,连接EM.M为CP中点,MEAC,EM=AC=1.(4分)PME=ACP,PBM=ACP,PME=PBM.由(1)得EM2=EPEB,(5分)设BP=x,则12=.解得x=(舍去负根),即BP=.(7分)BP=-1.(10分)考点三考点三图形的位似图形的位似1.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则四边形ABCD与四边形ABCD 的 面
16、积 比 为()A.49 B.25 C.23D.答案答案A由位似图形的性质知=,所以=.故选A.2.(2016山东烟台,7,3分)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位 似 中 心 的 位 似 图 形 , 且 相 似 比 为,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)答案答案A因为正方形BEFG的边长为6,正方形ABCD与正方形B E F G的相似比为,所以正方形ABCD的边长为2,设OA=x,易知OBCOEF,所以=,所以=,解得x=1,所以点C的坐标为(3,2),故选A.3.(20
17、15甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的 坐 标 为()A.(2,5)B.(2.5,5)C.(3,5)D.(3,6)答案答案B设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,=,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.4.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1
18、,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是个平方单位.解析解析(1)线段A1B1如图所示.(3分)(2)线段A2B1如图所示.(6分)(3)20.(8分)提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为=2,以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2)2=20(个平方单位).5.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4).(1)请画出ABC向左平移
19、6个单位长度后得到的A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将ABC缩小为原来的,得到A2B2C2,请在y轴右侧画出A2B2C2,并求出A2C2B2的正弦值.解析解析(1)A1B1C1为所求作三角形.(3分,正确作出一个点给1分)(2)A2B2C2为所求作三角形.(6分,正确作出一个点给1分)根据勾股定理得:A2C2=,sinA2C2B2=.(8分)C C组教师专用题组组教师专用题组考点一考点一相似的有关概念相似的有关概念1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一点,连接AF交DE于点G. 则 下 列 结 论 中 一 定 正
20、 确 的 是()A.= B.=C.=D.=答案答案C根据平行线分线段成比例定理可知=,=,=,=,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.2.(2014黑龙江牡丹江,6,3分)若xy=13,2y=3z,则的值是()A.-5B.-C.D.5答案答案Axy=13,设x=k,y=3k,2y=3z,z=2k,=-5.故选A.3.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若=,则=.答案答案 解析解析ABCD,A=C,B=D,AOBCOD.=.4.(2017吉林长春,11,3分)如图,直线abc,直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若ABBC=12,DE=3,则EF的
21、长为.答案答案6解析解析abc,=,=,DE=3,EF=6.5.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,ACBD.EF是ODB的中位线,且EF=2,则AC的长为.答案答案 解析解析EF是ODB的中位线,OE=OD=,EFBD,ACBD,EFBD,ACEF,=,=,AC=.考点二考点二相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定1.(2017甘肃兰州,13,4分)如图,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,
22、测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=3米,小明身高EF= 1 . 6 米 , 则 凉 亭 的 高 度AB约为()A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米答案答案A由光线反射可知AGC=FGE,又FEG=ACG=90,FEGACG,FEAC=EGCG,1.6AC=315,AC=8米.BC=0.5米,AB=AC+BC=8.5米.解题关键解题关键本题考查了相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是判定FEG与ACG相似.2.(2016重庆,8,4分)ABC与DEF的相似比为14,则ABC与DEF的周长比为()A.12B.13C.14D.116答
