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1、频率特性极坐标图的绘制要点回顾q 比例环节的极坐标图q 积分环节的极坐标图q 惯性环节的极坐标图极坐标图为圆。q 振荡环节的极坐标图q 微分环节的极坐标图有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。q 一阶不稳定环节的极坐标图q 延迟环节的极坐标图q 高阶系统极坐标图的绘制2024/9/91频率分析法-典型环节的频率特性频率特性极坐标图的绘制要点回顾 比例环节的极坐标图2022/高阶系统极坐标图的绘制1.用幅频特性和相频特性计算作图（1 1）求环节（或系统）的传递函数）求环节（或系统）的传递函数；（2 2）用）用 取代传递函数中的取代传递函数中的 ，求出频率特性表达式，求出频率特性表达式（3 3）
2、将）将 分成实部分成实部 和虚部和虚部 ，若遇到若遇到 的分母的分母为复数或虚数的为复数或虚数的情况时，应将其作有理化处理。情况时，应将其作有理化处理。(5-10)(5-11)（4 4）由所求得的实频特性）由所求得的实频特性和虚频特性和虚频特性 代入式代入式(5-10)(5-10)和和(5-11)(5-11)，求出幅，求出幅频特性频特性和相频特性和相频特性 的表达式；然的表达式；然后选取不同的后选取不同的值并计算值并计算和和，在极坐标上描点并，在极坐标上描点并连成曲线。连成曲线。2024/9/92频率分析法-典型环节的频率特性高阶系统极坐标图的绘制1.用幅频特性和相频特性计算作图（1）2.开环
3、极坐标图的近似绘制可见，低频段的幅值和相角均与积分环节的个数可见，低频段的幅值和相角均与积分环节的个数有关，或者说与系统的型别有关：有关，或者说与系统的型别有关：幅频、相频特性表达式分别为幅频、相频特性表达式分别为(5-85)(5-86)ImReGH平面平面II型系统型系统对于对于0型系统，型系统，对于对于I型系统，型系统，对于对于II型系统，型系统，对于对于型系统，型系统，所以极坐标图的低频段与系统型号有关。所以极坐标图的低频段与系统型号有关。0型系统型系统I型系统型系统1 1）极坐标图的低频段）极坐标图的低频段2024/9/93频率分析法-典型环节的频率特性2.开环极坐标图的近似绘制可见，
4、低频段的幅值和相角均与积分环2 2）极坐标图的高频段）极坐标图的高频段当当时，由于实际的物理系统通常是时，由于实际的物理系统通常是，由式（，由式（5-84）可知）可知，即极坐标特性曲线的终点都，即极坐标特性曲线的终点都卷进坐标原点卷进坐标原点。根据相角特性得。根据相角特性得(5-87)上式表明，幅相特性曲线在上式表明，幅相特性曲线在时的极限角与时的极限角与的分子、分母的阶数之差有关：的分子、分母的阶数之差有关：当当时，特性曲线沿时，特性曲线沿负虚轴负虚轴卷向原点；卷向原点；当当时，特性曲线沿时，特性曲线沿负实轴负实轴卷向原点；卷向原点；当当时，特性曲线沿时，特性曲线沿正虚轴正虚轴卷向原点；卷向
5、原点；依此类推，如右图。依此类推，如右图。ImGH平面平面Re3）与坐标轴的交点）与坐标轴的交点用解析法求取，令幅相特性表达式中虚用解析法求取，令幅相特性表达式中虚部为零，解得部为零，解得，再把它代入，再把它代入的的实部，即得与实轴的交点坐标。实部，即得与实轴的交点坐标。(5-84)2024/9/94频率分析法-典型环节的频率特性2）极坐标图的高频段当时，由于实际的物理系统通常是，由式（5第三节 频率特性的对数坐标图 BODE图及其特点 典型环节的BODE图 开环系统的BODE图（单独作一节课讲） 最小相位系统和非最小相位系统2024/9/95频率分析法-典型环节的频率特性第三节 频率特性的对
6、数坐标图 BODE图及其特点202一、对数频率特性曲线（波德图，Bode图）及特点 Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。波德图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率 的对数值 进行线性分度的。但为了便于观察仍标以 的值，因此对 而言是非线性刻度。 每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。类似地，频率 的数值变化一倍，横坐标就变化0.301单位长度，称为“倍频程”，用oct表示。如下图所示：由于 以对数分度，所以零频率线在处。2024/9/96频率分析法-典型环节的频率特性一、对数频率特性曲线（波德
7、图，Bode图）及特点 更详细的刻度如下图所示2345678910lg0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.0002024/9/97频率分析法-典型环节的频率特性更详细的刻度如下图所示2345678910lg0.00纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 值标注在纵坐标上。 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。 当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：幅值A(w)1.001.261.562.002
8、.513.165.6210.0100100010000对数幅值20lgA(w)02468101520406080幅值A(w)1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001对数幅值20lgA(w)0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-802024/9/98频率分析法-典型环节的频率特性纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 使用对数坐标图的优点：使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线
9、）近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。2024/9/99频率分析法-典型环节的频率特性使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，幅频特性： ；相频特性： 比例环节： ;对数幅频特性： 相频特性： 比例环节的比例环节的bode图图二、典型环节的波德图（Bode图）2024/9/910频率分析法-典型环节的频率特性幅频特性： ；相频特性： 积分环节的频率特性：频率特性：积分环节的积分环节的Bode图图可见斜率为20/dec 当有两个积分环节时可见斜率为40/dec 2024/9/911频率分析法-典型环节的频率
