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1、内装订线外装订线 学校：_姓名：_班级：_考号：_人教版2024-2025学年度第一学期第一次月考测试卷高三 数学（满分：150分 时间：120分钟）题号一二三四总分分数一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知为实数集,集合,则( )A. B. C. D. 2. 若复数对应复平面内的点的坐标为,则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量,满足,且,则( )A. B. C. 1D. 4. 已知直线,则“”是“直线与圆相切”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充
2、分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 高二年级五位数学教师“陈雪梅,王杰,周建军,郭磊,陈正斌”站成一排照相,其中陈正斌与郭磊一定相邻,但是都不与陈雪梅相邻的概率是( )A B. C. D. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象,已知函数的一个零点是,且直线是的图象的一条对称轴,则当取最小值时,的值是( )A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点,过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点,以为直径的圆过点,延长交右支于点,若,则双曲线的渐近线方程是( )A B. C. D. 8. 已知函数(,为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴
3、对称的点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 设,为正实数,则下列命题中是真命题的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则10. 已知在等比数列中,满足,是的前n项和,则下列说法正确的是( )A. 数列是等比数列B. 数列是递增数列C. 数列是等差数列D. 数列中,仍成等比数列11. 已知正方体,过对角线作平面交棱于点,交棱于点,下列正确的是( )A. 平面分正方体所得两部分的体积相等B. 四边形一定是平行四边形C.
4、平面与平面不可能垂直D. 四边形的面积有最大值12. 已知定义域为的函数满足是奇函数,为偶函数,当时,则( )A. 函数不是偶函数B. 函数的最小正周期为4C. 函数在上有3个零点D. 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 已知,则_14. 已知展开式的二项式系数之和为256,则_;展开式中常数项为_.15. 已知抛物线:与圆:,直线:与抛物线交于,两点,与圆交于,两点,若,则抛物线的准线方程为_.16. 卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院,是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的,已成为巴黎的城市地标.卢浮宫金字塔为正四棱锥造型,该正四棱锥的底面边长为,高为,若该四棱锥的五个顶点都在
5、同一个球面上,则球心到该四棱锥侧面的距离为_.四、解答题(本大题共6小题,第17小题10分，其它每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明赛程或演算步骤)17. 从,成等差数列;,成等比数列;这三个条件中任选一个补充在下面问题中,并解答下列问题.已知为数列的前项和,且_.(1)求数列通项公式;(2)记,求数列的前项和.注:若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.18. 在中,已知内角,所对的边分别是,且.(1)求角;(2)若,角的平分线,求的面积.19. 某“双一流”大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分为专业一等奖学金(资金3000元)、专业二等奖学金(奖金150
6、0元)和专业三等奖学金(奖金600元),且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图1是该校2022年500名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图,图2是这500名学生在2022年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图. (1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数.(2)若将每周课外平均学习时间超过35h的学生称为“努力型”学生,否则称为“非努力型”学生,画出列联表,依据小概率值的独立性检验,能否认为该校学生获得专业一、二等奖学金与努力有关？(3)若以频率作为概率,从该校任选1名学生,记该学生2022年获得的专业奖学金的金额为随机变量,求随机变量的分布列和期望.附表:0.050
