[信息与通信]第二章 电荷守恒定律

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1、2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律 电磁场物理模型中的基本物理量可分为电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量源量和和场量场量两大类。两大类。电荷电荷电流电流电场电场磁场磁场（运动）（运动） 源源量量为为电电荷荷 和和电电流流 ，分分别别用用来来描描述述产产生生电电磁磁效效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律 电荷是物质基本属性之一。电荷是物质基本属性之一。 1897年年英英国国科科学学家家汤汤姆姆逊逊(J.J.Thomson)在在实实验验中中发发现现了电子。了电子。 1907

2、1913年年间间，美美国国科科学学家家密密立立根根(R.A.Miliken)通通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 331019 (单位：单位：C )确确认认了了电电荷荷的的量量子子化化概概念念。换换句句话话说说，e 是是最最小小的的电电荷荷，而而任任何带电粒子所带电荷都是何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。的整数倍。 宏宏观观分分析析时时，电电荷荷常常是是数数以以亿亿计计的的电电子子电电荷荷e的的集集合合，故故可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量可不考虑其量子化的事实，而认为电荷量q可任意连续取值。可任意连续取值。1. 电荷与电

3、荷密度电荷与电荷密度2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律 根据电荷密度的定义，如果已知根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域某空间区域V 中的电荷体密度，则区中的电荷体密度，则区域域V 中的总电荷中的总电荷q为为 单位：单位：C/m3 (库库/米米3 )电荷连续分布于体积电荷连续分布于体积V 内，用电荷体密度来描述其分布内，用电荷体密度来描述其分布 理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式：理想化实际带电系统的电荷分布形态分为四种形式： 点点电电荷、体分布荷、体分布电电荷、荷、面分布面分布电电荷、荷、线线分布分布电电荷荷(1). 电荷体密电荷体密度度2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒

4、定律 如果已知某空间曲面如果已知某空间曲面S 上的电荷上的电荷面密度，则该曲面上的总电荷面密度，则该曲面上的总电荷q 为为 若电荷分布在薄层上若电荷分布在薄层上，当仅考虑薄层外、距薄层的距离要当仅考虑薄层外、距薄层的距离要比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电比薄层的厚度大得多处的电场，而不分析和计算该薄层内的电场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的场时，可将该薄层的厚度忽略，认为电荷是面分布。面分布的电荷可用电荷面密度表示电荷可用电荷面密度表示。 单位单位: C/m2 (库库/米米2) (2).(2). 电荷面密度电荷面密度2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒

5、定律 如果已知某空间曲线上的电荷线如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电荷密度，则该曲线上的总电荷q 为为 若电荷分布在细线上，若电荷分布在细线上，当仅考虑细线外、距细线的距离要当仅考虑细线外、距细线的距离要比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，比细线的直径大得多处的电场，而不分析和计算线内的电场时，可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。可将线的直径忽略，认为电荷是线分布。线分布的电荷可用电线分布的电荷可用电荷线密度表示。荷线密度表示。 单位单位: C / m (库库/米米)(3).(3). 电荷线密度电荷线密度2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律 对于总电荷为

6、对于总电荷为 q 的电荷集中在很小区域的电荷集中在很小区域 V 的情况，当不分的情况，当不分析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算析和计算该电荷所在的小区域中的电场，而仅需要分析和计算电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电电场的区域又距离电荷区很远，即场点距源点的距离远大于电荷所在的源区的线度时，小体积荷所在的源区的线度时，小体积 V 中的电荷可看作位于该区域中的电荷可看作位于该区域中心、电荷为中心、电荷为 q 的点电荷。的点电荷。 点电荷的电荷密度表示为点电荷的电荷密度表示为:(4).(4). 点电荷点电荷其中其中: :2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律

7、2.2. 电流与电流密度电流与电流密度说明说明：电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为电流通常是时间的函数，不随时间变化的电流称为恒定恒定 电流电流，用，用I I 表示。表示。单位单位: A （安）（安）电流方向电流方向: : 正电荷的流动方向正电荷的流动方向电流电流 电荷的定向运动而形成，用电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为：表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面单位时间内通过某一横截面S 的电荷量，即的电荷量，即 存在可以自由移动的电荷。存在可以自由移动的电荷。 存在电场。存在电场。形成电流的条件形成电流的条件：2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律 一般情况下

8、，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不一般情况下，在空间不同的点，电流的大小和方向往往是不同的。在电磁理论中，常用同的。在电磁理论中，常用体电流体电流、面电流面电流和和线电流线电流来描述电流来描述电流的分别状态。的分别状态。 电荷在某一体积内定向运动所形电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流，用成的电流称为体电流，用电流密度矢电流密度矢量量 来描述。来描述。单位单位：A / m2 （安（安/米米2）。1.1. 体电流体电流 体电流密度矢量体电流密度矢量正电荷运动的方向正电荷运动的方向流过任意曲面流过任意曲面S 的电流为：的电流为：2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律2.2. 面

