初中数学创新性开放性(1)课件

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1、创新型、开放型问题 曾庆坤曾庆坤例例1.比较下面的两列算式结果的大小:比较下面的两列算式结果的大小:(在横线上填在横线上填“”、“ (2) (3) (4) = 结论:对于任意两个实数结论:对于任意两个实数a和和b,一定有,一定有 a2+b22ab证明:证明:(a-b)20, 即即a2-2ab+b20, a2+b22ab例例2.如图:已知如图:已知ABC为为 O的内接三角形,的内接三角形, O1过过C点与点与AC交点交点E,与,与 O交交于点于点D,连结,连结AD并延长与并延长与 O1交于点交于点F与与BC的延长的延长线交于点线交于点G,连结,连结EF,要使要使EFCG,ABC应满足应满足什么条

2、件?请补充上你认什么条件?请补充上你认为缺少的条件后,证明为缺少的条件后,证明EFGC(要求补充的条件要求补充的条件要明确,但不能要明确,但不能 多余多余)分析:要使分析:要使EFGC,需知,需知FEC=ACB,但,但从图中可知从图中可知FEC=FDC,FDC=B,所,所以以FEC=B,故当,故当B=ACB时,可得证时,可得证EFGC要使要使EFGC,ABC应应满足满足AB=AC或或ABC=ACB证明:连结证明:连结DC,则,则FDC=FEC,FDC=B,FEC=B,B=ACB,FEC=ACB,EFGC例例3.如图:已知如图:已知 O1与与 O2相交于相交于A.B两点,经过两点,经过A点点的直

3、线分别交的直线分别交 O1. O2于于C.D两点两点(D.C不与不与B重合重合).连连结结BD,过,过C点作点作BD的平行线交的平行线交 O1于点于点E,连结,连结BE(1)求证:求证:BE是是 O2的切线的切线(2)如图如图2,若两圆圆心在公,若两圆圆心在公共弦共弦AB的同侧,其他条件不的同侧,其他条件不变,判断变,判断BE与与 O2的位置关的位置关系系(不要求证明不要求证明)(3)若点若点C为劣弧为劣弧AB的中点,其他条件不变,连结的中点,其他条件不变,连结AB.AE,AB与与CE交于点交于点F,如图,如图3 写出图中所有的写出图中所有的相似三角形相似三角形(不另外连线,不要求证明不另外连

4、线,不要求证明)要证要证BE是是 O2的切线,需知的切线,需知EBO2=90,不妨过,不妨过B点作点作 O2的直径的直径BF交交 O2于于F点,点,则则BAF=90,即,即F+ABF=90,F=ADB,EBO2=EBA+ABF,要,要知知EBO2=90,需知,需知ABE=ADB,但,但ABE=ACE,由,由ECBD,得,得ACE=ADB,故,故ABE=ADB得证,从而知得证,从而知EBO2=90,因此,因此BE是是 O2的切线的切线证明:作直径证明:作直径BF交交 O2于于F ,连,连结结AB、AF,则,则BAF=90,即即F+ABF=90。F=ADB,ABF+ADB=90。ECBD,ACE=

5、ADB,又又ACE=ABE,ABE=ADB,故,故ABF+ABE=90,即,即EBO2=90,EBBO2,EB是是 O2的切线的切线(2)分析:猜想分析:猜想EB与与 O2的关系的关系是相切的是相切的仍作仍作 O2的直径的直径BF,则,则FAB=90,同时,同时FAD+FBD=180,BAC+FBD=90。现只。现只需要得知需要得知FBE=90即可。由即可。由CEBD可知,可知,CEB+DBE=180,又,又,CEB=BAC,BAC+EBD=180,EBD-FBD=90,即,即FBE=90,故,故EB与与 O2是相是相切的切的证明:作证明:作 O2的直径的直径BF交交 O2于于F,则,则FAB

6、=90且且FAD+FBD=180,BAD+FBD=90。但。但BAD=CEB,故,故CEB+FBD=90。CEDB,CEB+EBD=180,EBD-FBD=90,即,即FBE=90,EB是是 O2的切线的切线 证明证明ECDB,ACE=ADB,又,又ACE=ABE,ACE=ADB=ABE。C是劣弧是劣弧AB的中点,的中点,BAC=BEC=AEC,AFCABDEACEFB(3)若点若点C为劣弧为劣弧AB的中点,其他条件不变,的中点,其他条件不变,连结连结AB.AE,AB与与CE交于点交于点F,如图,如图3 写出写出图中所有的相似三角形图中所有的相似三角形(不另外连线,不要求不另外连线,不要求证明

7、)证明)例例4.如图直径为如图直径为13的的 O1经过原点经过原点O,并且与,并且与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于A、B两点,线段两点,线段OA、OB(OAOB)的长分别的长分别 是方程是方程x2+kx+60=0的两的两个根个根(1)求线段求线段OA、OB的长的长(2)已知点已知点C在劣弧在劣弧OA上,连结上,连结BC交交OA于于D,当,当OC2=CDCB时,时,求求C点的坐标点的坐标(3)在在 O1上是否存在点上是否存在点P, 使使SPOD=SABD?若存在,求出点?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由的坐标;若不存在,请说明理由(1)解:解:OA、OB是方是方程程x2+kx+6

8、0=0的两个根,的两个根,OA+OB=-k,OAOB=60OBOA,AB是是 O1的直径的直径OA2+OB2=132,又,又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OAOB,132=(-k)2-260 解解 之得:之得:k=17 OA+OB0,k9,所以假设错误,故这所以假设错误,故这样的点样的点P是不存在的是不存在的 分析:假设这样的点分析:假设这样的点P是存在的,是存在的,不妨设不妨设P(m,n),则,则P到到x轴的距轴的距离可表示为离可表示为|n|,从已知中得知,从已知中得知P到到x轴的最大距离为轴的最大距离为9,所以,所以|n|9。又又SPOD=1/2OD|n|SABD=1/2ADOB,O

9、D|n|=ADOB=(OA-OD)OB,即即OD|n|=(12-OD)5若能求出若能求出OD的长,就可得知的长,就可得知|n|。从而知从而知P点是否在点是否在 O1上由上由(2)知知OCDBCO,则,则从中可求出从中可求出OD的长的长在在 O1上不存在这样的上不存在这样的P点,点,使使SPOD=SABD。理由:假设在理由:假设在 O1上存在点上存在点P,使,使SPOD=SABD,不妨设,不妨设P(m,n),则,则P到到x轴的距离轴的距离|n|9。由。由OCDBCO,得,得将将OB=5, 代入计算得代入计算得OD=10/3SABD=SPOD=65/3,即,即 |n|=139,P点不在点不在 O1上上故在故在 O1上不存在上不存在这样的点这样的点P。

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