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1、 May 2012四川大学数学学院 徐小湛空间曲线积分的空间曲线积分的向量点积法向量点积法1 May 2012四川大学数学学院 徐小湛空间曲线积分的空间曲线积分的“向量点积法向量点积法”是斯是斯托克斯公式的一种改进的方法。托克斯公式的一种改进的方法。在计算空间曲线积分时，通常是先利在计算空间曲线积分时，通常是先利用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面用斯托克斯公式把曲线积分化为曲面积分，再将曲面积分化为二重积分。积分，再将曲面积分化为二重积分。而而“向量点积法向量点积法”则是直接将曲线积则是直接将曲线积分化为二重积分，减少了中间环节。分化为二重积分，减少了中间环节。2 May 2012四川大学数学学
2、院 徐小湛当当且且 L 是是的正向边界曲线的正向边界曲线，则有以下公式：则有以下公式： 取上（下）侧时，取正（负）号取上（下）侧时，取正（负）号空间曲线积分的向量点积法空间曲线积分的向量点积法3 May 2012四川大学数学学院 徐小湛证明证明由斯托克斯公式由斯托克斯公式其中单位法向量其中单位法向量 （教材（教材98页）页）再利用对面积的曲面积分的再利用对面积的曲面积分的计算公式（教材计算公式（教材217页）页）4 May 2012四川大学数学学院 徐小湛 取上（下）侧时，取正（负）号取上（下）侧时，取正（负）号以上公式可以写成行列式的形式：以上公式可以写成行列式的形式：5 May 2012四川大学数学学院 徐小湛例例1 计算积分计算积分其中其中 为平面为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整被三坐标面所截三角形的整解解: 记三角形域为记三角形域为 , 取上侧取上侧个边界个边界, 方向如图所示方向如图所示. 由前面的公式由前面的公式6 May 2012四川大学数学学院 徐小湛解解7 May 2012四川大学数学学院 徐小湛由前面的公式由前面的公式8
