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1、麦克斯韦速麦克斯韦速率分布函数率分布函数及其及其约化形式约化形式一、一、麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数f(v)=4 m/(2 kT)3/2 exp mv2/(2kT)v2 =4 -1/2m/(2kT)3/2 exp mv2/(2kT)v2. f(v)称为麦克斯称为麦克斯韦速率分布函数，韦速率分布函数，式中的式中的T 为气体的为气体的热力学温度，热力学温度，m为为气体分子质量。气体分子质量。二、二、麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数的约化形式的约化形式令令vp=(2kT/m)1/2， x=v/vp. f(v)dv=4 1/2m/(2kT)3/2 exp mv2/(2kT)v2dv
2、 =4 1/2vp-3 exp( v2/vp2)v2dv. f(v)dv=4 1/2x2 exp( x2)dx =F(x)dx. 但要特别注意但要特别注意:F(x)=4 1/2x2exp( x2) f(v).三、三、速率分布函速率分布函数类比质点运动数类比质点运动中的时间分布函中的时间分布函数数 类比法是一种在物理学类比法是一种在物理学研究中常用的逻辑推理方研究中常用的逻辑推理方法。使用类比法时，根据法。使用类比法时，根据两类对象之间在某些方面两类对象之间在某些方面的相似或相同，来推出它的相似或相同，来推出它们在其他方面也可能相似们在其他方面也可能相似或相同或相同. 为了描述处于平衡态下的气体
3、为了描述处于平衡态下的气体的分子数在不同的速率间隔内的的分子数在不同的速率间隔内的分布情况，可以取分子速率分布情况，可以取分子速率 v 为为横坐标值，画出速率取值在横坐标值，画出速率取值在v至至v v间隔内的分子数间隔内的分子数 N 占总分占总分子数子数 N 的比率的直方图（条形统的比率的直方图（条形统计图）。计图）。 条形的水平宽度为条形的水平宽度为 v，条形的面积为条形的面积为 N/N，因，因此，条形的竖直高度（纵此，条形的竖直高度（纵坐标值）则为坐标值）则为 N/(N v). 显然，此高度与条形所在显然，此高度与条形所在处速率的取值有关，是处速率的取值有关，是 v的函数。的函数。 为了更
4、精确地描述气体分子为了更精确地描述气体分子的速率分布情况，令的速率分布情况，令 v 0，此时直方图的上沿由折线变为此时直方图的上沿由折线变为光滑连续曲线，而光滑连续曲线，而 N/(N v) dN/(Ndv)，它当然仍是速率，它当然仍是速率v的函数，记为的函数，记为f(v)，即，即 f(v) = dN/(Ndv). (1) 这就是分子数对于速这就是分子数对于速率的分布函数，或者称率的分布函数，或者称为速率分布函数；为速率分布函数；(1)式的图像就是速率分布式的图像就是速率分布曲线。曲线。 f(v)表示在速率表示在速率v 附近的附近的dv间间隔内，平均每单位速率间隔内隔内，平均每单位速率间隔内的分
5、子数占总分子数的比率。的分子数占总分子数的比率。有时为了叙述的简便，在不致有时为了叙述的简便，在不致引起误解的前提下，常常就说引起误解的前提下，常常就说f(v)表示在速率表示在速率v 附近的单位速附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数率间隔内的分子数占总分子数的比率。的比率。 速率分布函数给出了气速率分布函数给出了气体分子数对于速率取值的体分子数对于速率取值的分布情况的具体图像。分布情况的具体图像。 与上述情况类似，质点与上述情况类似，质点在运动过程中的各个相同在运动过程中的各个相同的时间间隔内所通过的路的时间间隔内所通过的路程往往并不相同。程往往并不相同。 为了描述质点在运动过程为了描述质点