23、案答案C因为ABC与DEF的相似比为14,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得ABC与DEF的周长比为14,故选C.3.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,BE与CD相交于点F, 则 下 列 结 论 一 定 正 确 的 是()A.= B.=C.= D.=答案答案ADEBC,ADEABC,=,故选项A正确,故选A.4.(2015四川绵阳,12,3分)如图,D是等边ABC边AB上的一点,且ADDB=12,现将ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC和BC上,则CECF=()A. B. C.D.答案答案B设等边ABC的边长
24、为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知C=EDF=60,EDA+FDB=120,在AED中,A=60,AED+ADE=120,AED=BDF,又A=B,AEDBDF, =,又CE=DE,CF=DF,=,=,可得2CE=3CF-CECF,CF=3CE-CECF,2CE-3CF=CF-3CE,=.故选B.5.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为.答案答案3或解析解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根据PBEDBC可知P点在
25、线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得=PE=;当AP=PD时,P点为BD的中点,PE=CD=3,故答案为3或.思路分析思路分析根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD=PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.难点突破难点突破判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.6.(2017浙江杭州,15,4分)如图,在RtABC中,BAC=90,AB=15,AC=20,点D在边AC上,AD=5,DEBC于点E,连接AE,则ABE的面积等于.答案答案78解析解析DEBC,BAC=DEC,又C=C,ABCEDC,=,在RtBAC中,AC
26、=20,AB=15,BC=25,又AD=5,CD=15,EC=12,BE=13,SABE= SABC= 1520=78.思路分析思路分析ABC的面积是很容易求出来的,只要知道BE与BC的比值即可解决问题,又BC容易求得,故将问题转化为求BE的长度,由ABCEDC可 得=,从而求出EC,由此即可得出BE.7.(2016湖北黄冈,14,3分)如图,已知ABC,DCE,FEG,HGI是4个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG,GI在同一条直线上,且AB=2,BC=1.连接AI,交FG于点Q,则QI=.答案答案 解析解析过点A作AMBC于点M.根据等腰三角形的性质,得MC=BC=.MI=MC+CE+
27、EG+GI=.在RtAMC中,AM2=AC2-MC2=22-=.AI=4.因为ACGQ,则IACIQG,=,即=.QI=.8.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长.解析解析BD平分ABC,ABD=CBD.ABCD,ABD=D,ABECDE.CBD=D,=.BC=CD.AB=8,CA=6,CD=BC=4,=,AE=4.思路分析思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.方法总结方法总结证明三角形相似的常见方法:平
28、行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示.在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.9.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN;(2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tanC的值;(3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值.解析解析(1)证明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90
29、,MAB=NBC,ABMBCN.(2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N,则PMNAPB.=tanPAC=,设PN=2t,则AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得ABPCBA,AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tanC=.(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n
30、,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=.思路分析思路分析(1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论;(2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出=,设PN=2t,则AB=t,再判断出ABPCBA,设PN=2t,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论;(3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论
