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1、1工程数学习题常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数满足狄满足狄 氏条件氏条件在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 一、主要内容一、主要内容2工程数学习题1 1、常数项级数、常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散3工程数学习题性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛敛散性不变
2、散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. .级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质4工程数学习题常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨
3、定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛5工程数学习题定义定义2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法6工程数学习题(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式7工程数学习题8工程数学习题9工程数学习题定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. .3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法10工程数学习题定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法11工程数
4、学习题5 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域12工程数学习题(3) (3) 和函数和函数13工程数学习题(1) (1) 定义定义6 6、幂级数、幂级数14工程数学习题(2) (2) 收敛性收敛性15工程数学习题推论推论16工程数学习题定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.17工程数学习题a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法(其中其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算18工程数学习题乘法乘法(其中其中除法除法19工程数学
5、习题b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :20工程数学习题7 7、幂级数展开式、幂级数展开式(1) 定义定义21工程数学习题(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性22工程数学习题(3) 展开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项逐项积分积分等方法等方法,求展开式求展开式.23工程数学习题(4) 常见函数展开式常见函数展开式24工程数学习题25工程数学习题(1) (1)
6、三角函数系三角函数系三角函数系三角函数系8 8、傅里叶级数、傅里叶级数26工程数学习题(2) (2) 傅里叶级数傅里叶级数定义定义三角级数三角级数27工程数学习题其中其中称为傅里叶级数称为傅里叶级数.28工程数学习题(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )29工程数学习题(4) (4) 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数30工程数学习题31工程数学习题奇延拓奇延拓:(5) (5) 周期的延拓周期的延拓32工程数学习题偶延拓偶延拓:33工程数学习题34工程数学习题二、典型例题二、典型例题例例1 1解解35工程数学习
7、题根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散36工程数学习题解解根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛37工程数学习题解解从而有从而有38工程数学习题原级数收敛；原级数收敛；原级数发散；原级数发散；原级数也发散原级数也发散39工程数学习题例例解解即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛40工程数学习题由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：41工程数学习题所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛42工程数学习题课堂练习课堂练习:1判别下列级数的敛散性:提示提示: (1) 当故利用比较判别法,可知原级数发散而调和级数是发散的 ,时,
8、 有43工程数学习题利用比值判别法 , 可知原级数发散 .用比值判别法, 可判断级数收敛，因 n 充分大时由 发散,知原级数发散 . 用比值判别法可知:时收敛 ;时发散 ;时, 与 p 级数比较可知:时收敛时发散从而原级数收敛 .44工程数学习题2 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示提示: (1) 时, 绝对收敛 ;时, 条件收敛 ;时, 发散 .(2) 因各项取绝对值后所得强级数收敛 , 故原级数绝对收敛 .45工程数学习题因单调递减 , 且但所以原级数条件收敛条件收敛 .由Leibniz判别法知级数收敛收敛 ;46工程数学习题因所以原级数绝对收敛 .47工程数学习题例3 设正项级数
9、和也收敛 .提示提示: 因 存在 N 0 ,又因利用收敛级数的性质收敛级数的性质及比较判敛法比较判敛法易知结论正确 .都收敛 , 证明级数当 n N 时48工程数学习题例例4. 若级数与均收敛 , 且证明级数收敛 .证证: 则与收敛收敛收敛收敛49工程数学习题证明级数 收敛。 证明： 从而数列 的极限存在 考察正项级数 ，设它的部分和为 ，则 50工程数学习题因 存在，故 存在， 也就是正项级数 收敛。 由比较审敛法知原级数收敛。51工程数学习题52工程数学习题53工程数学习题例例7 7解解两边逐项积分两边逐项积分54工程数学习题55工程数学习题例例8 8解解56工程数学习题57工程数学习题例例9 9解解58工程数学习题59工程数学习题60工程数学习题其收敛域为(-1，1)，和函数为 ，则 61工程数学习题例例1111解解62工程数学习题63工程数学习题64工程数学习题和函数的图形为和函数的图形为65工程数学习题例例1212解解66工程数学习题67工程数学习题由上式得由上式得68工程数学习题例例1313解解69工程数学习题70工程数学习题测测 验验 题题71工程数学习题72工程数学习题73工程数学习题74工程数学习题75工程数学习题76工程数学习题77工程数学习题测验题答案测验题答案78工程数学习题79工程数学习题
