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1、第二章第二章第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2024/9/91随机变量及分布 2.1 2.1 随机变量及分布函数随机变量及分布函数 2. 2.2 2 离散型离散型随机变量随机变量 2. 2.3 3 连续型连续型随机变量随机变量 2. 2.4 4 一维一维随机变量函数的分布随机变量函数的分布 2. 2.5 5 二维二维随机变量随机变量2024/9/92随机变量及分布 例例1 1 掷一枚骰子，样本空间掷一枚骰子，样本空间 =1=1，2 2，66. .对于对于每次试验结每次试验结果，都有一个数值与之对应果，都有一个数值与之对应. . 我们可引进一个变量我们
2、可引进一个变量 X “X “出现的点出现的点数数”,”,X X的可能取值为的可能取值为1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6. . 2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数一、随机变量的概念一、随机变量的概念若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件若随机试验的结果带有明显的数量标识，则可用数量值来表示事件若试验的结果不带有明显的数量标识，也可以用数量表示事件若试验的结果不带有明显的数量标识，也可以用数量表示事件. . 例例2 2 掷一枚硬币，样本空间掷一枚硬币，样本空间 = =正，反正，反 . .引进变量引进变量X，并规定并规定正面出现时，正面出现时，X=1；反面
3、出现时，反面出现时，X=0.X表示表示“正面出现的次数正面出现的次数”类似的例子如：射击、抽检产品类似的例子如：射击、抽检产品如：如：(X=i )代表相应的基本事件（样本点），代表相应的基本事件（样本点），事件事件A“点数点数超过超过3”，可用，可用(X3)表示表示.事件可用变量事件可用变量X表示表示.X=X( )X=X( )2024/9/93随机变量及分布例例3 3电话台单位时间内收到的用户呼唤次数电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为记呼唤次数为X，则则X是一个变量，取值为是一个变量，取值为0，1，2，,(X=i)代表相应的基本事件代表相应的基本事件（样本点）（样本点）. 变量变
4、量X的取值取决于试验的结果，具有随机性；且取任一值都有的取值取决于试验的结果，具有随机性；且取任一值都有确定的概率确定的概率. .我们把具有上述性质的我们把具有上述性质的 X 称为称为随机变量随机变量. . 引进一个变量引进一个变量X，对于对于E E的每一可能结果的每一可能结果 ，都有一个确定的，都有一个确定的实数实数X( ( ) )与之对应，而试验的结果是随机的，所以变量与之对应，而试验的结果是随机的，所以变量X的取值的取值也是随机的，这就是也是随机的，这就是随机变量随机变量. . 把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，从而可用把对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，从而可用高等数学的
5、方法研究随机试验高等数学的方法研究随机试验. .例例4 4某地区某段时间内的气温某地区某段时间内的气温.记记X表示任一时刻的气温值，则表示任一时刻的气温值，则X的的取值为取值为a，b.（X=i）即为一基本事件（样本点）即为一基本事件（样本点）.2024/9/94随机变量及分布1 1. . 随机变量的定义随机变量的定义定义定义2.1设试验设试验E的样本空间为的样本空间为 ，对于任一样本点对于任一样本点 ,都有唯一确定的实数都有唯一确定的实数X( )与之对应，即与之对应，即X=X( )是定义是定义 上的一上的一个实值函数，且对于任意实数个实值函数，且对于任意实数x ,(X( ) x )是一随机是一
6、随机事件，事件，有有确定的概率，则称确定的概率，则称X=X( )为随机变量为随机变量.注注（1 1）随机变量）随机变量是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应是试验结果（即样本点）和实数之间的一个对应关系关系. .（2）随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X，Y，Z或希腊字母或希腊字母 , 等表等表示示.而表示随机变量所取的值时，采用小写字母而表示随机变量所取的值时，采用小写字母x,y,z 等等. （3 3）随机变量的取值有一定的概率（随机变量与普通函数的）随机变量的取值有一定的概率（随机变量与普通函数的本质差异）本质差异）. .由此可知由此可知, ,对随机变量的研究，不仅要搞清楚对
7、随机变量的研究，不仅要搞清楚随机变随机变量取值的范围量取值的范围，还要搞清楚还要搞清楚取相应值的概率取相应值的概率. .2024/9/95随机变量及分布例例2在在n重贝努里试验中，重贝努里试验中，X“事件事件A出现的次数出现的次数”，则则X=0，1，n.则则“在在n重贝努里试验中，事件重贝努里试验中，事件A恰好出现恰好出现k次次”，记作（，记作（X=k），），且且(4)(4)引入随机变量后，随机试验中的各种事件，可用随机变量表示引入随机变量后，随机试验中的各种事件，可用随机变量表示. .例例1单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则表示，则“呼叫呼叫不不少
8、于一次少于一次”（X1），），“没没收到呼叫收到呼叫”（X =0）.( q=1-p )2024/9/96随机变量及分布 按照随机变量的取值情况可把其分为两类：按照随机变量的取值情况可把其分为两类：离离散散型型随随机机变变量量：随随机机变变量量X的的全全部部取取值值只只有有有有限限个个或或无限可列个无限可列个.非非离离散散型型随随机机变变量量：随随机机变变量量X的的全全部部取取值值不不能能一一一一列列举举.其其中中，只只研研究究连连续续型型随随机机变变量量（随随机机变变量量X取取值值于于某某个个区区间间或或整整个个数轴的所有实数）数轴的所有实数）.离散型离散型连续型连续型2 2. . 随机变量的
9、分类随机变量的分类2024/9/97随机变量及分布引引例例掷一枚掷一枚骰骰子，随机变量子，随机变量X表示向上的点数表示向上的点数.则则：P(X-1.2)=0，P(X0)=0，P(X1)=1/6，P(X2.5)=1/3，P(X4)=2/3，P(X6)=1，P(X12.4)=1. 此例所求都是形如此例所求都是形如 事件事件( (Xx) )的概率，发现的概率，发现 P( (Xx) )是是x的函数，此即的函数，此即分布函数分布函数，记为，记为 F( (x)=)=P( (Xx).). 二、随机变量的分布函数（二、随机变量的分布函数（课本课本P45P45）2024/9/98随机变量及分布定义定义设设X为一
10、个随机变量，对任意实数为一个随机变量，对任意实数x，函数函数 F(x) = = P( (Xx) )称为随机变量称为随机变量X的分布函数的分布函数.1 1. . 分布函数的定义分布函数的定义 注注（1）分布函数是刻划随机变量分布的一个重要工具分布函数是刻划随机变量分布的一个重要工具.F(x)表示表示随机变量随机变量X的取值落入区间（的取值落入区间（-，x的概率的概率.x（2 2）F(x) 的定义域为的定义域为D(F)=(-, +-, +)，值域为值域为Z(F)=0，1.2024/9/99随机变量及分布2 2. .分布函数分布函数F(x)的性质的性质(3) F(x)是是x的不减函数，即对的不减函数
11、，即对x1 1x2 2，有有F(x1)F(x2)；因为事件因为事件( (Xx1) ) ( (Xx2), ), 故故P(Xx1)P(Xx2).(2)(4)F(x)是右连续函数，且至多有可列个间断点是右连续函数，且至多有可列个间断点.即即(1)x ，都有都有0F(x)1;或或F(a+0)=F(a).重要公式重要公式2024/9/910随机变量及分布所以所以 P(x1X x2)=P(X x2)P(X x1)=F(x2)F(x1). .(1)F(x)=P(Xx )，对于任意实数，对于任意实数x1x2，有，有因为因为 (x1x)=1- -F(x) P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)(2)对于任意实
12、数对于任意实数x,有有2024/9/911随机变量及分布 若若已已知知X的的分分布布函函数数，我我们们就就能能求求出出X落落在在任任一一区区间间的的概概率率，如：如：P(x1Xx2)=P(x1Xx2)- -P(X=x2)=F(x1)- -F(x2)- -P(X=x2)P(x1Xx2)=？P(x1X0), 0), 求常数求常数a的值的值. .a=12024/9/912随机变量及分布一、离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概率分布 对对于于离离散散型型随随机机变变量量X X，它它的的取取值值有有限限个个或或无无限限可可列列个个. .我我们们关关心心的的问问题题是是：X X的的所所有有可可能
