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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 时, 有一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，( P57 题 4 (2) )解答见课件第二节解答见课件第二节 例例5类似可证: 有限
2、个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设又设即当时, 有取则当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求解解: 利用定理 2 可知说明说明 : y = 0 是的渐近线 .目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有定理定理 3 . 若说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .定理定理 4 . 若则有说明说明: 定理 4 可推广到有限
3、个函数相乘的情形 .目录 上页 下页 返回 结束 推论推论 1 .( C 为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式试证证证:定理定理 5 . 若且 B0 , 则有目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6 . 若则有提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !例例3. 设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证证: 说明说明: 若不能直接用商的运算法则 .例例4. 若目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 求解解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子
4、0 ,但因目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求解解: 分子分母同除以则“ 抓大头抓大头”原式目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )( 如如 P47 例例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设且 x 满足时,又则有 说明说明: 若定理中若定理中则类似可得目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求解解: 令, 仿照例4 原式 =( 见见P34 例例5 )例4目录 上页 下页 返回 结束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1则令
5、原式方法方法 2目录 上页 下页 返回 结束 思考题请证明目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 要求分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.解解: 原式2.问目录 上页 下页 返回 结束 3. 求解法解法 1 原式 =解法解法 2 令则原式 =目录 上页 下页 返回 结束 4. 试确定常数 a 使解解 : 令则故因此目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P49 1 (5)，(7)，(9)，(12)，(14)3 (1) 5第六节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故