9、电流面电流面电流密度矢量面电流密度矢量d 0 电荷在一个厚度可以忽略的电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量为面电流，用面电流密度矢量 来描述其分布来描述其分布单位：单位：A/m （安（安/米）米） 。正电荷运动的方向正电荷运动的方向通过薄导体层上任意有向曲线通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为的电流为2.1 2.1 电荷守恒定律电荷守恒定律3.3.电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律电荷守恒定律: 电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体体 的一部

10、分转移到另一部分，或者从一个物体转移的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。到另一个物体。电流连续性方程：电流连续性方程：流出闭曲面流出闭曲面S 的电流的电流等于体积等于体积V 内单位时内单位时间所减少的电荷量间所减少的电荷量恒定电流是无源场，电恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点既无起点也无终点电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。积分形式：积分形式：微分形式：微分形式：恒定电流的连续性方程恒定电流的连续性方程2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律(1).(1). 库

11、仑库仑（Coulomb）定律定律(1785年年) 真空中静止点电荷真空中静止点电荷 q1 对对 q2 的作用力的作用力: ，满足牛顿第三定律。，满足牛顿第三定律。 大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比。大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比。 方向沿方向沿q1 1 和和q2 2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引。连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引。说明：说明：1.1. 库仑定律库仑定律 电场强度电场强度2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律电场力服从叠加定理电场力服从叠加定理 真空中的真空中的N个点电荷个点电荷 （分别位于（分别

12、位于 ）对点电荷对点电荷 （位于（位于 ）的作用力为）的作用力为qq1q2q3q4q5q6q72.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律 根据上述定义，真空中静止点根据上述定义，真空中静止点电荷电荷q 激发的电场为：激发的电场为： 描述电场分布的基本物理量。描述电场分布的基本物理量。 电场强度矢量电场强度矢量 空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷试验电荷）受到的作用力，即）受到的作用力，即试验正电荷试验正电荷 (2).(2). 电场强度电场强度对多个点电荷对多个点电荷, 或电荷是连续分布呢或电荷是连续分布

13、呢？2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律小体积元中的电荷产生的电场小体积元中的电荷产生的电场面密度为面密度为 的面的面分布电荷的电场强度分布电荷的电场强度线密度为线密度为 的线的线分布电荷的电场强度分布电荷的电场强度体密度为体密度为 的体分布电荷产生的电场强度的体分布电荷产生的电场强度2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律(3).(3). 几种典型几种典型电电荷分布的荷分布的电场电场强强度度（无限长）（无限长）均匀带电圆环均匀带电圆环均匀带电直线段均匀带电直线段均匀带电直线段的电场强度均匀带电直线段的电场强度：均匀带电圆环轴线上的电场强度：均匀带电

14、圆环轴线上的电场强度：（有限长）（有限长）2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律电偶极矩电偶极矩+q电偶极子电偶极子zolq电偶极子的场图电偶极子的场图等位线等位线电场线电场线 电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为: : 电偶极子的电场强度：电偶极子的电场强度：证明见证明见P402.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律例例 2.2.12.2.1 计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度

15、。 解解：如图所示，环形薄圆盘的内半径为如图所示，环形薄圆盘的内半径为a 、外半径为、外半径为b，电荷，电荷面密度为面密度为 。在环形薄圆盘上取面积元在环形薄圆盘上取面积元 ，其位置矢量为其位置矢量为 ，它所带的电量为它所带的电量为 。而薄圆盘轴线上的场点而薄圆盘轴线上的场点 的位置的位置矢量为矢量为 ，因此有：，因此有：P(0,0,z)brRyzx均匀均匀带电带电的的环环形薄形薄圆盘圆盘dSa故故由于由于2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律高斯定理表明高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止 于负电荷。于负电荷。2

16、.2. 静电场的散度与旋度静电场的散度与旋度静电场的散度静电场的散度（微分形式）（微分形式）静电场的高斯定理静电场的高斯定理（积分形式）（积分形式）(1).(1). 静电场散度与高斯定理静电场散度与高斯定理静电场的旋度静电场的旋度（微分形式）（微分形式）静电场的环路定理静电场的环路定理（积分形式）（积分形式） (2).(2). 静电场旋度与环路定理静电场旋度与环路定理环路定理表明：环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。无关。2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律 在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用

17、高斯定理计在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。算电场强度。 3.3. 利用高斯定理计算电场强度利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解： 球对称分布球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。带电球壳带电球壳多层同心球壳多层同心球壳均匀带电球体均匀带电球体aO02.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律 无限大平面电荷无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。如无限大的均匀带电平面、平板等。 轴对称分布轴对称分布：如无限长均匀带电

18、的直线，圆柱面，圆柱壳等。如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。2.2 2.2 真空中静电场的基本规律真空中静电场的基本规律 例例2.2.22.2.2 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为径为a ，电，电 荷密度为荷密度为 0 。 解解：（1）球外某点的场强球外某点的场强（2）求球体内一点的场强求球体内一点的场强ar0rrEa( ( r r a a ) )由由由由2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律 安培对电流的磁效应进行了大量安培对电流的磁效应进行了大量的实验研究，在的实验研究，在 1821 1825年之间，