13、能的的取取值值是是什什么么？取取每每一一个个值值的的概概率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布率是多少？将这两个问题综合起来就是概率分布. .2.2 离散型随机变量1 1. .概率分布的定义概率分布的定义 定义定义：若离散型随机变量：若离散型随机变量X 所有可能的取值为所有可能的取值为 x 1,x 2,对应的概率为对应的概率为p 1,p 2,，称称P(X=xk )=pk ,k =1,2,(1)为随机变量为随机变量X 的的概率分布概率分布或或概率函数概率函数或或分布律分布律.注注（1）为了直观，概率分布表示为：）为了直观，概率分布表示为：Xx 1x 2x n Pp1p2 pn (2)(X=x
14、1),(X=x2),(X=xn)，构成完备事件组构成完备事件组.2024/9/913随机变量及分布 2 2. .概率分布的性质概率分布的性质(1)pk0，k =1,2,； 例例1 1 掷一枚掷一枚骰子骰子，求出现的点数的概率分布，求出现的点数的概率分布及及P(X3). 解：设解：设X表示出现的点数，则表示出现的点数，则 X=1，2，3，4，5，6.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6.所以，所以，X的概率分布为：的概率分布为：P(X=k)=1/6,k =1,2,3,4,5,6.或或X123456P1/61/61/61/61/61/6 3 3
15、. .会求概率分布及相关概率会求概率分布及相关概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2P(X=xk )=pk ,k =1,2,2024/9/914随机变量及分布 例例2 2（P P3939例例1 1）袋中有袋中有5 5个黑球、个黑球、3 3个白球，每次从中取一个，个白球，每次从中取一个，不放回，直到取到黑球为止不放回，直到取到黑球为止. . 求取到白球数目求取到白球数目X X的概率分布，并求的概率分布，并求P(-1X0)，P(1X3)，P(X3).解：解：X=0，1，2，3P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=概率分布为：概率分布为：X0123P5/8
16、15/565/561/56=0=P(X=2)=5/56=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=12024/9/915随机变量及分布若离散型随机变量若离散型随机变量X的的概率分布为：概率分布为：P(X=xk )=pk ,k =1,2, 则则二、离散型随机变量二、离散型随机变量的的分布函数分布函数由由X的的概率分布为：概率分布为：P(X=xk )=pk ,k =1,2, ，求求F(x).X012P0.50.20.3例例1 1求求F(x)；P(0.5X1),P(0.5X1).F(x)=P(Xx)，x R解：解：当当x 0时，时，F(x)=P(Xx)=0当当11x 2时，时，当当x
17、2时，时，当当0x 1时，时，F(x)=P(Xx)=P(X=0)=0.5F(x)=P(Xx)F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=0.7=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1=0=0.22024/9/916随机变量及分布0120.51F(x)xF(x)的特点？的特点？一般地，一般地，X的的概率分布为：概率分布为：P(X=xk )=pk ,k =1,2, ，则则F(x)=P(Xx)=X01P0.10.9练习练习求求F(x).2024/9/917随机变量及分布例例2 2 随机变量随机变量X的概率分布为：的概率分布为：解：解：(1)由概率分布知：由概率分布知：求求:(1)常数常数
18、C（2)分布函数分布函数F(x)(3)P(-0.2X 2.5);P(X 2.3);P(X 0);P(X=- -3);0.1+0.26+C+0.3=1 得得C=0.34(2)分布函数：分布函数：00.10.361 1F(x)=P(X x)=0.7P(X 2.3)=0.1+0.26+0.34=0.7； P(X=- -3)=0P(X 0)=0.26+0.34+0.3=0.9 (3)P(-0.2X 2.5)=P(X=0)+P(X=2)=0.6;或或F(2.5)-F(-0.2).2024/9/918随机变量及分布例例3 3 在次品率为在次品率为p的一批产品中，随机抽取一个产品，用随机变的一批产品中，随机
19、抽取一个产品，用随机变量描写试验结果，并求其概率分布及分布函数量描写试验结果，并求其概率分布及分布函数. .即即X表示取到次品的个数，则表示取到次品的个数，则 X=0，1.P(X=0)=1-p, P(X=1)=p.所以，所以，X的概率分布为：的概率分布为： P(X=k)=pk(1-p)1-k k=0,1.或或X01P 1- p p解：引进随机变量解：引进随机变量X，当抽到正品时，当抽到正品时，X=0；当取到次品时，当取到次品时，X=1.2024/9/919随机变量及分布若若X的概率分布为：的概率分布为：三、三、 离散型随机变量的常见分布离散型随机变量的常见分布X 01 P 1- 1-p pP(
20、X=k )=pk (1-p)1-k , k =0,1. 1. 0-1 1. 0-1 分布分布则称则称X服从参数为服从参数为p的的0-1分布分布.注注0-1分布中分布中X的实质：的实质：设设P(A)=p，X“一次试验中一次试验中A发生的次数发生的次数”，则，则X服从服从0-1分布分布.其分布函数：其分布函数：甲投篮的投中率为甲投篮的投中率为0.40.4，一次投篮中投中的次数，一次投篮中投中的次数X X的分布？的分布？练习：练习：X01P0.60.42024/9/920随机变量及分布若若X的概率分布为：的概率分布为：P (X =xk)=1/n,k = 1,2,n.且当且当 i j时，时，x i x
21、 j ，则称则称X服从离散型服从离散型均匀分布均匀分布.例例 掷一枚掷一枚骰骰子，出现的点数子，出现的点数X服从均匀分布服从均匀分布. . 2. 2. 均匀分布均匀分布P(X=k)=1/6k=1，2，3，4，5，6.X123456P1/61/61/61/61/61/62024/9/921随机变量及分布例例1某人向某目标射击，命中率为某人向某目标射击，命中率为0.2 0.2 . .现在不断地进行射击，现在不断地进行射击，直到命中目标为止，求命中时射击次数的分布直到命中目标为止，求命中时射击次数的分布. .解：解：X表示表示“命中目标时的射击次数命中目标时的射击次数”，则，则X=1，2，(X= =
22、k)表示射击到第表示射击到第k次才命中目标，即次才命中目标，即前前k-1次次不中，第不中，第k次击中次击中. .由独立性可求出：由独立性可求出：P(X=k)=(1-0.2)k-10.2k =1,2,2024/9/922随机变量及分布若若X的概率分布为：的概率分布为：P (X =k)=(1-p)k - 1 p,k = 1,2,则称则称X 服从参数为服从参数为p的几何分布的几何分布.例例2设设某某批批电电子子管管的的合合格格品品率率为为0.750.75，现现对对该该批批电电子子管管进进行行有放回地测试，设第有放回地测试，设第X X次首次测到合格品，求次首次测到合格品，求X X的概率函数的概率函数
23、. .X 的可能取值为：的可能取值为：1,2,.事件事件(X =k )表示表示“第第k 次才测到合格品次才测到合格品”，则，则P (X =k )=0.25k - -10.75,k = 1,2,解：解：几何分布满足概率分布的二属性几何分布满足概率分布的二属性. . 3. 3. 几何分布几何分布在独立试验序列中在独立试验序列中P(A)=p,X“事件事件A首次发生时所需的试验次数首次发生时所需的试验次数”.注注2024/9/923随机变量及分布若若X表示表示“n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的次数发生的次数”，X的可能取的可能取值为值为0,1,2,n,对应的概率分布为：对应的概率分布为：
24、k=0,1,2,n. ( 0p0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为 的普哇松分布，的普哇松分布，简记为简记为X P( ).（1）定义定义随机变量随机变量X的概率分布为的概率分布为 普哇松分布常用于稠密性的问题中普哇松分布常用于稠密性的问题中. .如：炸弹爆炸时的如：炸弹爆炸时的碎弹片数；显微镜下某种微生物的数目；某段时间内到达公碎弹片数；显微镜下某种微生物的数目；某段时间内到达公共汽车站的乘客数；某电话交换台单位时间内收到的呼唤次共汽车站的乘客数；某电话交换台单位时间内收到的呼唤次数；宇宙中单位体积内星球的个数；耕地上单位面积内杂草数；宇宙中单位体积内星球的个数；耕地上单位面积内杂
25、草的数目，害虫数；织机上断头的数目；原子放射离子数等，的数目，害虫数；织机上断头的数目；原子放射离子数等，都服从或近似服从泊松分布都服从或近似服从泊松分布. 普哇松普哇松分布的优点：有关计算可查表分布的优点：有关计算可查表.( (满足二属性满足二属性) ) 5. 5. Poisson分布分布2024/9/928随机变量及分布例例6 某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数某电话交换台每分钟收到的用户呼唤次数X X服从参数服从参数 =3=3的的普哇松分布，写出普哇松分布，写出X X的概率函数，并求一分钟内呼唤的概率函数，并求一分钟内呼唤5 5次的概率次的概率. .解：解： X的概率函数为的概率函数为