31、.方法指导方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻方法.10.(2017湖北武汉,23,10分)已知四边形ABCD的一组对边AD,BC的延长线相交于点E.(1)如图1,若ABC=ADC=90,求证EDEA=ECEB;(2)如图2,若ABC=120,cosADC=,CD=5,AB=12,CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积;(3)如图3,另一组对边AB,DC的延长线相交于点F,若cosABC=cosADC=,CD=5,CF=ED=n,直接写出AD的长(用含n的式子表示).解
32、析解析(1)证明:ADC=90,EDC+ADC=180,EDC=90,又ABC=90,EDC=ABC,又E为公共角,EDCEBA,=,EDEA=ECEB.(2)过点C作CFAD,交AE于点F,过点A作AGEB,交EB的延长线于点G.在RtCDF中,cosFDC=,=,又CD=5,DF=3,CF=4,又SCDE=6,EDCF=6,ED=3,EF=ED+DF=6.ABC=120,G=90,G+BAG=ABC,BAG=30,在RtABG中,BG=AB=6,AG=6,CFAD,AGEB,EFC=G=90,又E为公共角,EFCEGA,=,=,EG=9,BE=EG-BG=9-6,S四边形ABCD=SABE
33、-SCED=BEAG-6=(9-6)6-6=75-18.(3)AD=.详解:过点C作CHAD,交AE于点H,则CH=4,DH=3,EH=n+3,tanE=.过点A作AGDF,交DF于点G,设AD=5a,则DG=3a,AG=4a,FG=FD-DG=5+n-3a,由CHAD,AGDF,E=F知AFGCEH,=,=,=,a=,AD=.11.(2016浙江杭州,19,4分)如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AED=B.射线AG分别交线段DE,BC于点F,G, 且=.(1)求证:ADFACG;(2)若=,求的值.解析解析(1)证明:因为AED=B,DAE=CAB,所以ADF=C,又因为=,
34、所以ADFACG.(2)因为ADFACG,所以=,又因为=,所以=,所以=1.12.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC.(1)求证:AD=BC;(2)求证:AGDEGF;(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求的值.解析解析(1)证明:由题意知GE垂直平分AB,GA=GB.同理GD=GC.在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC,AGDBGC.AD=BC.(5分)(2)证明:AGD=BGC,AGB=DGC.在A
35、GB和DGC中,=,AGB=DGC,AGBDGC.=.(8分)又AGE=DGF,AGD=EGF,AGDEGF.(10分)(3)如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH.图1由AGDBGC,知GAD=GBC.在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB,AGB=AHB=90,(12分)AGE=AGB=45,=.又AGDEGF,=.(14分)(本题解法有多种,如可按图2和图3作辅助线求解,过程略)图2图3评析评析本题综合考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线、三角形全等和相似的判定方法和性质,属于拓展探索型题,学生要有较强的基本功和综合分析问题的能力.13.(2
36、015福建福州,25,13分)如图,在锐角ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且AFE=A,DMEF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且BDG=C,如图,求证:DEGECF;(3)在图中,取CE上一点H,使CFH=B,若BG=1,求EH的长.解析解析(1)证明:DMEF,AMD=AFE.AFE=A,AMD=A.DM=DA.图图(2)证明:D,E分别为AB,BC的中点,DEAC.DEB=C,BDE=A.又AFE=A,BDE=AFE.BDG+GDE=C+FEC.BDG=C,EDG=FEC.DEGECF.(3)解法一:如图所示,BDG=C=DEB,B=B,图
37、BDGBED.=,即BD2=BEBG.A=AFE,B=CFH,C=180-AFE-CFH=EFH.又FEH=CEF,EFHECF.=,即EF2=EHEC.DEAC,DMEF,四边形DEFM是平行四边形.EF=DM=AD=BD.BE=EC,EH=BG=1.解法二:如图,在DG上取一点N,使DN=FH.图A=AFE,ABC=CFH,C=BDG,EFH=180-AFE-CFH=C=BDG.DEAC,DMEF,四边形DEFM是平行四边形.EF=DM=AD=BD.BDNEFH.BN=EH,BND=EHF.BNG=FHC.BDG=C,DBG=CFH,BGD=FHC.BNG=BGD.BN=BG.EH=BG=