19、年之间，设计并完成了电流相互作用的精巧实设计并完成了电流相互作用的精巧实验，得到了电流相互作用力公式，称验，得到了电流相互作用力公式，称为安培力定律。为安培力定律。 载流回路载流回路 C2 对载流回路对载流回路 C1 的作用力的作用力安培力定律安培力定律满足牛顿满足牛顿第三定律第三定律 实实验验表表明明，真真空空中中的的载载流流回回路路 C1 对载流回路对载流回路 C2 的作用力的作用力1.1. 安培力定律安培力定律 磁感应强度磁感应强度(1).(1). 安培力定律安培力定律2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律(2).(2). 磁感应强度磁感应强度 电电流流在在其其

20、周周围围空空间间中中产产生生磁磁场场，描描述述磁磁场场分分布布的的基基本本物物理理量是磁感应强度量是磁感应强度 ，单位为，单位为T（特斯拉）。（特斯拉）。 磁磁场场的的重重要要特特征征是是对对场场中中的的电电流流磁磁场场力力作作用用，载载流流回回路路C1对对载载流流回回路路 C2 的的作作用用力力是是回回路路 C1中中的的电电流流 I1 产产生生的的磁磁场场对对回回路路 C2中的电流中的电流 I2 的作用力。的作用力。其中其中电流电流I I1 1在电流元在电流元处产生的磁感应强度处产生的磁感应强度 根据安培力定律，有根据安培力定律，有:2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基

21、本规律任意电流回路任意电流回路 C 产生的磁感应强度产生的磁感应强度电流元电流元 产生的磁感应强度产生的磁感应强度体电流产生的磁感应强度体电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度面电流产生的磁感应强度2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律(3).(3). 几种典型电流分布的磁感应强度几种典型电流分布的磁感应强度 载流直线段的磁感应强度载流直线段的磁感应强度： 载流圆环轴线上的磁感应强度：载流圆环轴线上的磁感应强度：（有限长）（有限长）（无限长）（无限长）载流直线段载流直线段载流圆环载流圆环2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律 ，而场点，而

22、场点 P 的位置矢量为的位置矢量为 ，故得故得: 解：解：设圆环的半径为设圆环的半径为a，流过的电流为，流过的电流为I。为计算方便取线电。为计算方便取线电流圆环位于流圆环位于xOy 平面上，则所求场点为平面上，则所求场点为P (0, 0, z ) , 如图如图 所示。所示。采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为采用圆柱坐标系，圆环上的电流元为 , 其位置矢其位置矢量为量为 例例 2.3.1 计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。计算线电流圆环轴线上任一点的磁感应强度。 载流圆环载流圆环轴线上任一点轴线上任一点P ( 0, 0, z )的磁感应强度为的磁感应强度为2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本

23、规律真空中恒定磁场的基本规律可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为圆环上各对称点处的电流元在场点圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分产生的磁感应强度的径向分量相互抵消。量相互抵消。当场点当场点P 远离圆环，即远离圆环，即z a 时，因时，因 ，故，故由于由于 ，所以所以 在圆环的中心点上，在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即，磁感应强度最大，即:2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律2.2. 恒定磁场的散度和旋度恒定磁场的散度和旋度 磁通连续性原理磁通连续性原理表

24、明表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和 终点的闭合曲线。终点的闭合曲线。安培环路定理表明安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的旋涡源。场的旋涡源。恒定磁场的旋度恒定磁场的旋度（微分形式）（微分形式）安培环路定理安培环路定理（积分形式）（积分形式）磁通连续性原理磁通连续性原理（积分形式）（积分形式）恒定场的散度恒定场的散度（微分形式）（微分形式）(1).(1). 恒定磁场的散度与磁通连续性原理恒定磁场的散度与磁通连续性原理(2).(2). 恒定磁场的旋度与安培环路定理恒定磁场的旋度与安培环路定

25、理2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律 解解：分析场的分布，取安培环路如图，则：分析场的分布，取安培环路如图，则 根据对称性，有根据对称性，有 ，故，故 在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。定理计算磁感应强度。 (3).(3). 利用安培环路定理计算磁感应强度利用安培环路定理计算磁感应强度 例例2.3.2 求电流面密度为求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁的无限大电流薄板产生的磁感应强度。感应强度。2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律 解解 选用圆柱坐

26、标系，则选用圆柱坐标系，则应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得例例2.3.32.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。取取安培环路安培环路 ，交链的电流为，交链的电流为2.3 2.3 真空中恒定磁场的基本规律真空中恒定磁场的基本规律应用安培环路定理，得应用安培环路定理，得2.4 2.4 媒质的电磁特性媒质的电磁特性 媒质对电磁场的响应可分为三种情况：媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化极化、磁化磁化和和传导传导。 描述媒质电磁特性的参数为：描述媒质电磁特性的参数为： 介电常数介电常数( (电容率电容率) )、磁导率和电导率磁导率和电导率。2.