26、也可以求一分钟内呼唤次数不超过也可以求一分钟内呼唤次数不超过5次的概率次的概率P(X5).2024/9/929随机变量及分布每月的销售数量为每月的销售数量为X，则则X P(10).例例7（P8521） 由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量可由某商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数量可以用参数以用参数 =10=10的普哇松分布来描述，为了以的普哇松分布来描述，为了以9595以上的把握保证以上的把握保证不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？（假定上个月没不脱销，问商店在月初至少应进该商品多少件？（假定上个月没有存货）有存货）解：解：事件事件“不脱销不脱销”即（即（X N）
27、查表知，查表知，N=15.设商店在月初至少应进该商品设商店在月初至少应进该商品N N件件. .现已知现已知P(X N） 95%2024/9/930随机变量及分布（2）二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近Poisson定理定理 理论上可证明泊松分布理论上可证明泊松分布P( )是二项分布是二项分布B(n,p)的极限的极限.设设X B(n,p)，当，当n较大，较大，p较小，较小，而而 = =n p大小适中，大小适中，则则X近似地服从参数为近似地服从参数为 = =n p 的泊松分布的泊松分布. 解解： X “该该单单位位患患有有这这种种疾疾病病的的人人数数”，则则XB(5000,0.001) . .P
28、(X2)=X可以可以近似地服从参数为近似地服从参数为 =n p=5 的泊松分布的泊松分布P(X2）例例8已知某种疾病的发病率为已知某种疾病的发病率为1/10001/1000，某单位共有，某单位共有50005000人，人，问问该单位至少有该单位至少有2 2人患有这种疾病的概率有多大？人患有这种疾病的概率有多大？所求的概率为：所求的概率为：=1-0.006738-0.03369=0.9595722024/9/931随机变量及分布 定定义义 设设N个个元元素素分分成成两两类类，第第一一类类有有N1个个元元素素，第第二二类类有有N2个个元元素素(N1+N2=N).从从N个个元元素素中中任任取取n个个，
29、X表表示示取取出出的的n个个元元素素中第一类元素的个数，则中第一类元素的个数，则X的概率分布为的概率分布为称称X服从服从超几何分布超几何分布.引例引例某班有某班有20名学生，其中有名学生，其中有5名女生名女生.今从班上任选今从班上任选4名学生去名学生去参观，求被选到的女生数参观，求被选到的女生数X的概率分布的概率分布.解：解：X=0，1，2，3，4. 6. 6. 超几何分布超几何分布事件事件(X=k)表示选取的表示选取的4人中有人中有k名女生名女生.则则X 2024/9/932随机变量及分布 可以证明，当可以证明，当N 时，超几何分布以二项分布为极限，时，超几何分布以二项分布为极限，即即X服从
30、超几何分布，而服从超几何分布，而N很大，很大，n 相对相对N较小，则较小，则X近似地近似地服从参数为服从参数为n，p=N1/N的二项分布的二项分布.2024/9/933随机变量及分布设设X表示发芽的种子数，则表示发芽的种子数，则X近似服从近似服从二项分布二项分布B(10,0.9)10粒种子是从粒种子是从一批一批种子中任取的种子中任取的(不重复）不重复），所以，所以这这是是N很大很大而而n=10相对于相对于N很小的超几何分布问题，很小的超几何分布问题，可用二项分布来近似计算可用二项分布来近似计算.一批种子的发芽率为一批种子的发芽率为 90 90% %，从中任取，从中任取 10 10 粒，求播种后
31、：粒，求播种后：(1) (1) 恰恰有有 8 8 粒粒发发芽芽的的概概率率；(2) (2) 不不少少于于 8 8 粒粒发发芽芽的的概概率率. .(1)例例9(2)解：解：2024/9/934随机变量及分布3 3. .会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）、会求分布函数会求离散型随机变量的概率分布（确定常数）、会求分布函数. .4 4. .已知离散型随机变量的概率分布或分布函数，会求随机变已知离散型随机变量的概率分布或分布函数，会求随机变 量的取值落在任一区间内的概率量的取值落在任一区间内的概率. .本节要求：本节要求：1 1. .掌握离散型随机变量的概率函数的定义及性质掌握离散型随机变量的概
32、率函数的定义及性质2 2. .掌握常见分布，重点掌握是掌握常见分布，重点掌握是0-10-1分布、二项分布、分布、二项分布、poisson分布分布. .2024/9/935随机变量及分布1.连续型随机变量取值于某一区间内的所有实数，不能一一列举；连续型随机变量取值于某一区间内的所有实数，不能一一列举；2.连续型随机变量取任一确定值的概率等于连续型随机变量取任一确定值的概率等于0.0.一、连续型随机变量的概率密度函数一、连续型随机变量的概率密度函数例：考察某一段时间内某地区的气温变化；考察某批元件例：考察某一段时间内某地区的气温变化；考察某批元件的使用寿命；考察旅客等车的时间；考察测量引起的误差的
33、使用寿命；考察旅客等车的时间；考察测量引起的误差.此类随机变量的分布如何描述？此类随机变量的分布如何描述？ 显然，连续型随机变量不能像离散型随机变量那样用概率显然，连续型随机变量不能像离散型随机变量那样用概率分布来描写其分布，原因有二：分布来描写其分布，原因有二：2.3 连续型随机变量2024/9/936随机变量及分布tyy = f (t)F(x)Ox则则称称X为为连连续续型型随随机机变变量量，称称f(x)为为X的的概概率率分分布布密密度度函函数数，简称为简称为概率密度概率密度或或密度函数密度函数，记作，记作Xf (x). 定义定义 若随机变量若随机变量X 所有可能的所有可能的 取值是某一区间
34、上的所有实数，且存在取值是某一区间上的所有实数，且存在 非负可积的函数非负可积的函数f ( x )，x （- ，+ ）使得对任意实数使得对任意实数x，X的分布函数的分布函数F( x )为为 注注（1）可以证明，）可以证明，F(x )在在x (- ，+ )内内是连续函数是连续函数.（2）若若f (x)在点在点x 处连续，则处连续，则F (x )在在x 点点可导可导，且且F (x)=f (x).1 1. .定义定义2024/9/937随机变量及分布上式说明，密度函数上式说明，密度函数f(x)在在点点x 的的函函数值反映了随机变量数值反映了随机变量X在在x点点附近取值的附近取值的概率大小与长度之比的
35、概率大小与长度之比的极限极限，即，即x点概率分布的密集程点概率分布的密集程度，不是概率。度，不是概率。（3）由（由（2）得：）得：（4 4） 的几何意义：的几何意义：tyy = f (t)F(x)Ox2024/9/938随机变量及分布2 2. . 概率密度函数的性质概率密度函数的性质(1)f (x )0x （- ，+ ）(2)因为：因为：xy = f (x)F(+ )Oy利用性质利用性质(2)可以确定密度函数中的待定参数可以确定密度函数中的待定参数. 连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的概率函数相连续型随机变量的密度函数与离散型随机变量的概率函数相对应，以后，求随机变量的概率分布时，离散
36、型就指分布律，连对应，以后，求随机变量的概率分布时，离散型就指分布律，连续型就指密度函数续型就指密度函数. .( (非负性非负性) )( (归一性归一性) )2024/9/939随机变量及分布（1）对任意实数对任意实数 a，连续型随机变量连续型随机变量X取该值的概率为取该值的概率为0，即即P (X =a )=0.这是因为这是因为，3 3. . 连续型随机变量有关概率的计算连续型随机变量有关概率的计算这是连续型这是连续型随机变量与离散型随机变量截然不同的一个随机变量与离散型随机变量截然不同的一个重要特点重要特点. .它说明，用概率分布描述连续型随机变量毫无意义它说明，用概率分布描述连续型随机变量
37、毫无意义. .上述结果还上述结果还说明，一个事件的概率等于零，该事件不一定说明，一个事件的概率等于零，该事件不一定 是不可能事件；同样地，一个事件的概率等于，该事件并是不可能事件；同样地，一个事件的概率等于，该事件并 不一定是必然事件不一定是必然事件. .=02024/9/940随机变量及分布xOaf(x)b(2)2024/9/941随机变量及分布二、连续型随机变量的分布函数二、连续型随机变量的分布函数两方面题型：两方面题型：(1)由由F(x)求求f(x)；(2)由由f(x)求求F(x).2024/9/942随机变量及分布已知连续随机变量已知连续随机变量X的分布函数为：的分布函数为：例例1 1