38、1.14.(2014陕西,20,8分)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).小明在B点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处,如图所示,这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米;小明站在原地转动180后蹲下,并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处,此时小亮测得BE=9.6米,小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米.根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BD是
39、多少米.解析解析由题意知BAD=BCE.(2分)ABD=ABE=90,BADBCE.(4分)=.=.BD=13.6.河宽BD是13.6米.(8分)考点三考点三图形的位似图形的位似1.(2016湖北十堰,5,3分)如图,以点O为位似中心,将ABC缩小后得到ABC,已知OB=3OB,则ABC与A B C的面积比为()A.13B.14C.15D.19答案答案DOB=3O B,=,以点O为位似中心,将ABC缩小后得到ABC,ABCABC,=.=,故选D.2.(2014湖北武汉,6,3分)如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩 小 为
40、原 来 的后得到线段CD,则端点C的 坐 标 为()A.(3,3)B.(4,3)C.(3,1)D.(4,1)答案答案A线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)、B(8,2),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,端点C的坐标为(3,3).故选A.评析评析本题主要考查位似图形的性质,属容易题.3.(2017湖南长沙,16,3分)如图,ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似 中 心 , 把 这 个 三 角 形 缩 小 为 原 来 的,可以得到ABO,已知点B的坐标是(3,0),则点A的坐标是.答案答案(1,2)解析解析根据
41、位似变换的性质及已知可得,点A的坐标为(1,2).4.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则=.答案答案 解析解析四边形ABCD与四边形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC,=,=.5.(2014湖南郴州,19,6分)在1313的网格图中,已知ABC和点M(1,2).(1)以点M为位似中心,位似比为2,画出ABC的位似图形ABC;(2)写出ABC的各顶点坐标.解析解析(1)作图正确给满分,不分步给分.(3分)(2)A(3,6),B(5,2),C(11,4).(每写出一个点的坐标给1分)(6分)考点一考点一相似的有关概念相似的有关概念
42、三年模拟A A组组 2016 201620182018年模拟年模拟基础题组基础题组1.(2018沧州期末,2)若=,则的值为()A.1 B. C.D.答案答案D=,设y=3k,x=4k,=,故选D.2.(2018唐山路南期末,13)如图,在ABC中,DEBC,EFAB,则下列比例式正确的是()A.=B.=C.=D.=答案答案DDEBC,ADEABC,=,选项A错误;EFAB,=,选项B错误,选项D正确;EFAB,CEFCAB,=,选项C错误,故选D.3.(2016保定莲池一模改编,9)如图,已知直线abc,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,
43、则DF的值是.答案答案4.5解析解析abc,AC=4,CE=6,BD=3,=,即=,DF=4.5.考点二考点二相似三角形的性质与判定相似三角形的性质与判定1.(2018石家庄长安质检,15)如图,将ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形DECB,若EDBC,四边形DECB各边的长度如图所示,则剪出的小三角形ADE应 是()答案答案CDEBC,ADEA B C,=.=,解得AD=9,显然选项C中的小三角形符合,故选C.2.(2018石家庄裕华一模,8)李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序 , 你 能 帮 他 调 整 过 来 吗 ? 证 明 步 骤 正 确 的 顺
44、 序 是 ()已知:如图,在ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DEBC,DFAC.求证:ADEDBF.证明:DFAC,DEBC,A=BDF,ADE=B,ADEDBF.A.B.C.D.答案答案BDEBC,ADE=B,DFAC,A=BDF,ADEDBF.证明顺序应为(或),故选B.3.(2017唐山玉田一模,13)如图,在ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论:=;=;=;=.其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4答案答案BBE、CD为ABC的中线,DEBC,DE=BC,正确;DEBC,ADEABC,=,错误;DEBC,=,=,=,正确;=,=,=,错误
