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1、第一第一部分部分 考点研究考点研究第六单元第六单元 圆圆第第25课时课时 圆的基本性质圆的基本性质考点特训营考点特训营考点特训营考点特训营 考点精讲考点精讲圆的基圆的基圆的基圆的基本性质本性质本性质本性质与圆有关的概念与圆有关的概念性质性质弧、弦、圆心角的关系弧、弦、圆心角的关系垂径定理及其推论垂径定理及其推论圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论正多边形与圆正多边形与圆与与与与圆圆圆圆有有有有关关关关的的的的概概概概念念念念圆心角圆心角圆心角圆心角: :顶点在圆心的角顶点在圆心的角顶点在圆心的角顶点在圆心的角, ,如如如如BOCBOC, ,AOCAOC圆周角圆周角圆周角圆周角: :顶点在圆上顶
2、点在圆上顶点在圆上顶点在圆上, ,并且两边都与圆相交的角并且两边都与圆相交的角并且两边都与圆相交的角并且两边都与圆相交的角, ,如如如如BACBAC弦弦弦弦: :连接圆上任意两点所得的线段连接圆上任意两点所得的线段连接圆上任意两点所得的线段连接圆上任意两点所得的线段, ,如如如如ACAC, ,经过圆心的弦叫做直径经过圆心的弦叫做直径经过圆心的弦叫做直径经过圆心的弦叫做直径, ,如如如如ABAB圆弧圆弧圆弧圆弧: :圆上任意两点间的部分圆上任意两点间的部分圆上任意两点间的部分圆上任意两点间的部分, ,如如如如 , ,图图图图1 1性性性性质质质质圆的对称性：既是轴对称图形圆的对称性：既是轴对称图
3、形圆的对称性：既是轴对称图形圆的对称性：既是轴对称图形, ,又是中心对称图形又是中心对称图形又是中心对称图形又是中心对称图形, ,任何任何任何任何一条一条一条一条_所在的直线都是它的对称轴所在的直线都是它的对称轴所在的直线都是它的对称轴所在的直线都是它的对称轴, , _ _是是是是它的对称中心它的对称中心它的对称中心它的对称中心圆具有旋转不变性：围绕它的圆心任意旋转一个角度都圆具有旋转不变性：围绕它的圆心任意旋转一个角度都圆具有旋转不变性：围绕它的圆心任意旋转一个角度都圆具有旋转不变性：围绕它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的圆重合能与原来的圆重合能与原来的圆重合能与原来的圆重合直径直径圆心圆
4、心弧、弦、弧、弦、弧、弦、弧、弦、圆心角圆心角圆心角圆心角的关系的关系的关系的关系圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧的弧的弧的弧_，所对的弦也，所对的弦也，所对的弦也，所对的弦也 _推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么两条弦、两个
5、弦心距中有一对量相等，那么两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等它们所对应的其余各对量都相等它们所对应的其余各对量都相等它们所对应的其余各对量都相等相等相等相等相等垂径垂径垂径垂径定理定理定理定理及其及其及其及其推论推论推论推论定理：垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径定理：垂直于弦的直径_弦，并且平分弦所对的弧弦，并且平分弦所对的弧弦，并且平分弦所对的弧弦，并且平分弦所对的弧推推推推论论论论推论推论推论推论1. 1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分平分弦
6、（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧弦所对的两条弧弦所对的两条弧2. 2.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦延伸延伸延伸延伸1. 1.弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过弦的垂直平分线经过_，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧2. 2.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径 _弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧弦，并且平分弦所对的另
7、一条弧弦，并且平分弦所对的另一条弧图图图图2 2平分平分圆心圆心垂直于垂直于垂径垂径垂径垂径定理定理定理定理及其及其及其及其推论推论推论推论推推推推论论论论与垂径定理有关的辅助线：连接半径、作弦心距，与垂径定理有关的辅助线：连接半径、作弦心距，与垂径定理有关的辅助线：连接半径、作弦心距，与垂径定理有关的辅助线：连接半径、作弦心距，构造直角三角形求解构造直角三角形求解构造直角三角形求解构造直角三角形求解总结：根据圆的对称性，如图总结：根据圆的对称性，如图总结：根据圆的对称性，如图总结：根据圆的对称性，如图2 2，在以下五个结论中：，在以下五个结论中：，在以下五个结论中：，在以下五个结论中：（1