38、求求:(1)常数常数a，b ；（；（2）X的密度函数；的密度函数；（3）P(0X2）. 0x-1 F( (x)=)=a+b arcsinx-1 x11x 1解：解：(1)因因F(x)在在x=-1，x=1点连续，则点连续，则即：即：a +arcsin(1)=a+ b/2=1得：得：a =1/2=1/ -1x10其它其它f (x)=F (x)= （3）P(0X2或或x0(1)（2）分布函数分布函数02x- - 1), P(1.5 X1 1)= =1- -P(X 1)=1- -F(1)=1- -3/4=1/401P(1.5 X1)=P(1.5 X2.5)注注：由概率密度：由概率密度f (x)求分布函
39、数求分布函数F(x) ，利用，利用 需注意当需注意当f(x)是分段表示时，则要分段求出是分段表示时，则要分段求出F(x)的表示式，然的表示式，然后合并写出后合并写出 F(x) . .或或或或2024/9/945随机变量及分布定义定义若连续随机变量若连续随机变量X 的密度函数为的密度函数为则称则称X服从区间服从区间a，b上的均匀分布上的均匀分布.0 xaF(x) =1 b xbaoxf (x)密度函数图形密度函数图形对任意满足对任意满足a cd b的的c,d有有:该式说明，随机变量该式说明，随机变量 X 落入落入a,b中任一小区间的概率与该区间中任一小区间的概率与该区间的长度成正比，而与小区间在
40、的长度成正比，而与小区间在a,b上的具体位置无关上的具体位置无关.其分布函数为其分布函数为oabx分布函数图形分布函数图形1F(x)三、连续型随机变量三、连续型随机变量的常见的常见分布分布 1. 1. 均匀分布均匀分布记作记作XUa,b.2024/9/947随机变量及分布例例1某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7 7时起时起, ,每隔每隔1515分钟来一辆车，若分钟来一辆车，若某乘客从某乘客从7 7点到点到7 7点点3030分内到达车站是等可能的分内到达车站是等可能的 ，试求他候车不，试求他候车不超过超过5 5 分钟的概率分钟的概率.解：设乘客于解：设乘客于7点过点过X分钟分钟到站到站,则则
41、X服从服从0,30上的均匀分布上的均匀分布.X的密度函数为的密度函数为所求概率为：所求概率为： f (x)=1/30/300 x 300x302024/9/948随机变量及分布 例例2 2 某公共汽车站，甲、乙、丙三人分别独立地等某公共汽车站，甲、乙、丙三人分别独立地等1 1，2 2，3 3路汽路汽车，设每个人等车的时间（单位：分钟）均服从车，设每个人等车的时间（单位：分钟）均服从00，55上的均匀分上的均匀分布。求布。求3 3人中至少有两个人等车时间不超过人中至少有两个人等车时间不超过2 2分钟的概率分钟的概率. .解：设一个人等车的时间为随机变量解：设一个人等车的时间为随机变量X，则则XU
42、0，5.X f (x)=1/50 x 50其它其它而一个人的等车时间不超过而一个人的等车时间不超过2分钟的概率为分钟的概率为设三人中等车时间不超过设三人中等车时间不超过2分钟的人数为分钟的人数为Y，则则YB(3,0.4).2024/9/949随机变量及分布定义定义 若连续随机变量若连续随机变量X 的密度函数为的密度函数为其中其中 0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布.指数分布常可作为各种指数分布常可作为各种“寿命寿命”分布的近似，如电子元分布的近似，如电子元件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务件的寿命，动物的寿命，电话问题中的通话时间，随机服务
43、系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布系统中的服务时间等都常被假定服从指数分布.其分布函数为其分布函数为 2. 2. 指数分布指数分布记作记作XE( ).2024/9/950随机变量及分布设设某某日日光光灯灯管管的的使使用用寿寿命命X X服服从从参参数数为为 = = 1/20001/2000的的指指数数分分布布. .(1) (1) 任任取取一一根根这这种种灯灯管管，求求能能正正常常使使用用10001000小小时时以以上上的的概概率率；(2) (2) 有有一一根根这这种种灯灯管管，求求正正常常使使用用了了20002000小小时时后后，还还能能使使用用1000 1000 小时以上的概率小时以上的
44、概率. .例例1 1X的密度函数，分布函数分别为的密度函数，分布函数分别为(1)P(X1000)=1-P(X 1000)=1-F(1000)=e -1/2 0.607解：解：(2) 0.6072024/9/951随机变量及分布从本例可看出，一根灯管能正常使用从本例可看出，一根灯管能正常使用1000小时以上的概率小时以上的概率为为0.607，在使用，在使用2000小时后还能使用小时后还能使用1000小时以上的概率仍小时以上的概率仍为为0.607.这是指数分布的一个有趣的这是指数分布的一个有趣的“无记忆性无记忆性”或或无后效性无后效性.即只要即只要X服从指数分布，便有服从指数分布，便有P(Xs+t
45、 |Xs)=P(Xt )，这表明：如果已知寿命长于这表明：如果已知寿命长于s年，则再活年，则再活t年的概率与年龄年的概率与年龄s无关，故风趣地称指数分布是无关，故风趣地称指数分布是“永远年轻永远年轻”的分布的分布.2024/9/952随机变量及分布(1)(1)定义定义 若连续随机变量若连续随机变量X 的概率密度为的概率密度为其中其中 为为常数，常数， 0为常数，则称为常数，则称X服从参数为服从参数为 , 的的正态正态分布，记为分布，记为X N( , 2).20正态分布密度函数满足二属性：正态分布密度函数满足二属性：注注10其分布函数为其分布函数为(1) (x)0x R(2) 3. 3. 正态分
46、布正态分布( (Gauss分布分布) )2024/9/953随机变量及分布 2Ox (x) 1 正态分布正态分布N ( , 2)的密度函数图形如的密度函数图形如右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线右图所示，正态密度曲线呈古钟形曲线.(1) (x)图形关于直线图形关于直线x= 对称对称.(4)参数参数 决定决定曲线曲线 (x)的的位置位置，参数，参数 决决定定曲线曲线 (x)的的形状形状.固定固定 而改变而改变 值，则值，则曲曲线沿着线沿着x轴轴左右平移但形状不变左右平移但形状不变；固定；固定 而而改变改变 值，则曲线形状改变而位置不值，则曲线形状改变而位置不变变. 值越大时曲线越扁平，值越大时曲
47、线越扁平， 值越小曲线越尖窄值越小曲线越尖窄.(3)在在x= 处，处， (x)取得最大值：取得最大值：Ox (x) Ox (x)其特点如下：其特点如下：30正态分布的密度函数正态分布的密度函数的的特性特性(2) (x)在在x轴上方，且以轴上方，且以x轴为渐近线轴为渐近线.2024/9/954随机变量及分布Ox y标准正态分布密度函数标准正态分布密度函数参数参数 =0, =1的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布其密度函数为：其密度函数为：（2）标准正态分布标准正态分布记为记为XN(0,1). 0(x)的性质的性质 (1) 0(x)是偶函数，即有是偶函数，即有 0(- -x)= 0
48、(x).在在x=0处处 0 (x)取最大值取最大值 (2) 0(x)在（在（- - ，0）内单增，在）内单增，在（0，+ ）内递减）内递减. (4) 0(x)在在x=1，- -1点取得拐点，且以点取得拐点，且以x轴为水平渐近线轴为水平渐近线.2024/9/955随机变量及分布重要公式：重要公式：(3)P(|X| x)=2 0 (x)- -1(2) 0(- -x)=1- - 0(x); 0 (0)=0.5其分布函数为：其分布函数为： 0 0( (x) )的几何意义：的几何意义：曲线曲线 0(x)与与x轴之间在直线轴之间在直线t=x左边图形的面积左边图形的面积Ox 0(x) 0(x)的几何意义的几
49、何意义x y若若X N(0,1)，密度函数为，密度函数为(4)P(a X b)= 0(b)- - 0(a)设设XN(0,1)，则，则(1) 0 0(- -x)= 0(x)2024/9/956随机变量及分布 有关标准正态分布的概率计算有关标准正态分布的概率计算标准正态分布的密度函数标准正态分布的密度函数 0 0( (x) )和分布函数和分布函数 0 0( (x) )的值可的值可查表查表. .例例1设设XN(0,1),求求 0(-1)， 0(0)， 0(1.65)， 0(6.4).解：解： 0 0(- -1 1)= 0 0(1)=0.2420， 0(0)=0.3989 0(1.65)=0.1023
50、， 0(6.4)0 0(-1)= 0(0)= 0(1.65)= 0(6.4)1- 0(1)=0.84130.50.95053 1注注当当x 5时时 ， 0(x)1，当当x - 5时时, 0(x)0.2024/9/957随机变量及分布例例2已知已知X N(0,1)，求：求：(1)P(X - -1.68)；(2)P(X 1.74)；(3)P(|X| 1.96)；(4)P(|X | 1.84).解：解：(1)P(X - -1.68)= 0 (- -1.68)=1- - 0 0(1.68)=1- -0.95352=0.04648;(2)P(X 1.74)=1- -P(X 1.74)=1- - 0(1.
