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1、第四章第四章 离散系统最优控制离散系统最优控制4.1 4.1 离散变分法与离散变分法与EulerEuler方程方程 4.2 4.2 离散系统最优控制离散系统最优控制 4.3 4.3 连续变分法与离散变分法求解结连续变分法与离散变分法求解结果的对比果的对比4.4 4.4 离散离散LQRLQR问题问题1离散系统包括两种：（1） 全数字系统；（2）具有采样与保持的数字系统。对于全数字系统，泛函求极值问题为：对于具有采样与保持的数字系统，将连续系统的泛函求极值问题离散化后，可表达为：(4-1a)2可可简化为：当采样周期T 取为一个单位，则得：(41b)式中，3 可见，这两种形式的离散系统、泛函求极值问
2、题的提法是相似的，在以下的讨论中不严加区分. 4.1 离散变分法与离散变分法与Euler方程方程 为了简单起见，先不考虑系统方程的约束。设泛函求极值问题为: 令 ，式中， 为最优轨线， 为 的一次变分，这是在离散时刻k时的一次变分。 4事实上，连续系统中的变分概念，同样可以在各个离散时刻上使用。同样可以得出泛函极值存在的必要条件是 而且，泛函的一次变分也是取线性主部。 由以及5 但但 6此式相当于“分部积分”,代入得泛函极值存在的必要条件为:7 应由下列两式分别为零，即在过渡过程中若 任意，得离散Euler方程并得横截条件:当当 （4-2） 84.2离散系统最优控制离散系统最优控制 泛函求极值
3、化为无约束优化问题， 式中，Lagrange乘子向量设为(k1)，若设为(k)，虽然也可以求解，但算式繁琐。 9令Hamilton函数H为泛函极值存在的必要条件为10式中， 这相当于“分部积分”。从这里可看出 与 所以，泛函极值存在的必要条件为（横截条件）（Euler方程） 相对应11由于已知 实m维空间中任取，即x和u是任意的，因此，可以取 换言之，x和u 可以分别在实n维空间和于是，泛函极值存在的必要条件可化为（横截条件） （伴随方程或协态方程） （耦合方程） （状态方程） （4-4） 12例：解：化为无约束优化问题，令Hamilton函数H为由协态方程得13故 由耦合方程 得故 由状态方
4、程 得14将 代入 中，得 故最优控制为: 最优轨线为 4.3 连续变分法与离散变分法求解结果的对比连续变分法与离散变分法求解结果的对比泛函求极值(1) 用连续变分法求解令 15由 得 由 得 状态方程为这个两点边值问题用数字计算机求解，则化为，16 即 （4-5） (2)用离散变分法求解首先将目标函数及系统方程离散化，得即17 由 得由 得两点边值问题为:（4-6） 令18得 （4-7） 可见，式（4-5）和式（4-7）完全相同。换言之，当采样周期很小时，用离散变分法求解的结果接近于用连续变分法的求解的结果。 当T很小， 二项式展开后， 19 4.4 离散离散LQR问题问题 对于线性离散系统
5、提出二次型目标函数， （4-8） 固定20令Hamilton函数H为由协态方程 得由耦合方程 得即 21由横截条件 得类似于连续LQR问题，可得两点边值问题， （4-9） 仿照连续LQR问题的做法，令 并将: 代入式（4-9），得 （4-10）22即 （4-11） 由式（4-10），得 由于已给定 在过渡过程中 故有 （4-12） 23边界条件 （因为 故 边界条件 由式（4-10），得 代入 （4-12）称为矩阵Riccati差分方程,也可写为（4-13）24 此式中 求逆并取转置，即 由于连续系统的状态方程， 离散化后， 式中 实际上就是原连续系统的状态转移矩阵，再利用式（4-13），得 故其逆阵是存在的。25式中，Kalman增益 同样可得最优反馈控制结构，如图4-1所示。 图4-1 最优反馈控制的结构 + + 26矩阵Riccati差分方程另有一种形式：（4-14） 令 （4-15） 则 即 即 27两边右乘 （4-16） 由式（4-15），得 即 （4-17） 式（4-16）代入式（4-17），28故 式（4-18）代入式（4-12），得此式即为式（4-14）。（4-18）29习题习题试列出两点边值问题。试列出两点边值问题。2 .及及 固定。固定。 N为终端函数。为终端函数。 1.303. 求最优控制表达式。求最优控制表达式。31
