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1、1-4 复变函数的极限和连续一、复变函数的极限二、复变函数的连续性1注意注意: :一、一、 复变函数的极限复变函数的极限2定理定理1 1 定理定理2 2 设设 ， ， ， ，则有，则有 复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论一点的极限来讨论3定理定理3 3 设设 ，则有，则有1 1）2 2）3 3）当）当 时，时， 4证明证明5二、函数的连续性二、函数的连续性6举例说明如下：举例说明如下：78(1) 多项式多项式(2) 有理分式函数有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的在复平面内使分母不为零的点也是连续的.9例例 2 2证证1
2、0例例 3 3证证11与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证得以下定理得以下定理定理定理5 5 函数函数 在简单曲线在简单曲线 （包括两端点）或（包括两端点）或者有界闭区域者有界闭区域 上连续，则上连续，则 在在 或者或者 为连续；为连续； 在它上能取到最大值与最小值；在它上能取到最大值与最小值； 在它上一致连续，即对任意的在它上一致连续，即对任意的 , ,存存在在 ，使当，使当 或者或者 且且 时，有时，有 12定义定义：如果对于任给定常数如果对于任给定常数 ，存在，存在 ，使当，使当 ， 时，有时，有 则称当则称当z z在在E E 中趋于中趋于
3、 时时 趋于无穷大趋于无穷大 ，记作记作13定义定义：如果对于任给定常数：如果对于任给定常数00 ，存在，存在 ，使当，使当 且且 时，有时，有 则称当则称当z z 在在E E 中趋于无穷大中趋于无穷大 时时 趋于趋于 ，记作，记作14函数在某点处连续性的判别函数在某点处连续性的判别基本解法：基本解法：(1)把函数把函数f(z)化为形式化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(2)利用教材利用教材24页定理页定理2判别判别u(x,y)和和v(x,y)在点在点(x0,y0)处处是否连续是否连续n若都连续，则若都连续，则f(z)在在z0连续连续n若不连续，则若不连续，则 f(z0)无意义，即
4、无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在至少一个不存在不存在或存在但不存在或存在但只需验证只需验证 在某方向上在某方向上或存在某方向或存在某方向 时，有时，有或或15证明证明argz在原点和负实轴不连续在原点和负实轴不连续由于由于 是分段定义的二元函是分段定义的二元函数数当当y0或或y0时有时有即当即当 且且 时，函数的极限值等于在点时，函数的极限值等于在点(x0,0)处的函数值，此二元函数在点处的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此处连续，因此argz在正实轴连续。在正实轴连续。16(2) argz在在z=0点无意义，因此不连续点无意义，因此不连续所以分段定义的
5、二元函数所以分段定义的二元函数argz在在y=0且且x0这些点处不连续这些点处不连续(3) 在在y0，x0的半直线上的半直线上可是可是综上所述，综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处在出去负实轴和原点的整个复平面上处处连续。连续。f(z)=|z|的连续性？的连续性？ 是复变实值函数，是是复变实值函数，是x,y的二元连续函数，的二元连续函数，因此在整个复平面上连续。因此在整个复平面上连续。P26,4证明函数证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实在原点和负实轴上不连续性。轴上不连续性。17函数极限的求法和极限不存在的判别法函数极限的求法和极限不存在的判别法方法方法
6、1： 当容易看出当容易看出f(z)在在z0点连续时，可用函数在一点连续时，可用函数在一点处连续的定义来求极限。即点处连续的定义来求极限。即方法方法2： 当不能判断当不能判断f(z)在在z0点是否连续时，点是否连续时，首先，把首先，把f(z)写成写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。的形式。然后，利用教材然后，利用教材24页定理页定理2，分别求两个函数，分别求两个函数u(x,y)和和v(x,y)的极限，即的极限，即例例因为因为|z|z|在整个复平面上连续在整个复平面上连续P27,618复复数数平面表示法平面表示法定义表示法定义表示法三角表示法三角表示法曲线与区域曲线与区域球面表示法球面表示法复数表示法复数表示法指数表示法指数表示法复数的运算复数的运算共轭运算共轭运算代数运算代数运算乘幂与方根乘幂与方根本章主要内容本章主要内容向量表示法向量表示法19复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法 复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章注意两点本章注意两点20第一章第一章 完完21