51、74)=1- -0.9591=0.0409;(3)P(|X| 1.96)=P(- -1.96 X 1.96)= 0(1.96)- - 0(- -1.96)=2 0(1.96)- -1=20.975- -1=0.95;(4)P(|X | 1.84)=1-P(|X|1.84)=1-2 0(1.84)-1=0.0658.2024/9/958随机变量及分布(3) (3) 一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系 定理定理1 1 若若XN( , 2)，YN(0,1)，它们的密度函数它们的密度函数分别记为分别记为 (x)和和 0(x)，分布函数分别记为分布函数分别记为 (x)和和
52、0 (x)，则则证证2024/9/959随机变量及分布设随机变量设随机变量XN ( , 2)，则则P(aX b)= (b)- (a)= 例例3设设X N (1,4)，求：求：P(0X1.6)，P (|X| 2).解：解：P(0X1.6)= (1.6)- (0)= P(|X| 2)=P(-2 X 2)= (2)- (-2)= 0 (0.3)- 0 (-0.5)= 0 (0.3)-1- 0(0.5)=0.3094= 0 (0.5)- - 0(- -1.5)= 0(0.5)- -1- - 0 (1.5)=0.62472024/9/960随机变量及分布定理定理2 2设随机变量设随机变量XN ( , 2
53、)，令，令Y=则则YN(0，1).例例4若若XN( , 2)，有，有P (|X- | )= ( + ）- - ( - ）=2 0(1)- -1=0.6826或或=0.9545=0.9973这就是实际工作者所谓的这就是实际工作者所谓的“3”原则原则.2024/9/961随机变量及分布1 1. .凡是呈现中间大，两头小特征的随机变量都服从正态分布，其凡是呈现中间大，两头小特征的随机变量都服从正态分布，其应用相当广泛应用相当广泛. .如：某班学生考试的成绩；测量的误差；炮弹的弹如：某班学生考试的成绩；测量的误差；炮弹的弹落点的分布；同龄人的身高、体重；产品的数量指标（直径、长落点的分布；同龄人的身高
54、、体重；产品的数量指标（直径、长度、重量、体积等）；飞机材料的疲劳应力等，都服从或近似服度、重量、体积等）；飞机材料的疲劳应力等，都服从或近似服从正态分布。可以说，正态分布是自然界和社会现象中最为常见从正态分布。可以说，正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布。进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微的一种分布。进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般服从正态分布小、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般服从正态分布. .2. .正态分布有非常重要的理论价值：一方面，有些分布（如二项分正态分布有非常重要的理论价值：一方面，有些分布（如二项
55、分布、泊松分布）的极限分布是正态分布；另一方面，有些分布（如布、泊松分布）的极限分布是正态分布；另一方面，有些分布（如 2 2分布、分布、t分布）又可通过正态分布导出分布）又可通过正态分布导出. .（4 4）正态分布的应用）正态分布的应用2024/9/962随机变量及分布本节要求：本节要求：1 1. .已知密度函数，会求分布函数已知密度函数，会求分布函数. . 3 3. .利用分布函数或密度函数，求事件的概率利用分布函数或密度函数，求事件的概率. . 2 2. .已知分布函数，会求密度函数已知分布函数，会求密度函数. . 4 4. .熟练掌握三种常见分布，尤其是正态分布熟练掌握三种常见分布，尤
56、其是正态分布. . 5 5. .能够把离散、连续型随机变量常见分布综合应用能够把离散、连续型随机变量常见分布综合应用. .如：如：P86习题习题24，28.2024/9/963随机变量及分布定义定义设设X是随机变量是随机变量,y=g(x)是连续是连续函数函数.Y = g(X)也是随机也是随机变量变量,称称Y = g(X)为为随机变量随机变量X的的函数函数. 有些有些随机变量的分布往往难以直接得到随机变量的分布往往难以直接得到，但与它们有关的另，但与它们有关的另一些一些随机变量的分布却容易得到随机变量的分布却容易得到. .这就要研究随机变量之间的关这就要研究随机变量之间的关系，通过它们之间的关系
57、，由已知随机变量的分布求出另一个随系，通过它们之间的关系，由已知随机变量的分布求出另一个随机变量的分布机变量的分布. . 如何根据如何根据X的分布求出的分布求出 Y=g(X)的分布？的分布？2.4 一维随机变量函数的分布什么是随机变量的函数？什么是随机变量的函数？2024/9/964随机变量及分布一、一、离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 设随机变量设随机变量X的概率函数为的概率函数为P(X=x k)=p k(k=1,2,),1.若对于若对于X的所有可能取值的所有可能取值x k，Y的取值的取值y k=g(x k)(k=1,2,)全全不相同，则不相同，则Y=g(X)的概率函数为的概
58、率函数为P(Y=y k)=P(X=x k)=p k (k=1,2,)例例1 测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量测量一个正方形的边长，其结果是一个随机变量 X X 的分布为的分布为XP 7 8 9 10 0.1 0.3 0.4 0.2表表1 求：周长求：周长Y Y和面积和面积Z Z 的分布的分布. .解：解： 显然，显然， Y=4X，Z=X2(Y=28)=(X=7) P(Y=28)=P(X=7)=0.1 依此计算可得依此计算可得Y的概率函数如表的概率函数如表 2 所示所示YP28 32 36 40 0.1 0.3 0.4 0.2表表2同理同理Z 的概率函数，如表的概率函数，如表 3 所示
59、所示.ZP49 64 81 100 0.1 0.3 0.4 0.2表表3Y=g(X)求求Y的概率分布的概率分布. .2024/9/965随机变量及分布 例例2 2 已知已知 X X 的概率函数如表的概率函数如表 4 4 所示所示XP-1 0 1 20.1 0.3 0.4 0.2表表4 求：求： X X 2 2 的概率函数的概率函数. .解：解： 令令 Y = X2，则则 Y所有可能的取值为所有可能的取值为 0, 1, 4. 事件事件(Y=0)与事件与事件(X=0)相等，事件相等，事件(Y=4)与事件与事件(X=2)相等相等所以所以P(Y=0)=P(X=0)=0.3，P(Y=4)=P(X=2)=
60、0.2而而(Y=1)=(X=- -1)+(X=1)，( (X =-1)=-1)与与( (X =1)=1)互不相容，互不相容，所以所以P(Y=1)=P(X=- -1)+P(X=1)=0.5Y的概率函数如表的概率函数如表5所示所示Y 0 1 4 0.3 0.5 0.2P表表5 2.若若X 的所有可能取值的所有可能取值 x k中至少有两个值中至少有两个值x i x j ，其对应其对应Y的取值的取值y i =g(x i )=y j =g(x j )，此时应将这些相等的函数值此时应将这些相等的函数值作为作为Y的一个取值，的一个取值，Y取该值的概率是取该值的概率是X取相应值的概率之和取相应值的概率之和.2
61、024/9/966随机变量及分布 第一步第一步，求出，求出Y的分布函数的分布函数FY(y).或或建立建立Y的分布函数的分布函数FY (y)与与X的分布函数的分布函数FX(x)之间的关系之间的关系. 若连续型随机变量若连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为fX(x), ,y=g(x)及一阶导及一阶导 数都连续数都连续. .Y=g(X)是连续型随机变量是连续型随机变量, ,求求 Y的密度函数的密度函数fY (y).第二步第二步，对，对FY (y)关于关于y求导数得求导数得fY (y).二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布2024/9/967随机变量及分布例例1已知已知X服从服
