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1、集合集合函数函数无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量函数的极限函数的极限函数的连续性函数的连续性一、无穷小量一、无穷小量二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较三、无穷大量三、无穷大量四、数列极限与函数极限的关系四、数列极限与函数极限的关系 1.4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量一、无穷小量1 定义定义1 在某一极限过程中在某一极限过程中, 以以0为极限的变量为极限的变量(数列数列)称为该极限过程的称为该极限过程的无穷小量无穷小量,简称简称无穷小无穷小.无穷小量的等价定义无穷小量的等价定义1. 无穷小是无穷小是变量变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; 相对于某变化过程而言
2、相对于某变化过程而言! 2.零是可以作为无穷小量的唯一的数零是可以作为无穷小量的唯一的数.注意注意例如例如,2. 无穷小量的性质无穷小量的性质定理定理1 1 在在同同一极限过程中一极限过程中, ,（1 1）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小）有限个无穷小的代数和仍然是无穷小. . （2 2）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小）有限个无穷小的乘积仍然是无穷小. . （3 3）无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小）无穷小与有界量（函数）的乘积是无穷小. .注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .推论推论1 1 在同一极限过程中在同一极限过程中, ,有极限的变量与
3、无穷有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小小的乘积是无穷小. .推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .定理定理1(3)无穷小无穷小与与有界量有界量(函数函数)的乘积是无穷小量的乘积是无穷小量.证证3.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性充分性充分性例如例如,极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.不可比不可比.观观察察各各极极限限二、无穷小量的比较二、无穷小量的比较1.1.等价无穷小的性质等价无穷小的性质证证(1)定理定理32.2.常用等价无穷小常用等价无穷小例例1 1解解不能滥用等价无穷小代
4、换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例4 4解解解解错错例例3 3练习练习 求求三、无穷大量三、无穷大量观察：观察：越来越大越来越大越来越大越来越大越来越小越来越小越来越大越来越大越来越大越来越大描述描述:类似地有类似地有M-X定义定义 ,类似地可定义：正无穷大，负无穷大类似地可定义：正无穷大，负无穷大请同学自行思考写出精确数学定义请同学自行思考写出精确数学定义! !注意注意 1.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大量是一种特殊的无界变量无穷大量是一种特殊的无界变量,但是但是无界变
5、量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.证证定理定理5 5 在同一自变量变化过程中在同一自变量变化过程中, ,无穷大的倒数无穷大的倒数为无穷小为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论.解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得由无穷小与无穷大的关系得例例5 5例例6 6解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分
6、子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.极限求法极限求法小结小结:a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用无穷小与无穷大的关系求极限利用无穷小与无穷大的关系求极限;f.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限;g.夹逼性夹逼性;h.单调有界准则单调有界准则;i.两个重要极限两个重要极限关于复合函数极限性质的说明关于复合函数极限性质的说明四、数列极限与函数极限的关系四、数列极限与函数极限的关系定理定理6 （海涅定理（海涅定理) 定理定理6 6给出了一个给出了一个判定函数极限不存在判定函数极限不存在的方法：的方法：例例5 5证证思考思考
