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1、必修必修4 4第二章第二章平面向量平面向量复习课复习课必修4第二章单位向量及零向量单位向量及零向量平行向量和共线向量平行向量和共线向量向量向量向量有关概念向量有关概念向量的运算向量的运算基本应用基本应用向量的定义向量的定义相等向量相等向量求长度求长度求角度求角度知识网络知识网络向量的加法向量的加法向量的减法向量的减法实数和向量的积实数和向量的积向量的数量积向量的数量积平行与垂直的充要条件平行与垂直的充要条件单位向量及零向量平行向量和共线向量向量向量有关概念向量的运算一、向量的概念一、向量的概念既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。（1）零向量：）零向量：长度为长度为0的向量，
2、记作的向量，记作0.（2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量.（3）平行向量：）平行向量： 方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量.也也 叫共线向量叫共线向量（4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量.要点复习要点复习一、向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。（1）零向量：长度概念辨析概念辨析例例1、判断、判断（5）平行的向量，若起点不同，则终点一定不同（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；（6）共线向量一定在同一直线上；）共线向量一定在
3、同一直线上；温馨提示：温馨提示：1.做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别做题时要注意向量平行（共线）与直线平行、共线的区别2.不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定不要忽略零向量的特殊性及有关的两个规定ABC概念辨析例1、判断（5）平行的向量，若起点不同，则例例1.如图，已知向量如图，已知向量a,b, 求作向量求作向量a+b.BabC(2)作作法:(1)在平面内任取一点A则首尾相连，由起点指向终点首尾相连，由起点指向终点A A A A三角形法则三角形法则二、二、向量的加法向量的加法例1.如图，已知向量a,b,求作向量a+b.BabC(2)例例1.如图，已知向量如图，已知向量a,b
4、, 求作向量求作向量a+b.BabCD向量的加法向量的加法A A A A作法:(1)在平面内任取一点A(2)作则(3)以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD平行四边形法则平行四边形法则作平移作平移, ,共起点共起点, ,四边形四边形, ,对角线对角线共起点共起点例1.如图，已知向量a,b,求作向量a+b.BabCD向量探究探究向量加法的运算律向量加法的运算律结合律：结合律：交换律：交换律：对于任意的向量，：对于任意的向量，：探究向量加法的运算律结合律：交换律：对于任A1A2A3A1A2+A2A3=_探究探究A1A2A3A4A1A2+A2A3+A3A4=_A1A3A1A4A1A2A3A1A2+A
5、2A3=_ 探究A1A2A探究探究A1An+1A1A2A3A+1AA4A1A2+A2A3+ AA+1=_若平面内有若平面内有n n个首尾相接的向量个首尾相接的向量, ,构成构成一个折线一个折线, ,那么这那么这n n个向量的和是多少个向量的和是多少呢呢? ?多边形法则多边形法则探究A1An+1A1A2A3A +1AA4A1A2+A2A探究探究A1A2A3AA-A4A1A2+A2A3+ A-A+AA+=_若平面内有若平面内有n n个首尾相接的向量个首尾相接的向量, ,构成构成一个封闭图形一个封闭图形, ,那么这那么这n n个向量的和是个向量的和是多少呢多少呢? ?探究A1A2A3AA-A4A1A
6、2+A2A3+巩固练习巩固练习1.向量向量.2.在矩形在矩形ABCD中，中， 等于（等于（ ）A.B.C.D.3.已知正方形已知正方形ABCD的边长为的边长为1 1，则则 的模为（的模为（ ）A. 0 B. 3 C. D.DC巩固练习1.向量.2.在矩形ABCD中，等于（OBA起点相同起点相同指向被减向量指向被减向量三、三、向量的减法向量的减法OBA起点相同指向被减向量三、向量的减法例2已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=| a- b|,求|a- b|.ADBabC例2已知|a|=6,|b|=8, 且|a+b|=|a-b（三）数乘向量（三）数乘向量（1）长度：）长度：（2）方向：）方向：
7、 四、数乘向量四、数乘向量（三）数乘向量（1）长度：（2）方向：四、数乘向量探究点探究点3 3 共线向量判定定理和性质定理共线向量判定定理和性质定理思考思考1:1:如果如果 那么向量那么向量 与与 是否共线？是否共线？向量共线的向量共线的判定定理判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数是一个非零向量，若存在一个实数，使得，使得则向量则向量 与非零向量与非零向量 共线共线. .探究点3共线向量判定定理和性质定理思考1:如果例三例三 设设a，b是两个不共线向量。是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-
8、2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1例三设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=aP PC CA AB B证明：证明：如题干图，因为向量如题干图，因为向量 与向量与向量 共线，根据向共线，根据向量共量共PCAB证明：如题干图，因为向量与向量共线，（）（）平面向量基本定理平面向量基本定理存在性存在性唯一性唯一性存在存在如果如果是同一平面内两个是同一平面内两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量一对实数，一对实数，使使有且只有有且只有思考：思考： 上述表达式中的上述表达式中的是否唯一是否唯一？
9、（ 2 ）基底：基底：把把不共线不共线的向量的向量叫做这一平面内叫做这一平面内所有向量的所有向量的一组一组基底基底一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底 ( 3 )正交分解：正交分解：表示成：表示成：称它为向量的分解称它为向量的分解当当互相垂直时，称为向量的互相垂直时，称为向量的正交分解正交分解特别地：特别地：1 1=0=0，2 200时，时， 共线共线. . 1 100，2 2=0=0时，时， 共线共线. . 1 1=2 2=0=0时，时， 五、向量的运算五、向量的运算（）平面向量基本定理存在性唯一性存在如果是同一平面(1)(1)不共线的向量不共线的向量 叫做这一平面内所有向量叫做这一
