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1、2.6 2.6 异方差性异方差性HeteroskedasticityHeteroskedasticity一、异方差性的概念一、异方差性的概念二、异方差性的后果二、异方差性的后果三、异方差性的检验三、异方差性的检验四、异方差性的估计四、异方差性的估计五、案例五、案例回回归归分分析析，是是在在对对线线性性回回归归模模型型提提出出若若干干基基本本假假设设的的条条件件下下，应应用用普普通通最最小小二二乘乘法法得得到到了了无无偏偏的的、有效的参数估计量。有效的参数估计量。 但但是是，在在实实际际的的计计量量经经济济学学问问题题中中，完完全全满满足足这这些基本假设的情况并不多见。些基本假设的情况并不多见。
2、 如如果果违违背背了了某某一一项项基基本本假假设设，那那么么应应用用普普通通最最小小二二乘乘法法估估计计模模型型就就不不能能得得到到无无偏偏的的、有有效效的的参参数数估估计计量量，OLSOLS法法失失效效，这这就就需需要要发发展展新新的的方方法法估估计计模模型。型。如如果果随随机机误误差差项项序序列列不不具具有有同同方方差差性性，即即出出现现异异方差性。方差性。说说 明明一、异方差的概念一、异方差的概念 1 1、异方差的概念、异方差的概念即即对对于于不不同同的的样样本本点点，随随机机误误差差项项的的方方差差不不再再是是常数，则认为出现了常数，则认为出现了异方差性异方差性。2 2、异方差的类型、
3、异方差的类型 同方差性假定的意义是指每个i围绕其零平均值的变差，并不随解释变量X的变化而变化，不论解释变量观测值是大还是小，每个i的方差保持相同，即 i2 =常数 在异方差的情况下， i2已不是常数，它随X的变化而变化，即 i2 =f(Xi) 异方差一般可归结为三种类型：异方差一般可归结为三种类型：（1）单调递增型： i2随X的增大而增大；（2）单调递减型： i2随X的增大而减小;（3）复 杂 型： i2与X的变化呈复杂形式。3 3、实际经济问题中的异方差性、实际经济问题中的异方差性 在在该该模模型型中中， i的的同同方方差差假假定定往往往往不不符符合合实实际际情情况况。对对高高收收入入家家庭
4、庭来来说说，储储蓄蓄的的差差异异较较大大；低低收收入入家家庭庭的的储储蓄蓄则则更更有有规规律律性性（如如为为某某一一特特定定目目的的而而储储蓄蓄），差差异较小。异较小。 因因此此， i的的方方差差往往往往随随Xi的的增增加加而而增增加加，呈呈单单调调递递增型变化。增型变化。 例如：例如：在截面资料下研究居民家庭的储蓄形为 Yi=0+1Xi+i Yi和Xi分别为第i个家庭的储蓄额和可支配收入。 一一般般情情况况下下：居居民民收收入入服服从从正正态态分分布布，处处于于中中等等收收入入组组中中的的人人数数最最多多，处处于于两两端端收收入入组组中中的的人人数数最最少少。而而人人数数多多的的组组平平均均
5、数数的的误误差差小小，人人数数少少的的组组平平均均数数的的误误差差大大。所所以以样样本本观观测测值值的的观观测测误误差差随随着着解解释释变变量量观观测值的增大而测值的增大而先减后增先减后增。 如如果果样样本本观观测测值值的的观观测测误误差差构构成成随随机机误误差差项项的的主主要要部部分分，那那么么对对于于不不同同的的样样本本点点，随随机机误误差差项项的的方方差差随随着着解解释释变变量量观观测测值值的的增增大大而而先先减减后后增增，出出现现了了异异方方差差性。性。 例如，例如，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据作样本建立居民消费函数： Ci= 0+1Yi+i 将居民按照收入等距离分成n组，取组
6、平均数为样本观测值。例如，例如，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=Ai1 Ki2 Li3eI产出量为被解释变量，选择资本、劳动、技术等投入要素为解释变量，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。度不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一量观测值的变化而呈规律性变化，为复杂型的一种。种。二、异方差性的后果二、异方差性的后果1
7、 1、参数估计量非有效、参数估计量非有效 普通最小二乘法参数估计量仍然具有无偏性仍然具有无偏性，但不具有有效性不具有有效性。因为在有效性证明中利用了 E(NN)=2I 而且，在大样本情况下，参数估计量仍仍然然不不具具有有渐近有效性渐近有效性，这就是说参数估计量不具有一致性。以一元线性回归模型为例进行说明：以一元线性回归模型为例进行说明：（1 1）仍存在无偏性：证明过程与方差无关）仍存在无偏性：证明过程与方差无关（2 2）不具备最小方差性）不具备最小方差性2 2、变量的显著性检验失去意义、变量的显著性检验失去意义在该统计量中包含有随机误差项共同的方差，并且有t统计量服从自由度为(n-k-1)的t
8、分布。如果出现了异方差性，t检验就失去意义。其它检验也类似。 3 3、模型的预测失效、模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 另一方面，在预测值的置信区间中也包含有随机误差项共同的方差2。 所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。三、异方差性的检验三、异方差性的检验1 1、检验方法的共同思路、检验方法的共同思路 由于由于异方差性异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随
9、机误差项的方差与检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式形式”。 问题在于用什么来表示随机误差项的方差问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：一般的处理方法： 2 2、图示检验法、图示检验法（1）用）用X-Y的散点图进行判断的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大散点扩大、缩小缩小或复杂型趋复杂型趋势势（即不在一个固定的带型域中）看是否形成一斜率为零的直线看是否形成一斜率为零的直线 3 3、解析法、解析法（1 1）戈德菲尔德）戈德菲尔德- -匡特（匡特（Goldfeld-Quandt）检验检验 G-