62、从0，4上的均匀分布，求上的均匀分布，求Y=3X+1的密度函数的密度函数.Y=3X+1服从服从1,13上的均匀分布上的均匀分布.当当解法解法1 12024/9/968随机变量及分布解法解法2 2上式两边对上式两边对y求导：求导：又又所以所以 若若XU a，b b ，则其线性函数在相应区间仍服从均匀分布，则其线性函数在相应区间仍服从均匀分布. .2024/9/969随机变量及分布证证例例2 2 若若XN( , 2 ), Y=(X- )/ ,证明：证明：YN(0,1).若若XN( , 2), 则则Y=aX+bNa +b ,a2 2.故故YN( 0 ,1).我们称我们称是是X的的标准化随机变量标准化
63、随机变量.如如: :XN(1，4)，Y=2X+1，则，则YN(3，16).一般地，有一般地，有P64例例2若若XN(0,1), 则则X22(1).P65例例32024/9/970随机变量及分布解解：求求：随机变量：随机变量Y的密度函数的密度函数f Y (y).当当y 0时，时，FY(y)=P(Y y)=0；当当 时，时，当当 时，时，当当y 0时时,例例3 3 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为0 0P65例例42024/9/971随机变量及分布例：射击弹着点的位置例：射击弹着点的位置, ,须由平面直角坐标系的两个坐标确定须由平面直角坐标系的两个坐标确定. .定义定义(P67)设设
64、E为随机试验，样本空间为为随机试验，样本空间为 ，X和和Y是定义在是定义在 上的上的两个随机变量，称向量两个随机变量，称向量(X，Y)为二维为二维随机变量随机变量.由于这些随机变量共处于同一随机试验中，它们是相互由于这些随机变量共处于同一随机试验中，它们是相互联系的，因此单独研究某一个是不够的，必须考虑各个变量联系的，因此单独研究某一个是不够的，必须考虑各个变量的相互关系，把其作为一个整体（即随机变量）来讨论的相互关系，把其作为一个整体（即随机变量）来讨论.同时掷两枚骰子出现的点数同时掷两枚骰子出现的点数,须由两个随机变量来描述须由两个随机变量来描述. . 一、二维随机变量及及其分布函数一、二
65、维随机变量及及其分布函数2.2.5 5 二维随机变量二维随机变量1. 1. 二维随机变量的定义二维随机变量的定义2024/9/972随机变量及分布2.2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数（1 1） 二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数定义定义2.5设设(X，Y)为二维为二维随机变量，对于任意的随机变量，对于任意的x，y，二元函数二元函数F(x ,y)=P(X x,Y y )称为称为(X，Y)的分布函数的分布函数.或或称为称为X与与Y的联合分布函数的联合分布函数.联合分布函数的联合分布函数的几何意义几何意义：联合分布函数在点联合分布函数在点(x , y)处的函数值处的
66、函数值F(x , y)就表示随机点落在以就表示随机点落在以(x ,y)为顶点的左下方区域为顶点的左下方区域(- - u x , - - v y)内的概率内的概率.(x , y) xyo联合分布函数的联合分布函数的性质性质：10 0 F(x , y) 12024/9/973随机变量及分布(x , y) xyooxx1 x2 yy1 y2 30对对x和和y，F(x , y)都是右连续函数都是右连续函数.40当当x1x2 ，y1y2时，有时，有 P(x1X x2, y1x1时，时，F(x2 , y) F(x1 , y). .对任意固定的对任意固定的x，当当y2 y1时，时，F(x , y2) F(x
67、 , y1). .2024/9/974随机变量及分布定义：二维随机变量定义：二维随机变量(X,Y )中，随机变量中，随机变量X（或或Y）自身的自身的分布称为分布称为(X,Y )关于关于X（或或Y）的边缘分布的边缘分布.设设(X, Y )的联合分布函数为的联合分布函数为F(x , y)，则有则有（2）边缘分布函数边缘分布函数边缘分布函数边缘分布函数：X的分布函数的分布函数FX (x)和和Y的分布函数的分布函数FY (y).边缘分布函数边缘分布函数可由可由联合分布函数确定联合分布函数确定.边缘分布实际上就是一维随机变量的分布，它具有一维边缘分布实际上就是一维随机变量的分布，它具有一维分布的性质分布
68、的性质.只不过边缘分布在二维空间考虑只不过边缘分布在二维空间考虑.2024/9/975随机变量及分布 定义定义 如果二维随机变量如果二维随机变量(X, Y )所有可能取所有可能取“值值”是有是有限个或可列个，则称限个或可列个，则称(X, Y )为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.二、二、 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 1 1 . .二维离散型随机变量的联合分布二维离散型随机变量的联合分布 Y y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p22p 2jp i1p i2p i jX (1)(1)定义定义 设设二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X, Y )所
69、有可能取值为所有可能取值为(x i, y j)(i,j=1,2,)则则P (X=xi，Y =y j)=p i j(i,j=1,2,)称为二维离散型随机变量称为二维离散型随机变量(X, Y )的的概率函数概率函数或或X与与Y联合分布联合分布. 例例 同时掷两枚骰子同时掷两枚骰子, ,向上的点数记为向上的点数记为X X , ,Y Y . .则则 二维随机变量二维随机变量( (X X , , Y Y ) )为离散型为离散型. .(X, Y )的的联合分布表：联合分布表：(1)pi j 0,i , j=1,2,（2 2）联合概率分布的性质）联合概率分布的性质2024/9/976随机变量及分布(X, Y
70、)的可能取值为的可能取值为:(0，0)，(0,1),(1,0),(1,1). 例例1 1 ( (P69P69例例1 1) )5 5个个产产品品中中有有2 2个个正正品品. .每每次次从从中中取取一一个个, ,不不放放回回连连续续取取2 2次次, ,以以X X , , Y Y分分别别记记为为第第一一次次，第第二二次次取取到到正正品品的的个个数数，求求( ( X X , , Y )Y )的联合分布的联合分布. .解：解：P(X=0,Y=0)=P(X=1,Y=0)=P(X=0,Y=1)=P(X=1,Y=1)=(X, Y)的联合概率分布：的联合概率分布：（3）(X, Y )的的联合分布函数联合分布函数
71、0101Y X 0.30.30.30.12024/9/977随机变量及分布设二维随机变量设二维随机变量(X, Y )的联合分布律为的联合分布律为 P (X=xi，Y=yj)=p i j(i,j=1,2,) y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp21p 22p 2jp i1p i2p i jY X 1 p i(1) 行和行和 p1(1) p2(1) pi(1) pj (2) 列和列和 p1(2) p 2(2) pj(2)则则2 2 . .二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布称为二维随机变量称为二维随机变量(X, Y )关于关于X, Y 的边缘分布的边缘
72、分布.2024/9/978随机变量及分布注意注意：联合分布唯一确定边缘分布，反之不然联合分布唯一确定边缘分布，反之不然. .得到二维随机变量得到二维随机变量(X, Y )关于关于X, Y的边缘分布：的边缘分布：Pi(1)x1Xp2(1)p1(1)pi(1)xi.x2.y1Yp2(2)p1(2)pj(2)yj.y2Pj(2).例例2(续例续例1)（X, Y）的联合概率分布的联合概率分布求：求：X, Y的边缘分布的边缘分布.解：解：X, Y 的边缘分布的边缘分布:XY0 01 10 10 10.3 0.30.3 0.30.3 0.10.3 0.10.60.4pi(1)pj(2)0.60.4X01P
73、0.60.4Y01P0.60.42024/9/979随机变量及分布3 3 . . 二维离散型随机变量的条件分布二维离散型随机变量的条件分布二维随机变量二维随机变量(X, Y )中，当随机变量中，当随机变量X取定值取定值xi时，时，随随机变量机变量Y的分布称为在的分布称为在(X=xi）条件下条件下Y的条件分布的条件分布.当当随随机机变变量量Y取取定定值值yj时时,随随机机变变量量X的的分分布布称称为为在在(Y=yj )条条件件下下X的条件分布的条件分布. 对于离散型随机变量，由联合分布可求边缘分布，从而能对于离散型随机变量，由联合分布可求边缘分布，从而能求条件分布求条件分布. .只要会计算条件概