8、1） _；（；（；（；（2 2） = = _ _ ；（3 3）AEAE= = _ _ ；（；（；（；（4 4）ABAB _ _ ；（5 5）CDCD是直径是直径是直径是直径. .只要满足其中两个，另外三个结论只要满足其中两个，另外三个结论只要满足其中两个，另外三个结论只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三一定成立，即知二推三一定成立，即知二推三一定成立，即知二推三1111BECD圆周圆周圆周圆周角定角定角定角定理及理及理及理及其推其推其推其推论论论论定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度定理：圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度定理：圆周角的
9、度数等于它所对弧上圆心角度数的数的数的数的 _,_,如图如图如图如图3 3，BACBAC= = _BOCBOC推论推论推论推论1 1：半圆（或直径）所对的圆周角是：半圆（或直径）所对的圆周角是：半圆（或直径）所对的圆周角是：半圆（或直径）所对的圆周角是_；9090的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径. .如图如图如图如图3 3，ADBADB= =ACBACB=90=90，在圆中，一般会连接过，在圆中，一般会连接过，在圆中，一般会连接过，在圆中，一般会连接过直径端点的弦，构造直角三角形或构造直径所直径端点的弦，构造直角三角形或构造直径所直径端点
10、的弦，构造直角三角形或构造直径所直径端点的弦，构造直角三角形或构造直径所对的圆周角对的圆周角对的圆周角对的圆周角图图图图3 3121214141313一半一半直角直角圆周圆周圆周圆周角定角定角定角定理及理及理及理及其推其推其推其推论论论论推论推论推论推论2 2：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_,_,如图如图如图如图3 3，BAC= BAC= _，BCDBCD= = _,_,ABDABD= _, = _, ABCABC= _= _温馨提示：温馨提示：温馨提示：温馨提示：一条弦对
11、着两条弧，对着两个圆周角且一条弦对着两条弧，对着两个圆周角且一条弦对着两条弧，对着两个圆周角且一条弦对着两条弧，对着两个圆周角且这两个圆周角互补这两个圆周角互补这两个圆周角互补这两个圆周角互补; ;一条弧只对着一个圆心角，却对一条弧只对着一个圆心角，却对一条弧只对着一个圆心角，却对一条弧只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角着无数个圆周角着无数个圆周角着无数个圆周角19191818171716161515相等相等BDCBADACDADC正正正正多多多多边边边边形形形形与与与与圆圆圆圆圆内接圆内接圆内接圆内接四边形四边形四边形四边形的性质的性质的性质的性质1. 1.圆内接四边形的对角圆内接四边形的
12、对角圆内接四边形的对角圆内接四边形的对角 _,_,如图如图如图如图4 4，A A+ +BCDBCD= _,= _,B B+ +D D= _= _2. 2.圆内接四边形的任意一个角的外角圆内接四边形的任意一个角的外角圆内接四边形的任意一个角的外角圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的等于它的等于它的等于它的 _，如图，如图，如图，如图4 4，DCEDCE= _= _图图图图4 4正多边正多边正多边正多边形和的形和的形和的形和的关系圆关系圆关系圆关系圆如图如图如图如图5 5，设正，设正，设正，设正n n边形的边长为边形的边长为边形的边长为边形的边长为a a，则边心距，则边心距，则边心距，则边心距r
13、 r= = ; ;正多边形的周长正多边形的周长正多边形的周长正多边形的周长L=naL=na; ;正多边形的面积正多边形的面积正多边形的面积正多边形的面积S S LrLr= = narnar; ;中心角中心角中心角中心角 图图图图5 524242323222221212020互补互补180180内对角内对角A重难点突破重难点突破重难点突破重难点突破一、一、一、一、 垂径定理及其推论垂径定理及其推论垂径定理及其推论垂径定理及其推论练习练习练习练习1 1如图，如图，如图，如图，O O的直径为的直径为的直径为的直径为1010，弦，弦，弦，弦ABAB的长为的长为的长为的长为6 6，MM是弦是弦是弦是弦A
14、BAB上上上上的一动点，则线段的的一动点，则线段的的一动点，则线段的的一动点，则线段的OMOM的长的取值范围是的长的取值范围是的长的取值范围是的长的取值范围是( () )A. 3A. 3OMOM5 5B. 4B. 4OMOM5 5C. 3C. 3OMOM5 D. 45 D. 4OMOM5 5练习练习练习练习1 1题图题图题图题图【解析解析】如解图，连接如解图，连接OA，作，作OMAB于于M，O的的直径为直径为10，OM的最大值为半径的最大值为半径5.OMAB于于M，AMBM，AB6，AM3，在，在RtAOM中，中，OM 4，此时，此时OM最短，所以最短，所以OM的长的取值范围是的长的取值范围是
15、4OM5.练习练习1题解图题解图练习练习练习练习2 2如图，点如图，点如图，点如图，点D D、E E分别是分别是分别是分别是O O的内接正三角形的内接正三角形的内接正三角形的内接正三角形ABCABC的的的的ABAB、ACAC边上的中点，若边上的中点，若边上的中点，若边上的中点，若O O的半径为的半径为的半径为的半径为2 2，则，则，则，则DEDE的长等于的长等于的长等于的长等于( () )A. A. B. B. C. 1C. 1D . D . 练习练习练习练习2 2题图题图题图题图【解析解析】如解图所示，连接如解图所示，连接OB、OC，过点，过点O作作BC的垂的垂线，交线，交BC于点于点H.B
