《高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法课件 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法课件 理 苏教版（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13.3数学归纳法基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识基础知识自主学习自主学习数学归纳法数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n01,2等)时结论正确；(2)假设当nk(kN*，且kn0)时结论正确，证明当nk1时结论也正确.那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.知识梳理思考辨析思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()
2、(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()考点自测1.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nN*)，在验证n1时，等式左边的项是_.答案解析1aa2当n1时，n12，左边1a1a21aa2.nk1时等式成立nk2时等式成立n2k2时等式成立n2(k2)时等式成立答案解析因为n为正偶数，nk时等式成立，即n为第k个偶数时命题成立，所以需假设n为下一个偶数，即nk2时等式成立.3.在应用数学归纳法证
3、明凸n边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验n_.答案解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3答案解析4.用数学归纳法证明123n2 ，则当nk1时左端应在nk的基础上加上_.等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n2.故nk1时，最后一项是(k1)2，而nk时，最后一项是k2，应加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.(k21)(k22)(k23)(k1)25.(教材改编)已知an满足an1 nan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1题型分类题型分类深度剖析深度剖析题型一用数学归纳法证明等式题型一用数学归纳法证明等式例例1设f(n
4、) 求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).证明用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.思维升华跟踪训练跟踪训练1 (2017南京质检)用数学归纳法证明：证明题型二用数学归纳法证明不等式题型二用数学归纳法证明不等式例例2(2016泰州模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；解答证明数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1
5、)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)关键：由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.思维升华跟跟踪踪训训练练2若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn10).(1)求a2，a3，a4；解答a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(
6、2)猜想an 的通项公式，并加以证明.解答命题点命题点3存在性问题的证明存在性问题的证明例例5设a11，an1 b(nN*).(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；解答(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论.解答(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.思维升华跟跟踪踪训训练练3 (2015江苏)已知集合X1,2,3，Yn1,2
7、,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f(6)13.解答(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解答典例典例(14分)数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.归纳猜想证明问题答题模版系列答题模版系列9规范解答思维点拨(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1
8、算出a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出通项公式.(2)用数学归纳法证明.答题模版课时作业课时作业1.如果命题p(n)对nk(kN*)成立，则它对nk2也成立.若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是_.p(n)对所有正整数n都成立；p(n)对所有正偶数n都成立；p(n)对所有正奇数n都成立；p(n)对所有自然数n都成立.答案解析n2时，nk，nk2成立，n为2,4,6，故n为所有正偶数.1234567891011 122.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是_.假设nk(kN*)，证明nk1时命题成立；假设nk(k是正奇数)，证明nk1
9、时命题成立；假设n2k1(kN*)，证明nk1时命题成立；假设nk(k是正奇数)，证明nk2时命题成立.相邻两个正奇数相差2，故正确.答案解析1234567891011 123.(2017盐城质检)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)k1成立时，总能推出f(k1)k2成立，那么下列命题总成立的是_.若f(1)2成立，则f(10)11成立；若f(3)4成立，则当k1时，均有f(k)k1成立；若f(2)4时，f(n)_(用n表示).f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)5答案解析1234567891011 12解答12345678
10、91011 1210.(2016苏州模拟)数列xn满足x10，xn1 xnc(nN*).(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；充分性：若c0，由于xn1 xncxncxn，所以数列xn是递减数列.必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.故xn是递减数列的充要条件是c0.证明1234567891011 12(2)若00)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.解答1234567891011 12证明1234567891011 12*12.设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式；解答1234567891011 12(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；解答1234567891011 12(3)设nN*，比较g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明.解答1234567891011 12