74、率，就会求条件分布只要会计算条件概率，就会求条件分布. .2024/9/980随机变量及分布设设(X, Y )的联合分布律为：的联合分布律为：P(X=xi , Y =yj )=p i j(i,j=1,2,)边缘分布：边缘分布： 定义定义设设 (X,Y)是二维离散型随机向量，对于固定的是二维离散型随机向量，对于固定的j ,若若P (Y= y j )0，则则称为在称为在Y=y j 条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布条件分布（或或条件概率函数条件概率函数）.同样，对于固定的同样，对于固定的i，若若P (X = x i )0，则则称为在称为在X=x i 条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分
75、布条件分布（或（或条件概率函数条件概率函数）.2024/9/981随机变量及分布在在X=2的条件下的条件下,Y的条件分布为的条件分布为=1/3例例3（X, Y）的联合概率分布的联合概率分布11YX01/121/61/61/61/61/1201/62332P(X=2)=1/2在在Y=1时时, X的条件分布的条件分布解：解：1 P(Y|X=2)Y 1/31/31/332=1/3=1/3求：在求：在X=2时时, Y 的条件分布的条件分布在在Y=1的的条条件件下下, X的的条条件件分分布布为为1 P(X|Y=1)X 2/31/3032Pi(1)1/41/41/21/2 1/4 1/4Pj(2) 1/4
76、 1/2 1/41/4 1/2 1/42024/9/982随机变量及分布练习题练习题两封信随机地向两封信随机地向4个邮筒内投递个邮筒内投递,X1,X2分别表示第一个邮分别表示第一个邮筒与第二个邮筒内信的数目筒与第二个邮筒内信的数目.求求:(1)(X1,X2)的联合分布；的联合分布；(2)边边缘分布；缘分布；(3)在第一个邮筒有一封信的条件下，第二个邮筒内在第一个邮筒有一封信的条件下，第二个邮筒内信的数目的分布信的数目的分布.X1X20 01 12 2 0 1 20 1 21/41/41/161/41/801/16002024/9/983随机变量及分布设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)的分布
77、函数为的分布函数为F(x , y)，如果，如果存在存在非负可积函数非负可积函数 f (x , y)，使得使得 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量，称为二维连续型随机变量，称f (x, y)为为(X,Y) 的的联合概率联合概率密度函数密度函数，简称，简称联合密度联合密度. .1 1. .联合密度函数联合密度函数（2 2）密度函数）密度函数f (x, y)的的基本性质基本性质10f (x, y) 0x , y R；20已知联合密度，利用定义式可求联合分布函数已知联合密度，利用定义式可求联合分布函数F(x,y)；反之，已反之，已知联合分布函数知联合分布
78、函数F(x,y),利用利用 求联合密度求联合密度. .(1)(1)定义定义2024/9/984随机变量及分布已知联合密度已知联合密度f (x, y)，可计算事件，可计算事件(X,Y) G的的概率概率： OxyabG 1 1(x) 2 2(x)当当G为矩形区域时，为矩形区域时，OxyabGcd其几何意义：以其几何意义：以z=f(x,y)为曲顶，以为曲顶，以G为底为底的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积. .2024/9/985随机变量及分布例例1 1 设二维随机向量设二维随机向量( (X,Y) )具有概率密度：具有概率密度：求常数求常数c .解解 由密度的性质由密度的性质: :=cSG所以所以,c
79、=1/SG.密度函数为密度函数为: :称称(X,Y)在区域在区域G内服从内服从均匀分布均匀分布. .当当G为圆域为圆域(x, y)|)|x2+y2R2 时，时，当当G为矩形区域：为矩形区域：axb, cyd, f (x,y)=?均匀分布均匀分布2024/9/986随机变量及分布例例2(P75例例2)设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)具有概率密度具有概率密度求：求：(1)常数常数c;(2)联合分布函数联合分布函数F(x , y);(3)(X,Y)落入右上图所示三角形区域落入右上图所示三角形区域G内的概率内的概率.解解(1)OxyG11x+y=1c =1当当0x + , 0y + 时时,当当x
80、0 或或y0时，时，当当x0时，时，f(x,y)=0，所以，所以fX(x)=0；= e - -x（X，Y）关于）关于X的边缘密度为：的边缘密度为：同理同理, ,（X，Y）关于）关于Y的边缘密度为：的边缘密度为：2024/9/989随机变量及分布例例2(P76例例3)已知随机向量已知随机向量(X, Y)服从圆域服从圆域G上的均匀分布，上的均匀分布，其密度函数为其密度函数为求求:边缘密度函数边缘密度函数f X (x)和和f Y (y).解：解：关于关于 X 的边缘密度函数为的边缘密度函数为同理，同理，当当x R时，时，当当x R时，时，所以，所以，2024/9/990随机变量及分布例例3(二维正态
81、分布二维正态分布)若二维连续型随机向量若二维连续型随机向量(X,Y)的联合密度为的联合密度为其中其中 1, 2, 10, 20,| |1均为常数均为常数,则称则称(X , Y)服从参数为服从参数为 1, 2, 1, 2, 的二维正态分布的二维正态分布.记作记作(X , Y)N ( 1, 2, 12, 22, ).可求出边缘密度函数为：可求出边缘密度函数为：二维正态分布的边缘分布是一维正态分布二维正态分布的边缘分布是一维正态分布.X N ( 1, 12) YN ( 2, 22)2024/9/991随机变量及分布称为在称为在Y=y 条件下条件下X的条件分布（或条件密度函数）的条件分布（或条件密度函
82、数）.3 3. .条件密度函数条件密度函数称为在称为在X=x 条件下条件下Y的条件分布（或条件密度函数）的条件分布（或条件密度函数）.设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)联合密度为联合密度为f (x , y)，边缘密度函数为边缘密度函数为fX (x),fY(y).2024/9/992随机变量及分布解：解：例例4(P77例例5)设设求：条件密度函数求：条件密度函数 .对于满足对于满足 y 0，则：则： 0 其其它它 0 其其它它对于满足对于满足 x 0，则：则：2024/9/993随机变量及分布四、四、 随机变量随机变量的独立性的独立性离散型离散型P(X=xi,Y=y j)=P (
83、X=xi )P(Y=y j)(i,j=1,2,)1.1.定义：定义： 设二维随机变量设二维随机变量( (X，Y) )的联合分布函数为的联合分布函数为F(x, y)，边缘分，边缘分布函数为布函数为FX(x),FY(y)，若对于任意的实数若对于任意的实数x, ,y，都有，都有 F(x,y)=F(x)F(y),则称则称X与与Y相互独立相互独立. .2.2.判定随机变量判定随机变量X与与Y独立的充要条件独立的充要条件f (x , y)=fX (x)fY(y)，任意的实数，任意的实数x , y.X与与Y独立独立连续型连续型X与与Y独立独立（P78P78定理定理2.12.1）（P78P78定理定理2.22
84、.2）2024/9/994随机变量及分布例例1两封信随机地投向两封信随机地投向4个邮筒，个邮筒，X1，X2分别表示第一个、分别表示第一个、第二个邮筒内信的数目，判定第二个邮筒内信的数目，判定X1与与X2是否相互独立？是否相互独立？解：先求联合分布，再求边缘分布解：先求联合分布，再求边缘分布. . X1=0，1，2；X2=0，1，2.X1X20 1 20 1 20 0 1 1 2 21/4 1/4 1/161/4 1/4 1/16 1/4 1/8 01/4 1/8 0 1/16 0 01/16 0 0可以得到边缘分布：可以得到边缘分布：pi(1)(1)9/163/81/16pj(2)9/163/