45、.故选B.4.(2016唐山滦南一模,12)如图,在ABC与ADE中,BAC=D,要使ABC与ADE相似,还需 满 足 下 列 条 件 中 的()A.= B.=C.= D.=答案答案CBAC是AB与AC的夹角,D是AD与D E的夹角,当=,且BAC=D时,ABCDEA,故选C.5.(2016石家庄赵县摸底,19)如图,在ABC中,AB=AC,DEBC,现将ABC沿DE进行折叠,使点A恰好落在BC上的点F处,则FDE与ABC的周长之比为.答案答案12解析解析DEBC,ADEABC,由翻折可得AD=DF,AE=EF,点A到直线DE的距离等于直线DE、BC间的距离,ADE与ABC的对应高之比为12,
46、所以ADE与ABC的周长之比为12,ADEFDE,FDE与ABC的周长之比为12.6.(2018保定莲池一模,23)如图,在等边ABC中,AB=2,ADBC,以AD,CD为邻边作矩形ADCE,将ADC绕点D顺时针旋转一定的角度得到ADC,使点A落在CE上,连接AA,CC.(1)求AD的长;(2)求证:ADACDC;(3)求CC2的值.解析解析(1)ABC为等边三角形,ADBC,BD=DC=BC=1.AD=.(2)证明:由旋转可知AD=AD,DC=DC,ADA=CDC.=,ADACDC.(3)在RtCDA中,AC=.AE=-,AA2=AE2+AE2=12+(-)2=6-2.ADACDC,=,=,
47、=,解得CC2=2-.7.(2017石家庄桥西二模改编,22)如图,在ABC中,点D是AB边上一点,过点D作DEBC,交AC于点E,点F是DE延长线上一点,连接AF.(1)如果=,DE=6,求边BC的长;(2)如果FAE=B,FA=6,FE=4,求DF的长.解析解析(1)DEBC,ADEABC,=,=,DE=6,BC=9.(2)DEBC,B=ADF,FAE=B,EAF=ADF,F=F,FAEFDA,=,DF=,FA=6,FE=4,DF=9.考点三考点三图形的位似图形的位似1.(2018石家庄质检,9)如图,DEF是由ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中
48、点,则DEF与ABC的 面 积 比 是()A.12B.14C.21D.41答案答案BDEF与ABC位似,点O是位似中心,=.=,故选B.2.(2018唐山路南一模,18)如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),ABC与DEF位似,原点O是位似中心.若AB=1.5,则DE=.答案答案4.5解析解析ABC与DEF位似,原点O为位似中心,OABODE,=.=,DE=4.5.3.(2017秦皇岛海港一模改编,16)如图,矩形OABC的顶点O是坐标原点,边OA在x轴上,边OC在y轴上,且B点坐标为(8,6).若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA1B1C1的面积等于
49、矩形O A B C的面积的,则点B1的坐标是.答案答案(4,3)或(-4,-3)解析解析矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC的面积 的,两矩形的相似比是12,点B的坐标为(8,6),点B1的坐标为(4,3)或(-4,-3).4.(2016唐山路南二模,22)如图,正方形网格中的每一个小正方形的边长为1个单位长度,题中所给各点均在格点上.(1)将ABC向右平移4个单位,再向上平移1个单位,得到A1B1C1,画出A1B1C1;(2)以图中的点O为位似中心,将A1B1C1作位似变换且放大到原来的2倍,得到A2B2C2,画出A2B2C2;(3)连接A
50、O,直接写出,tanCAO,sinBAO的值.解析解析(1)如图.(2)如图.(3)=4,tanCAO=3,sinBAO=.B B组组2016201620182018年模拟年模拟提升题组提升题组( (时间时间:35:35分钟分值分钟分值:50:50分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题2 2分分, ,共共1212分分) )1.(2018保定莲池期末,14)如图,在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD=()A. B.C.D.2答案答案B由题意可知四边形ABEF为正方形,AF=EF=AB=1
51、,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则=,=,DF=(舍负),AD=1+=,故选B.2.(2018邯郸一模,15)如图,在RtABC中,ACB=90,BAC=30,BAC的平分线交BC于点D,过点D作DEAB,垂足为E,连接CE交AD于点F,则以下结论:AB=2CE;AC=4CD;CEAD;DBE与ABC的面积比是1(7+4).其中正确的是()A.B.C.D.答案答案CACB=90,BAC=30,AB=2BC,而CEBC,错误;DEAB,DEB=90,BAC=30,B=60,设BD=2a,则BE=a,DE=a,AD平分BAC,CD=DE=a,BC=(2+)a,在RtABC中,AC=BC= (
52、 2+3)a,AC4CD,错误;CD=DE,AD=AD,RtADERtADC,AE=AC,A,D都在CE的垂直平分线上,CEAD,正确;B=B,BED=ACB=90,BEDBCA,=,正确,故选C.解题关键解题关键灵活运用全等三角形、相似三角形的性质是解题的关键.3.(2017石家庄十八县摸底,15)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,每个小正方形的顶点称为格点,A(2,4),B(6,4),C(8,6),在研究ABC的位似三角形时,甲和乙两个同学各自提出的观点如下:甲:将ABC各顶点的横坐标,纵坐标分别缩小为原来的一半,再把得到各点的横坐标加1,得到的A1B1C1与AB
