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1、14.3 14.3 因式分解因式分解 14.3.1 14.3.1 提公因式法提公因式法mabc面积：面积：m(a+b+c)面积：面积：ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc ambcma+mb+mcm(a+b+c)=整式乘法m(a+b+c)=ma+mb+mcambc看谁算的快看谁算的快: :1、已知：、已知：a+b=5，a-b=3，求，求a2-b2的值。的值。2、已知：、已知：a+b=5，m-n=3， 求求am-an+bm-bn的值的值请把下列多项式写成整式乘积的形式请把下列多项式写成整式乘积的形式把把一个多项式化成几个整式积的形式一个多项式化成几个整式积的形式, ,这种变形叫做把
2、这个多项式这种变形叫做把这个多项式因式分解因式分解（或（或分解因式分解因式）. .m(a+b+c) 想一想想一想:因式分解与整式乘法有何关系因式分解与整式乘法有何关系?因式分解与整式乘法是互逆过程因式分解与整式乘法是互逆过程(x+y)(x-y)x2-y2整式乘法整式乘法(x+y)(x-y)x2-y2因式分解因式分解(x+y)(x-y)x2-y2因式分解因式分解整式乘法整式乘法 判断下列各式哪些是整式乘法判断下列各式哪些是整式乘法? ?哪些是因式分解哪些是因式分解? ? (1) x24y2=(x+2y)(x2y) (2) 2x(x3y)=2x26xy (3) (5a1)2=25a210a+1 (
3、4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a3)(a+3)=a29 (6) m24=(m+2)(m2) (7) 2R+ 2r= 2(R+r).练习一练习一 理解概念理解概念因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法因式分解因式分解因式分解因式分解ma+mb+mc 因式分解因式分解整式乘法整式乘法m(a+b+c)因式分解与整式乘法是相反方向的因式分解与整式乘法是相反方向的变形变形整式的乘法与因式分解有什么关系？整式的乘法与因式分解有什么关系？类比与比较类比与比较下列从左到右的变形是分解因式的有下列从左到右的变形是分解因式的有( )A. 6x2y=3xy2
4、xB. a2b2+1=(a+b)(ab)+1C. a2ab=a(ab)D. (x+3)(x3)= x29C因式分解因式分解：把公因式提出来，多项式把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可就可以分解成两个因式以分解成两个因式m和和(a+b+c)的乘积。像这的乘积。像这种因式分解的方法，叫做种因式分解的方法，叫做提取公因式法提取公因式法。探索发现探索发现解解:公因式公因式多项式中多项式中各项各项都含有的都含有的相同因式相同因式, ,称之为称之为公因式公因式提公因式法提公因式法8a3b212ab3c 的的公因式公因式是什么？是什么？最大公约数最大公约数相同相同字母最字母最低低次幂次幂公因式公因式
5、4ab2一一看看系数系数二二看字母看字母三三看指数看指数步骤步骤议一议议一议练一练练一练 找出下列各多项式中的公因式：找出下列各多项式中的公因式： （1） 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3 ( 4)、a2b-2ab2+ab8m2n22ab提示：公因式的系数，字母，字母的指数提示：公因式的系数，字母，字母的指数例例1 把把8a3b2 + 12ab3c 分解因式分解因式.分析：找公因式分析：找公因式 1 1、系数的最大公约数、系数的最大公约数 4 42 2、找相同字母、找相同字母 a a3 3、相同字母的最低指数、相同字母的最低指数 a a1 1b b2 2
6、 公因式为：公因式为：4ab2 四、方法运用四、方法运用解解:8a3b2+12ab3c=4ab22a2+4ab23bc =4ab2(2a2+3bc)注意注意：各项：各项系数系数都是整数时，因式的系数应取都是整数时，因式的系数应取各项系数的各项系数的 ；字母字母取各项的取各项的 的字母，而且各字母的的字母，而且各字母的指数指数取取 的的. .说出下列多项式各项的公因式说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； (2)4kx 8ky ； (3)5y3+20y2 ；最大公约数最大公约数相同相同次数最低次数最低 练一练练一练 找出下列各多项式中的公因式：找出下列各多项式中的公因式： （1）
7、 8x+64 （2） 2ab2+ 4abc （3） m2n3 -3n2m3 ( 4)、a2b-2ab2+ab8m2n22ab提示：公因式的系数，字母，字母的指数提示：公因式的系数，字母，字母的指数问问:多项式中的公因式是如何确定的？多项式中的公因式是如何确定的？多项式各项系数的最大公约数。多项式各项系数的最大公约数。 （当（当系数是整数时）系数是整数时）定系数：定系数：多项式各项中都含有的相同的字母。多项式各项中都含有的相同的字母。相同字母的指数取各项中字母的最低相同字母的指数取各项中字母的最低次幂。次幂。定字母：定字母：定指数：定指数： 例例: : 找找 2x2+ 6x 的公因式。的公因式。