10、平面内所有向量 的一组基底的一组基底; ; 平面向量基本定理平面向量基本定理:(4)基底给定时基底给定时,分解形式唯一分解形式唯一. 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数 , 使使(3) 任一向量任一向量 都可以沿两个不共线的方向（都可以沿两个不共线的方向（ 的的 方向）分解成两个向量（方向）分解成两个向量（ ）和的形式；）和的形式；说明：说明：(2)基底不唯一基底不唯一;(1)不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组例五.已知e1 1和e2 2是表示平面内所有向量的一组基底
11、，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A.A.e1 1和和e1 1+ +e2 2 B. B.e1 1-2-2e2 2和和e2 2-2-2e1 1C.C.e1 1-2-2e2 2和和4 4e2 2-2-2e1 1 D. D.e1 1+ +e2 2和和e1 1- -e2 2【解题探究解题探究】判断两个向量能否作为基底的条件是什么？判断两个向量能否作为基底的条件是什么？ 看这两个向量是否共线，若共线，则不能作为基底，看这两个向量是否共线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底否则可以作为基底. .C例五.已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面x xy yo o式是向量式是向
12、量 的坐标表示的坐标表示. .注意：注意：每个向量都有唯一的坐标每个向量都有唯一的坐标. .探究二：平面向量的坐标探究二：平面向量的坐标在直角坐标系内，我们分别在直角坐标系内，我们分别五、平面向量的坐标五、平面向量的坐标xyo式是向量的坐标表示.注意：每个向量都有唯(x(x1 1,y,y1 1) )结论结论1:1:一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于其其终终点点的的相相应应坐坐标标减减去去始始点点的的相应坐标。相应坐标。1 1A AB B1 1x xy yA A1 1B B1 1(x(x2 2,y,y2 2) )(x1,y1)结论1:1AB1xyA1B1(x2,y2)结论结论2 2：两个向量和
13、与差的坐标分别等于各向量相应坐：两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差标的和与差. .结论结论3 3：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标向量的相应坐标. .结论2：两个向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差.即即B B（3 3，-1-1）. .即B（3，-1）.x1y2x2y10定理：若两个向量（于坐标轴不平行）平行，则他们相应的坐标成比例。定理：若两个向量相对应的坐标成比例，则他们平行。x1y2x2y10定理：若两个向量（于坐标轴不平行）平解解: :依题意依题意, ,得得解:依题意,得向量的夹角向量的夹角: 两个非
14、零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,则则叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角夹角的范围：夹角的范围： 与与 反向反向OAB 与与 同向同向OAB记作记作与与 垂直，垂直，OAB注意注意: 两向量两向量必须共起点。必须共起点。OAB六、向量的夹角六、向量的夹角向量的夹角:两个非零向量和1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABB1(四四) 向量的数量积向量的数量积4、运算律:3、数量积的坐标运算三、向量的数量积三、向量的数量积1、平面向量数量积的定义：2、数量积的几何意义：OABB1 已知已知 =(1,1), =(2,0), =(1,1), =(2,0), 与与 的夹角的夹角=
15、= 45.45. 求求 . .例例1 1 已知已知| |=3| |=3，| |=4| |=4，且，且 与与 的夹角的夹角=150=150，求，求 . .解：解： =| | |cos =| | |cos=34cos150=34cos150 =34 =34（- - ）= =6 6解：解： | | = , | |=2, | | = , | |=2, =45,=45,所以所以 =| | |cos =| | |cos= 2cos45= 2.= 2cos45= 2.已知=(1,1),=(2,0),与的夹角 ，过点，过点B B 作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为垂足为B B1 1，则，则
16、| | cos叫作向量叫作向量 在在 方向方向上的上的射影射影( (也叫也叫投影投影) )当当为锐角时，为锐角时，| | cos_0思考思考2 2 什么是向量的射影？什么是向量的射影？OABB1，过点B作BB1垂直于直线OA，已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是已知|a|=3,|b|=5，且ab=12，求a在b方向四、向量垂直的判定四、向量垂直
17、的判定五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定共线向量的判定)四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共线向量的判定)7、已知向量、已知向量 （）求（）求 与与 的夹角的余弦值；的夹角的余弦值；（）若向量（）若向量 与与 垂直，求垂直，求 的的值值.7、已知向量7、已知向量、已知向量 （）求（）求 与与 的夹角的余弦值；的夹角的余弦值；（）若向量（）若向量 与与 垂直，求垂直，求 的的值值.7、已知向量六、向量的长度六、向量的长度七、向量的夹角七、向量的夹角六、向量的长度七、向量的夹角4.（2014江西高考）已知单位向量34.（2014江西高考）已知单位向量3解：解：解：1.1.已知已知A(1A(1，2),B(4,0),C(82),B(4,0),C(8，6),D(56),D(5，8)8)，则四边，则四边形形ABCDABCD的形状是的形状是 . .3.3.给定两个向量给定两个向量 若若 若若矩形矩形2.(20132.(2013湖北高考湖北高考) )已知点已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1), D(3,4), D(3,4),则向量则向量 在在 方向上的投影为方向上的投影为( )( ) A. B. C.- D.- A. B. C.- D.- A A1.已知A(1，2),B(4,0),C(8，6),D(5，8