53、C是位似三角形;乙:作ABC关于点(4,3)对称的图形A2B2C2,则A2B2C2与ABC是位似三角形.对于两人的观点,下列说法正确的是()A.两人都对B.甲对,乙不对C.甲不对,乙对D.两人都不对答案答案A按甲的作法,点A1的坐标为(2,2),点B1的坐标为(4,2),点C1的坐标为(5,3),易知直线AA1,BB1,CC1交于点(2,0).=,A1B1C1与ABC是位似三角形,甲正确.按乙的作法,ABCA2B2C2,易知直线AA2,BB2,CC2交于点(4,3),所以A2B2C2与ABC是位似三角形,乙正确.故选A.4.(2017唐山滦南一模,15)如图,等腰直角三角形ABC中,ACB=9
54、0,点E为ABC内一点,且BEC=90,将BEC绕C点顺时针旋转90,使BC与AC重合,得到AFC,连接EF交AC于点M,已知BC=10,CF=6,则AMM C=()A.53B.35C.43D.34答案答案C由旋转可知CE=CF=6,BEC=AFC=90,BE=AF,BEC=90,CE=6,BC=10,BE=8,AF=8,ECF=AFC=90,CEAF,AMMC=AFCE=86=43,故选C.5.(2016石家庄赵县摸底,11)如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二 个 踩 档 与 第 三 个 踩 档 的 正 中 间 处 有 一 条 6 0 c m 长 的 绑 绳EF,
55、tan=,则“人字梯”的顶端A离地面BC的高度为()A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm答案答案BEFBC,=,AE=2.5份,AB=6份,EF=60cm,=,BC=144cm.过点A作ADBC,AB=AC,BD=BC=72cm.tan=,=,AD=72=180cm,故选B.6.(2016石家庄桥西一模,16)如图,在ABC中,ACB=90,AC=BC=1,E、F为线段AB上两动点,且ECF=45,过点E、F分别作BC、AC的垂线,相交于点M,垂足分别为H、G.下列判断:AB=;当点E与点B重合时,M H=;=;AF+BE=EF.其中正确的为()A.B.C.D.答案答案AA
56、C=BC=1,ACB=90,AB=,正确;当点E与点B重合时,点H与点B重合,此时F为AB的中点,CG=MH=AC=,正确;BFC=A+ACF,ACE=ACF+ECF,又A=ECF=45,ACE=BFC,又A=B=45,ACEBFC,=,正确;把ACF绕点C顺时针旋转90至BCD,连接ED.易知AF=BD,CF=CD,EBD=90,CF=CD,ECF=ECD=45,CE=CE,ECFECD,EF=ED,EBD=90,ED2=BE2+BD2,即EF2=BE2+AF2,错误,故选A.二、填空题二、填空题( (每小题每小题2 2分分, ,共共8 8分分) )7.(2018承德兴隆期末,19)如图,在
57、正方形ABCD中,BC=2,点M是AB边的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点E在DC上,点F在DP上,若DFE=45,PF=,则DP=;CE=.答案答案;解析解析四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=2,点M是AB的中点,AM=1,DM=,AMCD,=,DP=.EDP=PDC,DFE=DCP=45,DFEDCP,=,=,DE=.CE=CD-DE=2-=.8.(2018石家庄正定期末改编)如图所示,在矩形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动,同时,点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动.当时间t=秒时,QAP与ABC相似?答
58、案答案或3解析解析由题意可知AP=2t,DQ=t,AQ=6-t,若QAPABC,则=,=,解得t=;若QAPCBA,则=,=,解得t=3.当t=或3秒时,QAP与ABC相似.解题关键解题关键利用分类讨论思想解决动态问题是解决本题的关键.9.(2017张家口桥东一模改编,14)如图,已知在ABC中,cosA=,BE、CF分别是AC、AB边上的高,连接EF,那么AEF和ABC的周长比为.答案答案13解析解析由已知得,AFC=AEB=90,=cosA=.A=A,AEBAFC,=,=,又A=A,AEFABC,易知AEF与ABC的相似比为13,AEF和ABC的周长比为13.10.(2016唐山滦南一模,
59、20)如图,已知ABC的三边长分别为a,b,c,且abc,若平行于三角形一边的直线l将ABC的周长分成相等的两部分,设图中的小三角形、的面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系是(用“”连接).答案答案S1S3S2解析解析设ABC的周长为L,设平行于BC的直线l与AB、AC的交点分别为E、F,lBC,=,=,=,同理,=,=,ab(a+c)2(a+b)2,S1S3S2.三、解答题三、解答题( (共共3030分分) )11.(2018石家庄十八县摸底,26)尝试探究小张在数学实践活动中,画了一个ABC,ACB=90,BC=1,AC=2,再以点B为圆心,BC为半径画弧交AB于点D,
60、以点A为圆心,AD长为半径画弧交AC于点E,如图1,则AE=,此时小张发现AE2=ACEC,请同学们验证小张的发现是否正确.拓展延伸小张利用图1中的线段AC及点E,构造AE=EF=FC,连接AF,得到图2,试完成以下问题:(1)求证:ACFFCE;(2)求A的度数;(3)求cosA的值.应用迁移利用上面的条件,求半径为2的圆内接正十边形的边长.图1图2解析解析尝试探究:ACB=90,BC=1,AC=2,AB=.BC=BD=1,AD=AE=-1.AE2=(-1)2=6-2,ACEC=22-(-1)=6-2.AE2=ACEC,小张的发现正确.拓展延伸:(1)证明:AE2=ACEC,=,AE=FC,
