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1、一、一、 本章的主要内容本章的主要内容二、二、 典型例题典型例题不定积分与定积分习题课习题课 (二二) 第四四章 问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、定积分主要内容一、定积分主要内容1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、近似求和、取极限分割、近似求和、取极限.2 2、定积分的定义、
2、定积分的定义定义定义记为记为可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理23 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质3性质性质5性质性质4推论：推论： （1）（2）性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式6 6、定积分的计算法、定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分
3、部积分公式分部积分公式、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分微微 元元 法法所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式8、定积分的应用、定积分的应用（2）就是说，如果把区间就是说，如果把区间分成许多部分区间，分成许多部分区间，对于区间对于区间具有可加性，具有可加性，相应地分成许多部分量，相应地分成许多部分量，则则等于所有部分量之和；等于所有部分量之和；而而（1）是与某个变量是与某个变量的变化区间的变化区间有关的量；有关的量；微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通
4、常叫做微元法微元法设想把区想把区间分成分成个小区个小区间， 并并记为， 求出相求出相应于于这小区小区间的部分量的部分量近似近似值. 若若 可近似地表示可近似地表示为上的一个上的一个连续函数在函数在 处的的值与与的乘的乘积， 把把称称为量量且且记作作， 即即； 2）取其中任一小区间取其中任一小区间的的的的微元微元定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xyo平行截面面积为已知的立
5、体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4) 细棒的质量细棒的质量(5) 变力所作的功变力所作的功(6) 水压力水压力(7) 引力引力例例 1求极限求极限解：解：原式原式例例2 求极限求极限提示：提示：原式原式左边左边= 右边右边二、典型例题二、典型例题例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解例例7 7解解例例9 9解解例例8 8例例10 求多项式求多项式 f (x) 使它满足方程使它满足方程解解: : 令令则则代入代入原方程得原方程得两边求导两边求导: :可见可见
6、 f (x) 应为二次多项式应为二次多项式, ,设设代入代入 式比较同次幂系数式比较同次幂系数, , 得得故故再求导再求导: :例例1111例例1212例例1313证明柯西不等式证明柯西不等式例例1414证证作辅助函数作辅助函数例例1515例例16 16 求抛物线求抛物线在在(0,1) 内的一条切线内的一条切线, , 使它使它与与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. .解解: : 设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为它与它与 x , y 轴的交点分别为轴的交点分别为所指面积所指面积且为最小点且为最小点. .故所求切线为故所求
7、切线为得得 0 , 1 上的唯一驻点上的唯一驻点例例17 17 设非负函数设非负函数曲线曲线与直线与直线及坐标轴所围及坐标轴所围(1) (1) 求函数求函数(2)(2) a 为何值时为何值时, , 所围图形绕所围图形绕 x 轴一周所得旋转体轴一周所得旋转体解解: :(1)(1)由方程得由方程得图形图形面积为面积为 2 2 , ,体积最小体积最小 ? ? 即即故得故得又又(2) (2) 旋转体体积旋转体体积又为唯一极小点为唯一极小点, ,因此因此时时 V 取最小值取最小值 . .故所求旋转体体积为故所求旋转体体积为例例18 18 求由求由与与所围区域绕所围区域绕旋转所得旋转体体积旋转所得旋转体体
8、积. .解解: : 曲线与直线的交点坐标为曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点曲线上任一点到直线到直线的距离为的距离为则则证证根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知故原结论成立故原结论成立.例例2020解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有故所求速度为故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为证明曲边扇形证明曲边扇形绕极轴绕极轴证证: : 先求先求上微曲边扇形上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积绕极轴旋转而成的体积体积微元体积微元故故旋转而成的体积为旋转而成的体积为 作作 业业 P 3443(2) 4(11) (13) 8. 9. 13. 26. 29. 37. 42.