7、0.0100.0050.0013.84166357.87910.828观测值计算公式:.20. 如图,在三棱柱中,侧面是菱形,是棱的中点,点在线段上,且. (1)求证:平面.(2)若,平面平面,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21. 已知椭圆:()的左、右焦点分别为,离心率为,斜率为的直线过且与椭圆相交于,两点,的周长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设线段的中垂线交轴于,在以,为邻边的平行四边形中,顶点恰好在椭圆上,求直线的方程.22. 已知函数.(1)若,求实数的取值范围;(2)若有两个极值点分别为,求的最小值.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题
8、给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. B【解析】【分析】先求出集合,再根据交集的定义求解即可.【详解】由,得,即,所以,又或,所以.故选:B.2. C【解析】【分析】由题意可得,再根据复数的乘方运算可得,进而结合复数的几何意义判断即可.【详解】由题意,则,所以在复平面内对应的点为.故选:C.3. C【解析】【分析】由已知数量积求得,再利用计算后可得结论【详解】,故选:C.【点睛】本题考查平面向量的数量积运算,掌握模与数量积的关系是解题关键4. C【解析】【分析】由题知直线过点,且点在圆上,故,进而求得,再根据充分必要条件的定义即可得答案.【详解】解:由题知,直线过定点,又点在圆上,
9、若直线与圆相切,则,即有,因此“”是“直线 与圆相切”的充要条件故选:C【点睛】本题考查充分必要条件,直线与圆的位置关系,是中档题.5. D【解析】【分析】将陈正斌与郭磊绑定,由反面求出都不与陈雪梅相邻的情况,即可求出概率.【详解】由于陈正斌与郭磊一定相邻,则“绑定”为一个整体,有种,再与剩下三人排列有种,则陈正斌与郭磊一定相邻的排列有种,而陈正斌和郭磊相邻且与陈雪梅相邻有种,所以都不与陈雪梅相邻的情况有种,因为5人全排列共有种,所以都不与陈雪梅相邻的概率是.故选:D.6. A【解析】【分析】根据函数图象的平移变换可得,进而结合零点和对称轴可得,进而求得的最小值,进而求解.【详解】由题意得,令
10、,即,所以或,因为为函数的一个零点,所以或,又是的图象的一条对称轴,所以,得,即,由于,所以时,取最小值为,此时,即.故选:A.7. A【解析】【分析】作出图形,设双曲线的左焦点为点,连接、,设,则,利用双曲线的定义及勾股定理求得,进而可得出,然后利用勾股定理可求得的值,进而可求得的值,由此可求得双曲线的渐近线方程.【详解】如下图所示,设双曲线的左焦点为点,连接、,设,则,由双曲线的定义可得,由于以为直径的圆经过点,且、,则四边形为矩形,在中,有勾股定理得,即,解得,由勾股定理得,即,所以,则.因此,双曲线的渐近线方程是.故选:A.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解,考查了双曲线定义的应用
11、,考查计算能力,属于中等题.8. B【解析】【分析】设上一点关于轴对称点坐标为,则在上,得到方程有解,即函数与在上有交点,利用导数判断出函数的单调性和最值,可得实数的取值范围【详解】设上一点,且关于轴对称点坐标为,在上,有解,即有解.令,则,当时,;当时,在上单调递减;在上单调递增, 有解等价于与图象有交点, .故选:B【点睛】本题考查导数在最值中的应用,考查函数与方程思想,考查学生逻辑推理能力与计算能力,属于中档题二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. AD【解析】【分析】结合不等式
12、的基本性质,熟练应用作差比较进行运算,即可求解,得到答案.【详解】对于A选项,由,为正实数,且,可得,所以,所以,若,则,可得,这与矛盾,故成立,所以A中命题为真命题;对于B选项,取,则,但,所以B中命题为假命题;对于C选项,取,则,但,所以C中命题为假命题;对于D选项,由,则,即,可得,所以D中命题为真命题.故选AD.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用,其中解答中结合不等式的基本性质,熟练应用作差比较进行运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.10. AC【解析】【分析】根据等比数列、递增数列、等差数列等知识对选项进行分析,由此确定正确答案.【详解】依题意可知,所以,所
13、以数列是等比数列,A选项正确.,所以,且,所以数列是递减数列,B选项错误.设,则,所以数列是等差数列,C选项正确.,因为,故数列中,不成等比数列,所以D选项错误.故选:AC.11. ABD【解析】【分析】由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等;依题意可证,故四边形一定是平行四边形;当为棱中点时,平面,平面平面;当与重合,当与重合时的面积有最大值.【详解】解: 对于A:由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等,故A正确;对于B:因为平面,平面平面,平面平面,.同理可证:,故四边形一定是平行四边形,故B正确;对于C:当为棱中点时,平面,又因为平面,所以平面平面,故C不正确;对于D:当与重合,当与重合时的面积有最大值,故D正确.故选:ABD【点睛】本题考查正方体的截面的性质, 解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系,考查空间想象力.12. AC【解析】【分析】根据是奇函数,为偶函数,可得的对称中心和对称轴,再结合时,解析式,作出的图像,可判断A,C的正误;根据对称轴和对称中心,即可得的最小正周期,可判断B的正误;根据的周期性及题干条件,代数化简,即可比较的大小,即可得答案.【详解】对于A:因为是奇函数,图像关于对称,所以图像关于对称,因为为偶函数,图像关于对称,所以图像关于对称,又因为时,
