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1、赵州桥赵州桥【简介简介】赵州赵州桥桥又名又名安济桥安济桥，位于位于河北河北赵县赵县洨河上，洨河上，它是它是世界世界上现存最早、上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，保存最好的巨大石拱桥，距今已有距今已有1400多年历史，多年历史，建于建于隋隋大业大业(公元公元605-618)年间，是著名匠师年间，是著名匠师李春李春建造。建造。37.4米米7.2米米赵州桥赵州桥课堂探究 圆是一个非常完美的图形，圆是一个非常完美的图形，因为它具有什么性质呢？请同学因为它具有什么性质呢？请同学们把自己手中的小圆沿直径对折们把自己手中的小圆沿直径对折一下，你会发现什么？一下，你会发现什么？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它
2、的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）X任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。用折叠的方法找到一条直径用折叠的方法找到一条直径CD作一条非直径的弦作一条非直径的弦AB，且，且CDAB，CD交交AB于于M沿直径沿直径CD折叠折叠通过观察，你能得到哪些等量关系？
3、通过观察，你能得到哪些等量关系？OABCDM做一做做一做想一想想一想?OABCDE如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E.条件条件CD为直径为直径CDAB（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1 1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论结论AE=BEAC=BCAD=BD理由理由: 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM Rt
4、OBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述:OABCDE条件条件CD为直径为直径CDAB结论结论AE=BEAC=BCAD=BD下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是
5、不是不是是是不是不是OEDCAB一条排水管的截面如图所示。已知排一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径水管的半径OB=10，水面宽，水面宽AB=16。求截面圆心求截面圆心O到水面的距离。到水面的距离。想一想：排水管中水最深多少？想一想：排水管中水最深多少？小试牛刀小试牛刀垂径定理推论垂径定理推论推论推论 平分弦平分弦( )的直径垂直弦的直径垂直弦,并且平分并且平分 弦所的两条弧弦所的两条弧OABCDMAM=BM,如图如图 CD是直径是直径,CDAB, AC =BC, AD=BD.弦不是直径弦不是直径试一试试一试挑战自我挑战自我判断：判断： 垂直于弦的直径平分这条弦（垂直于弦的直径平分这条弦
6、（ ）平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦. （ )ABCDO1、如图，已知在、如图，已知在O中，中， 弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离的距离OE为为3厘米，那么厘米，那么O的的半径是半径是 厘米。厘米。.AEBO变式训练变式训练如图如图,弦弦AB的长为的长为8厘米厘米,过点过点O作作AB的垂线交的垂线交AB于于E,交弧交弧AB于点于点F,且且EF为为2厘米厘米,那么那么 O的半径是的半径是厘米。厘米。应用应用探索探索F55垂径定理的应用垂径定理的应用例例1.1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如如图图)的桥拱是圆弧形的
7、桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形也叫弓形高高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m).解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半，半径为径为Rm，经过圆心，经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根据垂径定理，根据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.由题设由题设在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.
8、答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.AB=37.4 CD=7.2AD= AB= 37.4=18.7OD=OCDC=R-7.2OA2=AD2 + OD2即：即：R2 = 18.72 + ( R 7.2 )2CDOAB课堂小结1.圆的对称性圆的对称性2.垂径定理及推论垂径定理及推论BADCOE3.技巧：重要辅助线是过技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。圆心作弦的垂线。4.思路：（由）垂径定理思路：（由）垂径定理构造构造Rt（结合）勾股定理（结合）勾股定理建立方程建立方程作业设计必做题必做题、习题第、习题第7、9小题小题 选做题选做题、证明垂径定理的推论、证明垂径定理
9、的推论请多提宝贵意见请多提宝贵意见 1、已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的为圆心的两个同心圆中，大圆的弦两个同心圆中，大圆的弦AB交小交小圆于圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有有什么关系？为什么？什么关系？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，过圆心注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法也是一种常用辅助线的添法应用应用探索探索2、如图，已知、如图，已知OA=OB，求证，求证AC
10、=DBOACDBE解：作解：作OE AB OE AB，OE是弦心距（已知）是弦心距（已知） CE=ED（如果圆的直径垂直于弦，（如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦）那么这条直径平分这条弦）OA=OB，OE AB（已知）（已知）AE=EB（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）AC=DB2.已知：如图，在已知：如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，为互相垂直的两条相等的弦，ODAB,OEAC,D、E为垂足。为垂足。求证：求证：ADOE为正方形。为正方形。OABCDE证明：证明： ODAB,OEA CE=EA AD=DB AC=AB ACAB AE=AD ADOE为正方形为正方形 OD AB,OE AC,AC AB 四边形四边形ADOE是矩形是矩形