61、=,又C=C,ACFFCE.(2)ACFFCE,AFC=CEF,EF=FC,C=CEF,AFC=C=CEF.AE=EF,A=AFE,FEC=2A,AFC=C=2A.A+AFC+C=180,A=36.(3)过点F作FMAC,垂足为M,AFC=C,AF=AC=2,AE=-1,EC=3-.EF=FC,EM=CE=.AM=AE+EM=-1+=.cosA=.应用迁移:正十边形的中心角为=36,则半径为2的圆内接正十边形的两个半径和一个边长形成的三角形就是ACF,半径AC=AF=2,CF的长就是所求边长,AE=EF=CF=-1.半径为2的圆内接正十边形的边长为-1.解题关键解题关键正确寻找相似三角形,学会
62、利用数形结合思想思考问题是解决本题的关键.12.(2018石家庄长安质检,26)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点N为BC边上的一点,且BN=n(0n0).备用图(1)当点M与点A重合时,t=秒,当点M与点D重合时,n=(用含字母t的代数式表示);(2)若n=2,则在点P运动过程中,点M是否可以到达线段AD的延长线上?通过计算说明理由;连接ND,当t为何值时,NDPM?(3)过点N作NKAB,交AD于点K,若在点P运动过程中,点K与点M不会重合,直接写出n的取值范围.解析解析(1)4;.当点P与点B重合时,点M与点A重合,此时t=4;当点M与点D重合时,易知BPNADP,=,=,n
63、=.(2)不能.在矩形ABCD中,A=B=90,又PMNP,APM+BPN=90,又APM+AMP=90,AMP=BPN,AMPBPN.=,即=,AM=t(4-t)=-t2+2t=-(t-2)2+2,显然,AM是关于t的二次函数,当t=2时,AM取得最大值2,此时点M在线段AD上,所以点M不能到达线段AD的延长线上.如图,过点N作NQAB,交AD于点Q,PAM=NQD=90,当NDPM时,有PMA=NDQ,PMANDQ.=.又PA=t,NQ=4,MA=-t2+2t,DQ=3-2=1.=,即2t2-7t=0,解得t1=0(舍去),t2=.当t=时,NDPM.(3)2n3.详解:由(2)的解答过程
64、可知AMPBPN,=,即=,AM=t(4-t)=- t2+t,当点K与点M重合时,有AM=AK=BN=n,-t2+t=n,化简得t2-4t+n2=0,依题意,不存在点K与点M重合的时刻t,即关于t的一元二次方程t2-4t+n2=0无解,0,即(-4)2-41n24,n0,n2.又0n3,2n3.解题关键解题关键正确根据PMANPB列出含t的比例式是解决本题的关键.13.(2017衡水安平五校联考,26)如图,RtABC中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动
65、时间为t秒(0t2),连接PQ.(1)若BPQ与ABC相似,求t的值;(2)连接AQ、CP,若AQCP,求t的值.解析解析(1)由题意知,BP=5tcm,AB=10cm,CQ=4tcm,BQ=(8-4t)cm.当PBQABC时,有=,即=,解得t=1;当QBPABC时,有=,即=,解得t=.BPQ与ABC相似时,t=1或.(2)如图,过点P作PDBC于D.依题意,得sinB=,cosB=,则PD=PBsinB=3tcm,BD=PBcosB=4tcm,CD=(8-4t)cm.AQCP,ACB=90,ACP+PCD=ACP+QAC,PCD=QAC,ACQ=CDP=90,ACQCDP,=,即=,解得
66、t=.思路分析思路分析(1)分两种情况:当PBQABC时,=;当QBPABC时,=,再根据BP=5tcm,QC=4tcm,AB=10cm,BC=8cm,代入计算即可;(2)过点P作PDBC于D,根据ACQCDP,得出=,代入相关数值计算即可.解题关键解题关键本题考查相似三角形的判定与性质,由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.14.(2016唐山迁安期末质检,26)等边ABC的边长为6,在AC、BC边上各取一点E、F,连接AF、BE相交于点P.(1)如图1,若AE=CF.求证:AF=BE,并求APB的度数;若AE=2,试求APAF的值;(2)如图2,若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,
67、试求点P经过的路径长.解析解析(1)ABC是等边三角形,C=BAC=60,AB=AC,又AE=CF,AFCBEA(SAS),AF=BE,EAP=ABP,BAC=BAP+EAP,APE=BAP+ABP,BAC=APE=60,即APB=180-APE=180-60=120.C=APE=60,PAE=CAF,APEACF,=,即=,所以APAF=12.(2)当AF=BE时,有AE=BF和AE=CF两种情况.当AE=BF时,如图,点P经过的路径是AB边上的高线CH.在RtAHC中,CH=AC=3,此时点P经过的路径长为3.当AE=CF时,如图,点P经过的路径是以A,B为端点的圆弧,且APB=120,则圆心角AOB=120,过点O作OGAB,在RtAOG中,AOG=60,OA=2,l=,此时点P经过的路径长为.点P经过的路径长为3或.思路分析思路分析(1)先证明ABECAF,即可得AF=BE,EAP=ABP,再借助外角即可得到APB的度数.证明APEACF,即可求出APAF的值.(2)当AE=BF时,点P的路径就是AB边上的高线的长度,当AE=CF时,点P的路径是以A,B为端点的一段弧.解题关键解题关键本题考查了等边三角形的性质以及相似三角形的判定及性质的应用,解题的关键是注意转化思想的运用.