8、定系数定系数2定字母定字母x 定指数定指数23所以，所以，公因式是公因式是 2 x2 例例2 2 把把 9x9x2 26xy+3xz 6xy+3xz 分解因式分解因式. .=3x3x - 3x2y + 3xz 解：解：=3x (3x-2y+z)9x2 6 x y + 3x z用提公因式法分解因式的步骤：用提公因式法分解因式的步骤：第一步第一步. . 找出公因式；找出公因式；第二步第二步. . 提取公因式提取公因式 ；第三步第三步. . 将多项式化成两个因式乘积的形式。将多项式化成两个因式乘积的形式。 小冬解的有误吗？小冬解的有误吗？把把 8 a 3 b2 12ab 3 c + ab分解因式分解
9、因式.解：解：8 a3b2 12ab3c + ab= ab8a2b - ab12b2 c +ab1= ab(8a2b - 12b2c) 当多项式的某一项和当多项式的某一项和公因式相同时，提公因公因式相同时，提公因式后剩余的项是式后剩余的项是1 1。错误错误例例3 3提取公因式后，另一个因式不能再含有提取公因式后，另一个因式不能再含有公因式；公因式；另一个因式的项数与原多项式的项数一致。另一个因式的项数与原多项式的项数一致。注意注意8 a3b2 12ab3c + ab= ab(8a2b - 12b2c+1)例例4： 24x3 12x2 +28x 解：原式解：原式=当多项式第一项系当多项式第一项系
10、数是负数，通常先数是负数，通常先提出提出“ ”号，使号，使括号内第一项系数括号内第一项系数变为正数，注意括变为正数，注意括号内各项都要变号。号内各项都要变号。 把下列多项式分解因式：把下列多项式分解因式：（1 1）12x12x2 2y+18xyy+18xy2 2； （2 2）- -x x2 2+xy-xz+xy-xz；（3 3）2x2x3 3+6x+6x2 2+2x+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：甲同学：甲同学：解解:12x:12x2 2y+18xyy+18xy2 2 =3xy(4x+6y) =3xy(4x+6y) 乙同学
11、：乙同学：解解:-x:-x2 2+xy-xz+xy-xz =- =-x(x+y-zx(x+y-z) )丙同学：丙同学：解解:2x:2x3 3+6x+6x2 2+2x+2x =2x(x =2x(x2 2+3x)+3x)你认为他们的解法正确吗？试说明理由。你认为他们的解法正确吗？试说明理由。找找错错误误把下列各式分解因式把下列各式分解因式: :(1) 24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2(3) (3) -16x4+32x3-56x2(4)(4) -7ab-14abx+49aby2 2、确定公因式的方法：、确定公因式的方法：一看系数二看字母三看指数一看系数二看字母三看指数小小结结3 3
12、、提公因式法分解因式步骤提公因式法分解因式步骤( (分三步分三步) )：第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提公因式；第二步，提公因式； 第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式。1、什么叫因式分解？什么叫因式分解？4 4、用提公因式法分解因式应注意的问题、用提公因式法分解因式应注意的问题：（1 1）公因式要提尽）公因式要提尽；（2 2）小心漏掉）小心漏掉（3 3）多项式的首项取正号）多项式的首项取正号例例5 把把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式分解因式.分析分析:( b+c)是这个式子的公因式是这个式子的公因式,可以直接提出可以直接提
13、出.解解:2a(b+c) 3(b+c)=(b+c)(2a-3).解解：6（mn）312（nm）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）312（mn）2 =6（mn）2（mn2）.6（mn）312（nm）2例例6试一试试一试能被能被2005整除吗整除吗计算计算 v把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因因式分式分解。解。v公因式公因式就是系数取各项式的最大公因数，字母取共就是系数取各项式的最大公因数，字母取共有的字母指数取最低次幂（有的字母指数取最低次幂（三看三看）v因式分解的方法：因式分解的方法：提公因式法提公因式法. .规律总结规律总结v分
14、解因式与整式乘法是互逆过程.v分解因式要注意以下几点:1.分解的对象必须是多项式.2.分接的结果一定是几个整式的乘积的形式.3.要分解到不能分解为止. 作业作业P：119习习 题题14.3第第1题和题和第第4题（题（1）共）共5个小题个小题D（2）分解分解-4x3+8x2+16x的结果是（的结果是（ ） （A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）（1）多项式多项式6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式（的公因式（ ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2CC1.选择选择课后练习试一试拓展应用拓展应用(3)若多项式若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是的一个因式是-6ab，那么另一那么另一 个因式是（个因式是（ ） （A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y （C）-1-3x-4y （D）1-3x-4yD(4)若多项式若多项式(a+b)x2+(a+b)x要分解因式要分解因式,则要提的公因式是则要提的公因式是 . (a+b)x