27、4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 电介质的分子分为电介质的分子分为无极分无极分子和有极分子子和有极分子。无极分子无极分子有极分子有极分子无外加电场无外加电场无极分子无极分子有极分子有极分子有外加电场有外加电场E 在电场作用下，介质中无在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称向趋于电场方向，这种现象称为电介质的为电介质的极化极化。 无极分子的极化称为无极分子的极化称为位移位移极化极化，有极分子的极化称为，有极分子的极化称为取取向极化。向极化。1.1. 电介质的极化电介质

28、的极化 电位移矢量电位移矢量(1).(1). 电介质的极化现象电介质的极化现象2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 (2).(2). 极化强度矢量极化强度矢量 极化强度矢量极化强度矢量 是描述介质极化程是描述介质极化程 度的物理量，定义为度的物理量，定义为 分子的平均电偶极矩分子的平均电偶极矩 的物理意义：单位体积内分子电偶的物理意义：单位体积内分子电偶 极矩的矢量和。极矩的矢量和。 极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、 各向同性的电介质中，各向同性的电介质中， 与电场强度成正比，即与电场强度成正比，即 电介质

29、的电极化率电介质的电极化率 E2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净由于极化，正、负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷极化电荷。(3).(3). 极化电荷极化电荷( a ) 极化电荷体密度极化电荷体密度 在电介质内任意作一闭合面在电介质内任意作一闭合面S，只只有电偶极矩穿过有电偶极矩穿过S 的分子对的分子对 S 内的极化内的极化电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元的电偶

30、极矩才穿过小面元 dS ，因此，因此dS对极化电荷的贡献为对极化电荷的贡献为S 所围的体积内的极化电荷所围的体积内的极化电荷 为为:E S2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 ( b ) 极化电荷面密度极化电荷面密度 紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元紧贴电介质表面取如图所示的闭合曲面，则穿过面积元 的极化电荷为的极化电荷为故得到电介质表面的极化电荷面密度为故得到电介质表面的极化电荷面密度为2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 (4).(4). 电位移矢量电位移矢量 介质中的高斯定理介质中的高斯定理 介质的极化过程包括两个方面：介质的极化过程包括两

31、个方面：q 外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；q 极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状 态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服 从同样的库仑定律和高斯定理。从同样的库仑定律和高斯定理。自由电荷和极化电荷共同激发的结果自由电荷和极化电荷共同激发的结果 介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：加，应用高斯定理得到：2.4 2.4 矢量场的通量与

32、散度矢量场的通量与散度 任意闭合曲面电位移矢任意闭合曲面电位移矢量量 D 的通量等于该曲面的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和包含自由电荷的代数和 小结小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 引入电位移矢量（单位：引入电位移矢量（单位：C/m2 ) )将极化电荷体密度表达式将极化电荷体密度表达式 代入代入 ，有，有:则有则有 其积分形式为其积分形式为 （微分形式），（微分形式）， （积分形式）（积分形式） 2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 在这种情况下在这种情况下其中其中 称为介质的介电常数，称为介质的介电常数， 称为称为介质

33、的相对介电常数（无量纲）。介质的相对介电常数（无量纲）。* * 介质有多种不同的分类方法，如：介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质时变和时不变介质线性和非线性介质线性和非线性介质确定性和随机介质确定性和随机介质(5).(5). 电介质的本构关系电介质的本构关系 极化强度极化强度 与电场强度与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，对于线性各向同性介质， 和和 有简单的线性关系有简单的线性关系2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 (1).(1).

34、磁介质的磁化磁介质的磁化 介质中分子或原子内的电子运动形介质中分子或原子内的电子运动形成成分子电流分子电流，形成分子磁矩，形成分子磁矩无外加磁场无外加磁场外加磁场外加磁场B 在外磁场作用下，分子磁矩定向排在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁介质的磁化磁化。 无外磁场作用时，分子磁矩不规无外磁场作用时，分子磁矩不规则排列，宏观上不显磁性。则排列，宏观上不显磁性。2.2. 磁介质的磁化磁介质的磁化 磁场强度磁场强度2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 B(2).(2). 磁化强度矢量磁化强度矢量 磁化强度磁化强

35、度 是描述磁介质磁化是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即的分子磁矩的矢量和，即 单位为单位为A/m。2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 (3).(3). 磁化电流磁化电流 磁介质被磁化后，在其内部磁介质被磁化后，在其内部与表面上可能出现宏观的电流分与表面上可能出现宏观的电流分布，称为磁化电流。布，称为磁化电流。BC（a a） 磁化电流体密度磁化电流体密度 考察穿过任意围线考察穿过任意围线C 所围曲面所围曲面S 的电流。只有分子电流与围的电流。只有分子电流与围线相交链的分子才对电流有贡献。与线元线相交链的分子才对电流

36、有贡献。与线元dl 相交链的分子，中心相交链的分子，中心位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流位于如图所示的斜圆柱内，所交链的电流穿过曲面穿过曲面S 的磁化电流为的磁化电流为2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 由由 ，即得到磁化电流体密度，即得到磁化电流体密度 在紧贴磁介质表面取一长度元在紧贴磁介质表面取一长度元d dl，与此交链的磁化电流为，与此交链的磁化电流为（b） 磁化电流面密度磁化电流面密度则则即即的切向分量的切向分量2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 将极化电流体密度表达式将极化电流体密度表达式 代入代入 ， 有有, 即即定义磁场强度定义磁场强度 为