16、OC2BAC120，由垂径定理知，由垂径定理知，OH垂直平分垂直平分BC，在在RtBOH中，中，BOH60，OB2，则，则BH ，BC2 ，DE是是ABC的中位线，则的中位线，则DE BC .练习练习2题解图题解图 二、圆周角定理及推论二、圆周角定理及推论二、圆周角定理及推论二、圆周角定理及推论例如图，例如图，例如图，例如图，ABAB是是是是O O的直径，的直径，的直径，的直径，D D、E E为为为为 O O上位于上位于上位于上位于ABAB异侧的两异侧的两异侧的两异侧的两点，连接点，连接点，连接点，连接BDBD并延长至点并延长至点并延长至点并延长至点C C，使得，使得，使得，使得CDCDBDB
17、D，连接，连接，连接，连接ACAC交交交交 O O于于于于点点点点F F，连接，连接，连接，连接AEAE、DEDE、DFDF. .(1)(1)求证：求证：求证：求证：E EC C；例题图例题图例题图例题图【思维教练思维教练思维教练思维教练】要证要证要证要证E EC C，根据同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角相等可得到可得到可得到可得到E EB B，连接，连接，连接，连接ADAD，由直径，由直径，由直径，由直径ABAB所对的圆周角为所对的圆周角为所对的圆周角为所对的圆周角为9090可得可得可得可得ADADBCBC，而，而，而，而CDCD
18、BDBD，利用等腰三角形三线合一性质，利用等腰三角形三线合一性质，利用等腰三角形三线合一性质，利用等腰三角形三线合一性质得到得到得到得到B BC C，从而得证，从而得证，从而得证，从而得证【自主作答自主作答自主作答自主作答】(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接AD，AB是是O的直径，的直径，ADB90，即，即ADBC，CDBD，AD垂直平分垂直平分BC，ABAC，BC，又又BE，EC； 例题解图例题解图(2)(2)若若若若DFDF1212，coscosE E ，E E是是是是 的中点，求的中点，求的中点，求的中点，求DEDE的长的长的长的长【思维教练思维教练思维教练思维教练】由圆内接四边
19、形的任意一个外角等于它的内对由圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对由圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对由圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可得，角可得，角可得，角可得，CFDCFDB B，利用，利用，利用，利用(1)(1)中中中中B BC C及等角对等边及等角对等边及等角对等边及等角对等边转化得到转化得到转化得到转化得到DFDFCDCD，再根据，再根据，再根据，再根据coscosE E 的相应线段在的相应线段在的相应线段在的相应线段在RtRtABDABD中通过解直角三角形求出中通过解直角三角形求出中通过解直角三角形求出中通过解直角三角形求出ADAD，最后结合，最后结合，最后结合，最
20、后结合E E是的是的是的是的 中点求解中点求解中点求解中点求解DEDE. .【自主作答自主作答自主作答自主作答】解：如解图，连接解：如解图，连接OE，过点，过点AGDE于点于点G，CFDAEDC，FDCDBD12，cosAEDcosB ，AB20，AD 16，E是的是的 中点，中点，AB是是 O的直径，的直径，AOE90，AOOE10，AE10，E是的中点，是的中点，ADEBDE45，DGAGADsin4516 8，EG 6 ，DEDGGE14 .练习练习练习练习3 3如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，ABCABC是是是是O
21、 O的内接三的内接三的内接三的内接三角形角形角形角形，ABABACAC，点，点，点，点P P是的中点，连接是的中点，连接是的中点，连接是的中点，连接PAPA，PBPB，PCPC. .(1)(1)如图如图如图如图，若，若，若，若BPCBPC6060，求证：，求证：，求证：，求证：ACACAPAP；(2)(2)如图如图如图如图，若，若，若，若sinsinBPCBPC ，求，求，求，求tantanPABPAB的值的值的值的值练习练习练习练习3 3题图题图题图题图(1)证明：证明： ，BACBPC60，又又ABAC，ABC为等边三角形，为等边三角形，ACB60，点点P是的是的 中点，中点， ，ACPB
22、CP30，又又APCABC60，APC为直角三角形，为直角三角形，PAC90，tanAPC ，ACAPtan60 AP；(2)解：如解图，连接解：如解图，连接AO并延长交并延长交BC于于F，交，交PC于于E，过点，过点E作作EGAC于于G，连接，连接OC，ABAC，AFBC，BFCF，点点P是是 中点，中点，ACPPCB，EGEF，BPCBACFOC，sinFOCsinBPC ，练习练习3题解图题解图设设FC24a，则，则OCOA25a，OF7a，AF25a7a32a，在在RtAFC中，中，AC2AF2FC2，AC40a，EAGCAF，AGEAFC90，AEGACF， ，即，即 ，解得解得EG12a，在在RtCEF中，中，tanECF ，PABBCP，tanPABtanPCB .