10、Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。 G-QG-Q检验的思想检验的思想： 先将样本一分为二，对子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差之比构造统计量进行异方差检验。 由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。G-QG-Q检验的步骤：检验的步骤：将n对样本观察值(Xi,Yi)按解释变量观察值Xi的大小排队将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2（2 2）戈里瑟（）戈里瑟（GleiserGleiser）检验与帕克（
11、检验与帕克（ParkPark）检验检验戈里瑟检验与帕克检验的思想：戈里瑟检验与帕克检验的思想： 如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。注意：注意： 由于f(Xj)的具体形式未知，因此需要进行各种形式的试验。四、异方差性的估计四、异方差性的估计加权最小二乘法加权最小二乘法(WLS)Weighted Least SquaresWeighted Least Squares1 1、加权最小二乘法的基本思想、加权最小二乘法的基本思想 加权最小二乘法加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用普通最个新的不存在异方差性
12、的模型，然后采用普通最小二乘法估计其参数。小二乘法估计其参数。 例如，例如，在递增异方差下，对来自较小Xi的子样本，其真实的总体方差较小，Yi与回归线拟合值之间的残差ei的信度较大，应予以重视; 而对较大Xi的子样本，由于真实总体的方差较大，残差反映的信息应打折扣。 加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和加权最小二乘法就是对加了权重的残差平方和实施实施OLS法：法： 对较小的残差平方ei2赋予较大的权数， 对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。2 2、一个例子、一个例子例如，如果在检验过程中已经知道：3 3、一般情况、一般情况对于模型 Y=XB+N (2.4.8) 这就是原模型(2.4.8)
13、的加权最小二乘估计量，它是无偏、有效的。 这里权矩阵为D-1，它来自于矩阵W 。4 4、求得权矩阵、求得权矩阵W W的一种实用方法的一种实用方法 从前面的推导过程看，它来自于原模型（2.4.8）残差项N的方差-协方差矩阵，因此仍然可对原模型(2.4.8)首先采用OLS法，得到随机误差项的近似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即5 5、加权最小二乘法具体步骤、加权最小二乘法具体步骤6、注意、注意 在实际建模过程中，尤其是截面数据作样本时，在实际建模过程中，尤其是截面数据作样本时，人们通常人们通常并不对原模型进行异方差性检验，而是直并不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用
14、截面数据作样接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。本时。 如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果确实存在异方差，则被有效地消除了； 如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。于普通最小二乘法。在在应用软件中，给出了权矩阵的多种选择。应用软件中，给出了权矩阵的多种选择。 例如在例如在Eviews中给出了权矩阵的中给出了权矩阵的3种选择：种选择：White权矩阵、权矩阵、Newey-West权矩阵和自己输入权矩阵。权矩阵和自己输入权矩阵。五、案例五、案例1某地区居民储蓄模型某地区居民储蓄模型某地区某地区31年来居民收入与储蓄额
15、数据表年来居民收入与储蓄额数据表1 1、普通最小二乘估计、普通最小二乘估计2 2、异方差检验、异方差检验（1 1）图示检验）图示检验 G-QG-Q检验检验求两个子样本（n1=n2=12）回归方程的残差平方和RSS1与RSS2；计算F统计量 F=RSS2/RSS1=769899.2/162899.2=4.726查表 在5%的显著性水平下，第1和第2自由度均为（31-7）/2-2=10的F分布临界值为 F0.05(10,10)=2.97由于 F=4.72 F0.05(10,10)= 2.97因此，否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性总体随机项存在递增异方差性。 ParkPa
16、rk检验检验 显然，lnXi前的参数表现为统计上显著的，表明原数据存在异方差性表明原数据存在异方差性。3 3、异方差模型的估计、异方差模型的估计与与OLS估计结果相比较，拟合效果更差估计结果相比较，拟合效果更差 。为什么？关于异方差形式的假定为什么？关于异方差形式的假定与与OLS估计结果相比较，拟合效果更好估计结果相比较，拟合效果更好 。 五、案例五、案例22居民消费二元模型居民消费二元模型1、OLS估计结果估计结果2 2、WLSWLS估计结果估计结果3 3、比较、比较各项统计检验指标全面改善各项统计检验指标全面改善R2 : 0.9997390.999999F: 28682980736e2: 43861329437 t: 6.4 22.0 4.225.2 134.1 22.9D.W.: 1.451.81