37、：为：分别是传导电流密度和磁化电流密度。分别是传导电流密度和磁化电流密度。 外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同外加磁场使介质发生磁化，磁化导致磁化电流。磁化电流同样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应样也激发磁感应强度，两种相互作用达到平衡，介质中的磁感应强度强度B 应是所有电流源激励的结果：应是所有电流源激励的结果： (4).(4). 磁场强度磁场强度 介质中安培环路定理介质中安培环路定理2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 则得到介质中的则得到介质中的安培环路定理为安培环路定理为：磁通连续性定理为磁通连续性定理为: :小结小结：恒定磁场是

38、有源无旋场，磁介质中的基本方程为恒定磁场是有源无旋场，磁介质中的基本方程为 （微分形式）（微分形式）（积分形式）（积分形式） 2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 其中，其中， 称为介质的称为介质的磁化率磁化率（也称为（也称为磁化系数磁化系数）。）。这种情况下这种情况下其中其中 称为介质的磁导率，称为介质的磁导率， 称为介称为介质的相对磁导率（无量纲）。质的相对磁导率（无量纲）。顺磁质顺磁质抗磁质抗磁质铁磁质铁磁质磁介质的分类磁介质的分类(5).(5). 磁介质的本构关系磁介质的本构关系 磁化强度磁化强度 和磁场强度和磁场强度 之间的关系由磁介质的物理性质决之间的关系由磁介质的

39、物理性质决定，对于线性各向同性介质，定，对于线性各向同性介质， 与与 之间存在简单的线性关系之间存在简单的线性关系：2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 磁场强度磁场强度磁化强度磁化强度磁感应强度磁感应强度 例例2.4.12.4.1 有一磁导率为有一磁导率为 ，半径为，半径为a 的无限长导磁圆柱，其的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流轴线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 ），试求圆柱内），试求圆柱内外的外的 、 和和 的分布。的分布。 解解 磁场为平行平面场磁场为平行平面场, ,且具有轴对称性，应用安培环路定理，且具有轴对称性，应用安培环路定理，得

40、得2.4 2.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量量 J 和电场强度和电场强度 E 成正比，表示为成正比，表示为这就是欧姆定律的这就是欧姆定律的微分形式微分形式。式中的比例系数。式中的比例系数 称为媒质的电称为媒质的电导率，单位是导率，单位是S/m（西（西/米）。米）。晶格晶格带电粒子带电粒子 存在可以自由移动带电粒子的介质称为存在可以自由移动带电粒子的介质称为导电媒质导电媒质。在外场作。在外场作用下，导电媒质中将形成定向移动电流。用下，导电媒质中将形成定向移动电流。 3.3. 媒质

41、的传导特性媒质的传导特性2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 电磁感应定律电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场。揭示时变磁场产生电场。 位移电流位移电流 揭示时变电场产生磁场。揭示时变电场产生磁场。 重要结论：重要结论： 在时变情况下，电场与磁场相互激励，在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一的电磁场。形成统一的电磁场。2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 1881年年法法拉拉第第发发现现，当当穿穿过过导导体体回回路路的的磁磁通通量量发发生生变变化化时时，回回路路中中就就会会出出现现感感应应电电流流和和电电动动势势，且且感感应应电电动动势势与与

42、磁磁通通量量的的变变化有密切关系，由此总结出了著名的化有密切关系，由此总结出了著名的法拉法拉第第电磁感应定律。电磁感应定律。 负号表示感应电流产生的磁场负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化总是阻止磁通量的变化。(1). (1). 法拉第电磁感应定律的表述法拉第电磁感应定律的表述 当通过导体回路所围面积的磁通量当通过导体回路所围面积的磁通量 发生变化时，回路中产生的感应电动势发生变化时，回路中产生的感应电动势 的的大大小小等等于于磁磁通通量量的的时时间间变变化化率率的的负负值值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即方向是要阻止回路中磁通量的改变，即 1.1. 电磁感应定律电磁感应定律2.

43、5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 设设任任意意导导体体回回路路 C 围围成成的的曲曲面面为为S，其其单单位位法法向向矢矢量量为为 ，则则穿穿过过回回路路的的磁磁通通为为 ner B CS dlrr 导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场导体回路中有感应电流，表明回路中存在感应电场 ，回路，回路中的感应电动势可表示为中的感应电动势可表示为因而有因而有2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 感应电场是由变化的磁场所激发的电场。感应电场是由变化的磁场所激发的电场。 感应电场是有旋场。感应电场是有旋场。 感应电场感应电场不仅存在于导体回路中，也存在于