10、特性 积分环节的频率特性：频率特性：积分环节的Bode图可见惯性环节的惯性环节的Bode图图 惯性环节的频率特性：对数幅频特性： ，为了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：低频段：当 时， ，称为低频渐近线。高频段：当 时， ，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降20分贝）。 当 时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。低频高频渐近线的交点为： ，得： ，称为转折频率或交换频率。 可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。2024/9/912频率分析法-典型环节的频率特性惯性环节的Bode图 惯性环节的频率特性：
11、对数幅频特性惯性环节的惯性环节的Bode图图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。振荡环节2024/9/913频率分析法-典型环节的频率特性惯性环节的Bode图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝惯性环节的惯性环节的Bode图图波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当 时，误差为：当 时，误差为：最大误差发生在 处，为wT0.1 0.2 0.5 1 2 510L(w),dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.042024/9/9
12、14频率分析法-典型环节的频率特性惯性环节的Bode图波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间 相频特性： 作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w0, -45)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。惯性环节波德图惯性环节的波德图惯性环节的波德图wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-
13、45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.42024/9/915频率分析法-典型环节的频率特性 相频特性： 作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出 振荡环节的频率特性：讨论 时的情况。当K=1时，频率特性为：振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性幅频特性为：相频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：高频段渐近线：两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。2024/9/916频率分析法-典型环节的频率特性 振荡环节的频率特性：讨论 时相频特性：几个特征点：由图可见：对数相频
14、特性曲线在半对数坐标系中对于( w0, -90)点是奇对称的。对数幅频特性曲线有峰值。振荡环节的波德图振荡环节的波德图2024/9/917频率分析法-典型环节的频率特性相频特性：几个特征点：由图可见：振荡环节的波德图2022/9对 求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率 。该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时， 。当 时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。谐振频率，谐振峰值谐振频率，谐振峰值当 ， ， 。因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。 2024/9/918频率分析法-典型环节的频率特性对 求导并令等于零，可解得 的振荡环节的波德图振荡环节的波德图左图是不同
15、阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。2024/9/919频率分析法-典型环节的频率特性振荡环节的波德图左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：频率特性分别为：微分环节的频率特性微分环节的频率特性2024/9/920频率分析法-典型环节的频率特性 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯纯微分环节的波德图纯微分环节的波德图 纯微分：2024/9/921频率分析法-典型环节的频率特性纯微分环节的波德图 纯微分：2022/9/2421
16、频率分 一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为相频特性：几个特殊点如下相角的变化范围从0到 。低频段渐进线：高频段渐进线：对数幅频特性（用渐近线近似）：一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图2024/9/922频率分析法-典型环节的频率特性 一阶微分：这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频一阶微分环节的波德图一阶微分环节的波德图2024/9/923频率分析法-典型环节的频率特性一阶微分环节的波德图2022/9/2423频率分析法-典型幅频和相频特性为： 二阶微分环节：低频渐进线：高频渐进线：转折频率为： ，高频段的斜率+40dB/Dec。相角：可见，相角的
