线性代数讲义(20)课件

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1、5.2 相似矩阵相似矩阵5.2 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念1. 等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质1. 等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质证明证明证明线性代数讲义(20)课件推论推论2 若若 阶方阵阶方阵 与对角阵与对角阵推论2 若 阶方阵 与对角阵利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式:k个个利用对角矩阵计算矩阵多项式:k个利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .利用上证明证明三、利用相似变换将方阵对角化证明三、利用相似变换将方阵对角化线性代数讲义(20)课件命题得证命题得证.命题

2、得证. 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论1 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，推论1线性代数讲义(20)课件说明说明:如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化说明:如果 的特征方程有重根，此时不一定有解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对

3、角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解之得基础解系故 不能化为对角矩阵.例1 判断下列A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系所以所以 可对角化可对角化.所以 可对角化.注意注意:即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应注意:即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置推论推论2推论2线性代数讲义(20)课件线性代数讲义(20)课件线性代数讲义(20)课件线性代数讲义(20)课件线性代数讲义(20)课件四、小结 相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，

4、它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质。的性质。四、小结 相似矩阵相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩思考题设设n阶方阵阶方阵A与与B有相同的特征值，则下列有相同的特征值，则下列说法正确的是（说法正确的是（ ）？）？1、A与与B相似相似2、存在一对角阵，使、存在一对角阵，使A、B都相似于它都相似于它3、存在正交阵、存在正交阵Q，使，使4、|A|=|B|思考题设n阶方阵A与B有相同的特征值，则下列说法正确的是（