44、导体回路之外不仅存在于导体回路中，也存在于导体回路之外 的空间。的空间。 对空间中的任意回路（不一定是导体回路）对空间中的任意回路（不一定是导体回路）C ，都有，都有 对感应电场的讨论对感应电场的讨论： 若空间同时存在由电荷产生的电场若空间同时存在由电荷产生的电场 , ,则总电场则总电场 应为应为 与与 之和，即之和，即 。由于。由于 ，故有，故有 推广的法拉第推广的法拉第电磁感应定律电磁感应定律2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流(2).(2). 引起回路中磁通变化的几种情况引起回路中磁通变化的几种情况相应的微分形式为相应的微分形式为(a)(a) 回路不变，磁场随时间

45、变化回路不变，磁场随时间变化磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有磁通量的变化由磁场随时间变化引起，因此有(c)(c) 回路在时变磁场中运动回路在时变磁场中运动(b)(b) 导体回路在恒定磁场中运动导体回路在恒定磁场中运动动生电动势动生电动势2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 （1） ，矩形回路静止，矩形回路静止.xbaoyx均匀磁场中的矩形环均匀磁场中的矩形环L （3） ，且矩形回，且矩形回路上的可滑动导体路上的可滑动导体L以匀速以匀速 运动。运动。 解解：(1) 均匀磁场均匀磁场 随时间作简随时间作简谐变化，而回路静止，因而回路内的感谐变化，而回路静止，因而回路

46、内的感应电动势是由磁场变化产生的，故应电动势是由磁场变化产生的，故 例例 2.5.1 长为长为 a、宽为、宽为 b 的矩形环中有均匀磁场的矩形环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。 （2） ，矩形回路的宽边，矩形回路的宽边b = 常数，但其长边因可滑动常数，但其长边因可滑动导体导体L以匀速以匀速 运动而随时间增大运动而随时间增大.2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 ( 3 ) 矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动

47、导体 L在磁场中运动产生的，故得在磁场中运动产生的，故得 ( 2 ) 均匀磁场均匀磁场 为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速为恒定磁场，而回路上的可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体运动，因而回路内的感应电动势全部是由导体 L 在磁场中运动产在磁场中运动产生的，故得生的，故得或或2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 （1）线圈静止时的感应电动势）线圈静止时的感应电动势. 解解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故 （2）线圈以角速度）线圈以角速度 绕绕 x 轴旋转时的感应电动势。轴旋转时的感

48、应电动势。 例例 2.5.2 在时变磁场在时变磁场 中，放置有一个中，放置有一个 的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量的矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与与 成成角，角，如图所示。试求：如图所示。试求： xyzabB时变时变磁磁场场中的矩形中的矩形线线圈圈2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 假定假定 时时 ，则在时刻，则在时刻 t 时，时， 与与y 轴的夹角轴的夹角 ，故，故 方法一方法一：利用式利用式 计算计算 （2）线圈绕）线圈绕 x 轴旋转时，轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的的指向将随时间变化。线圈内的感应电动势可以用两种方法计算。感

49、应电动势可以用两种方法计算。2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 上式右端第二项与上式右端第二项与( 1 )相同，第一项相同，第一项xyzabB时变时变磁磁场场中的矩形中的矩形线线圈圈12 234 方法二方法二：利用式：利用式2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变？即在时变情况下，安培环路定理是否要发生变化？有什么变？即问题问题：随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场随时间变化的磁场要产生电场，那么随时间变化的电场 是否会产生磁场？是否会产生磁场？ 静态情况下的电场基本方程在非静态时发生

50、了变化，即静态情况下的电场基本方程在非静态时发生了变化，即 这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含这不仅是方程形式的变化，而是一个本质的变化，其中包含了重要的物理事实，即了重要的物理事实，即 时变磁场可以激发电场时变磁场可以激发电场 。（恒定磁场）（恒定磁场）（时变场）（时变场）2.2. 位移电流位移电流2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流(1).(1). 全电流定律全电流定律非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有非时变情况下，电荷分布随时间变化，由电流连续性方程有 发生矛盾发生矛盾在时变的情况下不适用在时变的情况下不适用 解决办法解决办法：

51、 对安培环路定理进行修正对安培环路定理进行修正而由而由由由矛盾解决矛盾解决时变电场会激发磁场时变电场会激发磁场将将 修正为：修正为： 2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流全电流定律：全电流定律： 微分形式微分形式 积分形式积分形式 全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的变化的电场也可以激发磁场电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。自然界的一个对偶关系。2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流(2).(2). 位移电流密度位移电流密度q电位移矢量随时间的变

52、化率，能像电电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称流一样产生磁场，故称“位移电流位移电流”。注注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。 在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。 在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。q位移电流只表示电场的变化率，与传位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。导电流不同，它不产生热效应。q位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时

53、变电场产生磁场这一重要的物理概念。揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流例例 2.5.32.5.3 海水的电导率为海水的电导率为4 S/m ，相对介电常数为，相对介电常数为 81 ，求频率，求频率为为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。 解：解：设电场随时间作正弦变化，表示为设电场随时间作正弦变化，表示为则则位移电流密度为位移电流密度为其振幅值其振幅值为为传导电流的振幅值为传导电流的振幅值为故故2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流式中的式中的 k 为常数。