17、变化范围从0180度。二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性2024/9/924频率分析法-典型环节的频率特性幅频和相频特性为： 二阶微分环节：低频渐进线：高频渐进线二阶微分环节的波德图二阶微分环节的波德图2024/9/925频率分析法-典型环节的频率特性二阶微分环节的波德图2022/9/2425频率分析法-典型 延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频特性：延迟环节的奈氏图延迟环节的奈氏图2024/9/926频率分析法-典型环节的频率特性 延迟环节的频率特性：传递函数：频率特性：幅频特性：相频小结q 比例环节和积分环节的频率特性q 惯性环节的频率特性低频、高频渐进线，斜率
18、-20，转折频率q 振荡环节的频率特性波德图：低频、高频渐进线，斜率-40，转折频率q 微分环节的频率特性有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环节q 延迟环节的频率特性2024/9/927频率分析法-典型环节的频率特性小结 比例环节和积分环节的频率特性2022/9/2427频率三、开环系统的系统的BodeBode图图2024/9/928频率分析法-典型环节的频率特性三、开环系统的Bode图2022/9/2428频率分析法-四、最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统定义：在右半S平面上既无极
19、点也无零点，同时无纯滞后环节的系统是最小相位系统，相应的传递函数称为最小相位传递函数；反之，在右半S平面上具有极点或零点，或有纯滞后环节的系统是非最小相位系统，相应的传递函数称为非最小相位传递函数。 在幅频特性相同的一类系统中，最小相位系统的相位移最小，并且最小相位系统的幅频特性的斜率和相频特性的角度之间具有内在的关系。 对最小相位系统：w=0时j (w)=-90积分环节个数 ； w=时j (w)=-90(n-m) 。 不满足上述条件一定不是最小相位系统。 满足上述条件却不一定是最小相位系统。2024/9/929频率分析法-典型环节的频率特性四、最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小
20、相位系统最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：有五个系统的传递函数如下。系统的幅频特性相同。2024/9/930频率分析法-典型环节的频率特性最小相位系统和非最小相位系统例：有五个系统的传递函数如下。系最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统设 ， 可计算出下表，其中 为对数坐标中 与 的几何中点。w1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1 -39.3-54.9-39.3-5.1j2(w)-6.3 -50.7-90-129.3-173.7j3(w)6.3 50.790 129.3173.7j4(w)5.139.354.939.35.1j5(
21、w)-5.7-45-73-96.6-578.12024/9/931频率分析法-典型环节的频率特性最小相位系统和非最小相位系统设 ， 由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如 j1(w) )。而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w)；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如 j4(w) )。最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统2024/9/932频率分析法-典型环节的频率特性由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频
22、特性的一类系统中，当w最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统 在最小相位系统中，对数频率特性的变化趋势和相频特性的变化趋势是一致的（幅频特性的斜率增加或者减少时，相频特性的角度也随之增加或者减少），因而由对数幅频特性即可唯一地确定其相频特性。结论： 只包含比例、微分、积分、惯性、振荡、一阶微分、二阶微分等环节的系统，一定是最小相位系统；包含有不稳定环节或者延迟环节等非最小相位环节的系统，一定是非最小相位系统。2024/9/933频率分析法-典型环节的频率特性最小相位系统和非最小相位系统 在最小相位系统中最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：已知最小相位系
23、统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。解：由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节；在w=1处，L(w)=15dB，可得 20lgK=15，K=5.6在w=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1)在w=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)2024/9/934频率分析法-典型环节的频率特性最小相位系统和非最小相位系统例：已知最小相位系统的渐近幅频特最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统
24、的传递函数。解：由于低频段斜率为-40dB/dec所以有两个积分环节；在w=0.8处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1) 在w=30处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/30+1)在w=50处，斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec，故有惯性环节(s/50+1)2024/9/935频率分析法-典型环节的频率特性最小相位系统和非最小相位系统例：已知最小相位系统的渐近幅频特最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统在w=4时，L(w)=0，这时可以不考虑转折频率在w=4以上的环节的影响2024/9/936频率分析法-典型环节的频率特性最小相位系统和非最小相位系统在w=4时，L(w)=0，这时可