85、81/16Xi012P9/163/81/16i=1,2.=1,2.因为：因为：P(X1=0,X2=0)=1/4P(X1=0)P(X2=0)=(9/16)2所以，随机变量所以，随机变量X1与与X2不独立不独立.2024/9/995随机变量及分布例例2必要性必要性因为随机变量因为随机变量X与与Y独立，所以对任意实数独立，所以对任意实数x , y 都有都有设设(X , Y)N ( 1, 2, 12, 22, )，证明：，证明：X与与Y独立独立证：证：(X,Y)N( 1, 2, 12, 22,0) =0=0充分性充分性 =0=0所以，所以，X与与Y相互独立相互独立.2024/9/996随机变量及分布例
86、例3设二维随机向量设二维随机向量(X,Y)具有概率密度：具有概率密度：f (x, y)=e- - (x + y),0x + , 0y + 0,其它其它fX (x)=e- - x ,0x + 0,其它其它fY(y)=e- -y ,0y + 0,其它其它f (x , y)=fX (x)fY(y)，则则X,Y独立独立.判定判定X1与与X2是否相互独立？是否相互独立？解：解：结论：结论：若若X与与Y相互独立，相互独立，g1,g2是连续函数，则是连续函数，则g1(X)与与g2(Y)也相互独立也相互独立.若若X与与Y独立，则独立，则X2与与Y2也独立；也独立；2X+1与与3Y-1独立独立.当当X与与Y 独
87、立时，边缘分布可唯一确定联合分布独立时，边缘分布可唯一确定联合分布.2024/9/997随机变量及分布五、二维随机变量函数的分布五、二维随机变量函数的分布若存在二元函数若存在二元函数z = g(x, y)，使得对二维随机变量使得对二维随机变量(X,Y)的每一取值的每一取值(x, y)，随机变量随机变量Z的相应取值为的相应取值为z=g(x, y)，则称随机变量则称随机变量Z是随机变量是随机变量(X,Y)的函数，记作的函数，记作Z=g(X,Y).由由(X,Y) 的分布求出的分布求出Z=g(X,Y)的分布呢？的分布呢？1 1. . 二维离散型随机变量函数的分布二维离散型随机变量函数的分布由由(X,Y
88、)的分布的分布Z=g(X,Y)的分布的分布2024/9/998随机变量及分布 例例1 已知已知 (X,Y) 的联合分布如表的联合分布如表 求求Z=X+ Y的概率函数的概率函数.因为因为Z=X+ Y，所以所以Z 的可能取值是的可能取值是1,2,3,4,5.解：解：于是，于是， Z 的概率函数为：的概率函数为：1 2 3 4 50.1 0.25 0.27 0.38 0ZPP(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.110Y X00.020.180.20.050.20.150.10.11232P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0,Y
89、=3)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.18=0.38P(Z=5)=P(X=2,Y=3)=0=0.15+0.1+0.02=0.272024/9/999随机变量及分布例例2(P79例例2)设设X1，X2独立同分布，都服从参数为独立同分布，都服从参数为p的的0-1分布：分布：Xi 01P1-pp求求Y=X1+X2的分布的分布.解解: :Y=0,1,2.P(Y=0)=P(X1=0,X2=0)=P(X1=0)P(X2=0)=(1-p)2=P(Y=1)=P(X1=0,X2=1)+P(X1=1,X2=0)=2(1-p)p=P(
90、Y=2)=P(X1=1,X2=1)=P(X1=1)P(X2=1)=p2=P(Y=k)=即即YB(2,p)一般地一般地,若若X1,X2,Xn独立同分布独立同分布,都服从参数是都服从参数是p的的0-1分布分布:X Xi 01P1-pp则则2024/9/9100随机变量及分布例例3设设XP( 1) 与与YP( 2),且且X与与Y独立独立,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数. 由于泊松分布的随机变量由于泊松分布的随机变量X 与与Y 取所有非负整数，取所有非负整数，故其和故其和Z=X+Y也只取所有非负整数也只取所有非负整数.对任一非负整数对任一非负整数k，有：，有：解：解：即即Z=X+YP ( 1+ 2
91、). 两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的两个相互独立的服从泊松分布的随机变量的和和仍服从泊松分布，仍服从泊松分布，其参数为这两个分布的参数之和其参数为这两个分布的参数之和. .通常称作通常称作泊松分布具有再生性泊松分布具有再生性. .2024/9/9101随机变量及分布例例4设随机变量设随机变量X 与与Y相互独立，相互独立，XB(n, p)，YB(m, p).求求Z=X + Y的分布的分布.因为因为XB(n , p)，YB(m , p)，所以有所以有解：解：所以，所以，Z =X +Y B (n +m , p).2024/9/9102随机变量及分布2 2. . 二维连续型随机变量函数的分布二
92、维连续型随机变量函数的分布设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为f (x, y)，Z=g(X,Y),求求Z的密度函数的密度函数fZ(z).方法方法对于二维连续型随机变量对于二维连续型随机变量（X，Y），通常求），通常求Z=X+Y的分布的分布. .第一步第一步求出求出Z的分布函数的分布函数.第二步第二步求导数，得求导数，得Z的密度函数的密度函数.2024/9/9103随机变量及分布设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X, Y)的联合密度函数为的联合密度函数为f (x, y),Z= X+Y,求求Z的密度函数的密度函数.解解：则：则：特别地，当随机变
93、量特别地，当随机变量X与与Y相互独立时，有相互独立时，有 或或例例:设设X 与与 Y 独立独立,都服从都服从N(0,1)分布分布,求求Z= X+Y的密度函数的密度函数.解解：即：即：Z=X+YN(0,2).(P81)一般地，若一般地，若XN( 1, 12)，YN( 2, 22)，且且X与与Y相相互独立，则互独立，则aX+bY +c N(a 1+b 2+c,a2 12+b2 22).2024/9/9104随机变量及分布 本节要求本节要求1.熟练掌握二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分熟练掌握二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布的定义及求法布的定义及求法.2.掌握连续型随机变
94、量的联合密度函数的定义、二属性掌握连续型随机变量的联合密度函数的定义、二属性.3.由联合密度会求边缘密度函数，及由联合密度会求边缘密度函数，及P(X，Y)G.4.掌握判定掌握判定X与与Y独立的充要条件，会判断独立的充要条件，会判断X，Y是否独立是否独立.5.掌握离散型随机变量函数的分布，记住一些重要结论掌握离散型随机变量函数的分布，记住一些重要结论.6.了解连续型随机变量和的分布了解连续型随机变量和的分布卷积公式卷积公式.2024/9/9105随机变量及分布 第二章第二章 总总 结结1.1.理解一维、二维随机变量的概念理解一维、二维随机变量的概念. .2.2.熟练掌握一维离散型随机变量概率分布
95、、分布函数的定义，性熟练掌握一维离散型随机变量概率分布、分布函数的定义，性 质，及求法质，及求法. .3.3.熟练掌握一维连续型随机变量密度函数的定义、性质；由分布函熟练掌握一维连续型随机变量密度函数的定义、性质；由分布函 数会求密度函数；由密度函数会求分布函数数会求密度函数；由密度函数会求分布函数. .4.4.熟练掌握常见分布（熟练掌握常见分布（9 9个）个）. .5.5.熟练掌握二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分熟练掌握二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分 布；会判断独立性布；会判断独立性. .6.6.由联合密度会求边缘密度，会判断独立性由联合密度会求边缘密度，会判断独立性. .7.7.熟练掌握一维离散型、二维离散型随机变量函数的分布；熟练掌握一维离散型、二维离散型随机变量函数的分布； 掌握一维连续型随机变量函数的分布掌握一维连续型随机变量函数的分布. .2024/9/9106随机变量及分布2024/9/9107随机变量及分布