54、试求：位移电流密度和电场强度。为常数。试求：位移电流密度和电场强度。例例 2.5.42.5.4 自由空间的磁场强度为自由空间的磁场强度为 解解 自由空间的传导电流密度为自由空间的传导电流密度为0，故由式，故由式 , 得得2.5 2.5 电磁感应定律和位移电流电磁感应定律和位移电流 例例 2.5.5 铜的电导率铜的电导率 、相对介电常数、相对介电常数 。设铜中的传导电流密度为。设铜中的传导电流密度为 。试证明：在。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。的。而传导电流密度的振幅值为而传导电流密度的振幅值为通常所

55、说的无线电频率是指通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使以下的频率范围，即使扩展到极高频段（扩展到极高频段（f = 30300 GHz），从上面的关系式看出比），从上面的关系式看出比值值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。 解解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为位移电流密度的振幅值为位移电流密度的振幅值为2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律，宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电磁场的基本方程。是电磁场的基本方程

56、。2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组1. 1. 麦克斯韦方程组的积分形式麦克斯韦方程组的积分形式2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组2.2.麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线无源场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场表明电荷产生电场2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克

57、斯韦方程组代入麦克斯韦方程组中，有代入麦克斯韦方程组中，有限定形式限定形式的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程（均匀媒质）（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为各向同性线性媒质的本构关系为:3.3. 媒质的本构关系媒质的本构关系 麦克斯韦方程组还不足以构成限麦克斯韦方程组还不足以构成限定电磁场矢量的完整方程系。因为一定电磁场矢量的完整方程系。因为一个矢量方程相当于个矢量方程相当于3 3个标量方程个标量方程, ,方程方程组共有组共有7 7个独立的标量方程个独立的标量方程, ,但包括了但包括了1616个独立的函数。场矢量个独立的函数。场矢量D与与E之间、之间、H与与B、J与与E之间，还存在着确定的之间，

58、还存在着确定的关系，这些关系决定于场中介质（包关系，这些关系决定于场中介质（包括真空）的电磁性质。括真空）的电磁性质。电磁介质的电磁介质的本构方本构方程程是表示场矢量之是表示场矢量之间关系的方程，由间关系的方程，由介质性质所决定介质性质所决定. . 2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组q时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发磁场互为激发源，相互激发。q时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互

59、关联，构时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体成一个整体 电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。分量。q在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。成电磁振荡并传播，这就是电磁波。2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组q在无源空间中，两个旋度方程分别为在无源空间中，两个旋度方程分别为 可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负

60、号使可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组时变场时变场静态场静态场缓变场缓变场迅变场迅变场电磁场电磁场(EM)准静电场准静电场(EQS)准静磁场准静磁场(MQS)静磁场静磁场(MS)小结：小结： 麦克斯韦方程适用范围麦克斯

61、韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。：一切宏观电磁现象。静电场静电场(ES)恒定电场恒定电场(SS)2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 解：解：( 1 ) 导线中的传导电流为导线中的传导电流为忽略边缘效应时，间距为忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板的两平行板之间的电场为之间的电场为E = u / d ，则，则 例例 2.6.1 正弦交流电压源正弦交流电压源 连接到平行板电容器的连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。两个极板上，如图所示。(1) (1) 证明电容器两极板间的位移电流与证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；连接导线中的传导电流相等；(2)(2)求导线

62、附近距离连接导线为求导线附近距离连接导线为r 处处的磁场强度。的磁场强度。CPricu平行板电容器与交平行板电容器与交流电压源相接流电压源相接2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组与闭合线铰链的只有导线中的传导电流与闭合线铰链的只有导线中的传导电流 ，故得，故得式中的式中的S0为极板的面积，而为极板的面积，而为平行板电容器的电容。为平行板电容器的电容。 ( 2 ) 以以 r 为半径作闭合曲线为半径作闭合曲线C，由于连接导线本身的轴对称，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故性，使得沿闭合线的磁场相等，故则极板间的位移电流为则极板间的位移电流为2.6 2.6 麦克斯韦方程组

63、麦克斯韦方程组 例例 2.6.22.6.2 在无源在无源 的电介质的电介质 中，若已中，若已知电场强度矢量知电场强度矢量 ，式中的，式中的E0为振幅、为振幅、为角频率、为角频率、k为相位常数。试确定为相位常数。试确定k与与 之间所满足的关系，之间所满足的关系，并求并求出与出与 相应的其他场矢量。相应的其他场矢量。 解：解： 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利用麦克斯韦方程组可以确定用麦克斯韦方程组可以确定 k 与与 之间所满足的之间所满足的关系，以及与关系，以及与 相应的其相应的其他他场矢量。场矢量。对时间对时间 t 积分，得积分，

64、得2.6 2.6 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由由以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和和 D代入式代入式2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 什么是电磁场的边界条件什么是电磁场的边界条件? ? 为什么要研究边界条件为什么要研究边界条件? ?媒质媒质1 1媒质媒质2 2 如何讨论边界条件如何讨论边界条件? ? 实际电磁场问题都是在一定的物理空实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界

65、面上的电磁场矢量满足的关系，是在不界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。同媒质分界面上电磁场的基本属性。物理物理：由于在分界面两侧介质的特性参由于在分界面两侧介质的特性参 数发生突变，场在界面两侧也发数发生突变，场在界面两侧也发 生突变。麦克斯韦方程组的微分生突变。麦克斯韦方程组的微分 形式在分界面两侧失去意义，必形式在分界面两侧失去意义，必 须采用边界条件。须采用边界条件。数学数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其麦克斯韦方程组是微分方程组，其 解是不确定的，边界条件起定解的解是不确定的，边界条件起定解的 作用。作用。 麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒麦克斯韦方程

66、组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件1.1.边界条件一般表达式边界条件一般表达式媒质媒质1 1媒质媒质2 2 分界面上的电荷面密度分界面上的电荷面密度 分界面上的电流面密度分界面上的电流面密度2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件媒质媒质1 1媒质媒质2 2PS即即 边界条件的推证边界条件的推证 或或或或同理同理 ，由，由 在两种媒质的交界面上任取一在两种媒质的交界面上任取一点点P，作一个包围点，作一个包围点P

67、 的扁平圆柱的扁平圆柱曲面曲面S，如图表示。，如图表示。（1 1） 电磁场量的法向边界条件电磁场量的法向边界条件令令h 00，则由，则由2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令h 0，则由则由媒质媒质1 1媒质媒质2 2故得故得或或同理得同理得或或（2）电磁场量的切向边界条件电磁场量的切向边界条件2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件(1). (1). 两种理想介质分两种理想介质分界面上的边界条件界面上的边界条件 在两种理想介质在两种理想介质分界面上，通常没有分界面上，通常没有电荷和电流分布

68、，即电荷和电流分布，即JS0、S0，故，故 的法向分量连续的法向分量连续 的法向分量连续的法向分量连续 的切向分量连续的切向分量连续媒质媒质1 1媒质媒质2 2 、 的法向分量连续的法向分量连续媒质媒质1 1媒质媒质2 2 、 的切向分量连续的切向分量连续2.2. 两种常见的情况两种常见的情况 的切向分量连续的切向分量连续2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件(2).(2).理想导体表面上的边界条件理想导体表面上的边界条件 理想导体表面上的边界条件理想导体表面上的边界条件 设媒质设媒质2为理想导体，则为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故均为零，故 理想导体理想导体：电导率为

69、无限大的导电媒质电导率为无限大的导电媒质 特征特征：电磁场不可能进入理想导体内电磁场不可能进入理想导体内理想导体表面上的电荷密度等于理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分量的法向分量理想导体表面上理想导体表面上 的法向分量为的法向分量为0 0理想导体表面上理想导体表面上 的切向分量为的切向分量为0 0理想导体表面上的电流密度等于理想导体表面上的电流密度等于 的切向分量的切向分量2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 例例2.7.1 z 0 区域的媒质参数为区域的媒质参数为 。若媒质。若媒质1中中的电场强度为的电场强度为媒质媒质2 2中的电场强度为中的电场强度为（1）试确定常数）试确定

70、常数A的值的值;（2）求磁场强度）求磁场强度 和和 ； （3 3）验证）验证 和和 满足边界条件。满足边界条件。 解解: :（1）这是两种电介质的分界面，在分界面这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0处，有处，有2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件利用两种电介质分界面上电场强度的切向分量连续的边界条件得到得到将上式对时间将上式对时间 t 积分，得积分，得 （2）由）由 ，有，有2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件可见，在可见，在 z = 0 处，磁场强度的切向分量是连续的，因为在分界面处，磁场强度的切向分量是连续

71、的，因为在分界面上（上（z = 0）不存在面电流。）不存在面电流。 （3）z = 0 时时同样，由同样，由 ，得，得2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件试问关于试问关于1区中的区中的 和和 能求得出吗？能求得出吗？ 解解 根据边界条件，只能求得边界面根据边界条件，只能求得边界面z0 处的处的 和和 。由由 ，有，有则得则得1区区2区区xyz电电介介质质与自由空与自由空间间的的分界面分界面O 例例 2.7.2 如图所示，如图所示，1区的媒质参数为区的媒质参数为 、 、 2区的媒质参数为区的媒质参数为 。若已知自由空间的。若已知自由空间的电场强度为电场强度为2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件又由又由 ，有，有则得则得最后得到最后得到2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 解解 （1）由）由 , 有有试求试求: :（1）磁场强度磁场强度 ；（2）导体表面的电流密度）导体表面的电流密度 。 例例2.7.3 在两导体平板（在两导体平板（z = 0 和和 z = d）之间的空气中，已知电）之间的空气中，已知电场强度场强度2.7 2.7 电磁场的边界条件电磁场的边界条件将上式对时间将上式对时间 t 积分，得积分，得 （2） z = 0 处导体表面的电流密度为处导体表面的电流密度为z = d 处导体表面的电流密度为处导体表面的电流密度为