6、在运动过程中所通过的路程对于时间的中所通过的路程对于时间的分布情况的具体图像，则可分布情况的具体图像，则可以取时间为横坐标值，画出以取时间为横坐标值，画出在在t至至 t t 间隔内质点运动间隔内质点运动所通过的路程所通过的路程 S 的直方图的直方图（条形统计图）。（条形统计图）。 条形的水平宽度为条形的水平宽度为 t，条，条形的面积为形的面积为 S，因此，条形，因此，条形的竖直高度（纵坐标值）则的竖直高度（纵坐标值）则为为 S/ t，它就是质点在，它就是质点在 t至至 t t间隔内的平均速率。显间隔内的平均速率。显然，此高度与条形所在处时然，此高度与条形所在处时间的取值有关，是间的取值有关，是
7、t的函数。的函数。 为了更精确地描述质点运为了更精确地描述质点运动的时间分布情况，令动的时间分布情况，令 t 0，此时直方图的上沿由折线，此时直方图的上沿由折线变为光滑连续曲线，而变为光滑连续曲线，而 S/ t dS/dt，它当然仍是时间，它当然仍是时间 t 的函数，记为的函数，记为f(t)，即，即 f(t) = dS/dt. (2) 这就是质点在运动中这就是质点在运动中所通过的路程对于时间所通过的路程对于时间的分布函数，或者称为的分布函数，或者称为时间分布函数；时间分布函数； (2) 式式的图像就是时间分布曲的图像就是时间分布曲线。线。 f(t)表示在时间表示在时间 t 附近的附近的dt间间
8、隔内，平均每单位时间间隔内隔内，平均每单位时间间隔内质点在运动中所通过的路程。质点在运动中所通过的路程。有时为了叙述的简便，在不致有时为了叙述的简便，在不致引起误解的前提下，常常就说引起误解的前提下，常常就说f(t)表示在时间表示在时间 t 附近的单位时附近的单位时间间隔内质点在运动中所通过间间隔内质点在运动中所通过的路程。的路程。 时间分布函数给出了质点时间分布函数给出了质点在运动过程中所通过的路程在运动过程中所通过的路程对于时间的分布情况的具体对于时间的分布情况的具体图像。由此可见，图像。由此可见，f(t)其实就其实就是质点运动在是质点运动在t时刻的瞬时速时刻的瞬时速率，因而率，因而 f(
9、t)t 这条时间分这条时间分布曲线正是力学中熟知的速布曲线正是力学中熟知的速率时间曲线。率时间曲线。 通过以上的讨论可通过以上的讨论可以看出，热学中的速以看出，热学中的速率分布曲线与力学中率分布曲线与力学中质点运动的速率时质点运动的速率时间曲线之间存在着颇间曲线之间存在着颇为相似的情况。为相似的情况。 因此，如果在热学因此，如果在热学中学习速率分布函数中学习速率分布函数时，类比力学中的速时，类比力学中的速率时间函数，就能率时间函数，就能够比较容易地认识到够比较容易地认识到其物理意义。其物理意义。 不仅如此，用不仅如此，用 f(v) 类比类比f(t)，还利于正确理解为什，还利于正确理解为什么说么
10、说 “不应该问速率刚不应该问速率刚好等于特定值好等于特定值 v 的分子有的分子有多少个？如果非要这样问，多少个？如果非要这样问，那这种分子其实一个都没那这种分子其实一个都没有。有。” 前已指出，质点在前已指出，质点在t时时刻附近的刻附近的 t 间隔内运动间隔内运动的平均速率为的平均速率为 S/ t，在，在dt 间隔内运动的平均速间隔内运动的平均速率（也就是率（也就是t时刻的瞬时时刻的瞬时速率）为速率）为dS/dt. 但是我们不应该问在但是我们不应该问在 t 时时刻质点通过了多少路程，因刻质点通过了多少路程，因为质点只有在经历了一定的为质点只有在经历了一定的时间间隔后才会通过一段路时间间隔后才会
11、通过一段路程；如果非要问在程；如果非要问在 t 时刻质时刻质点通过了多少路程，那只能点通过了多少路程，那只能说它通过的路程等于零。说它通过的路程等于零。 考虑到这种情况，就考虑到这种情况，就可以用可以用 f(v) 类比类比 f(t). 既既然然 f(v) 表示在速率表示在速率 v 附附近的近的dv间隔内，平均每间隔内，平均每单位速率间隔内的分子单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率，数占总分子数的比率，那我们同样也不应该问速率恰那我们同样也不应该问速率恰好等于特定值好等于特定值 v 的分子数占总的分子数占总分子数的比率是多少，因为此分子数的比率是多少，因为此时速率间隔等于零；如果非要时速率间隔
12、等于零；如果非要问速率恰好等于问速率恰好等于 v 的分子数占的分子数占总分子数的比率有多少，那就总分子数的比率有多少，那就只能说这样的比率等于零。只能说这样的比率等于零。 看来，把热学中的速率分看来，把热学中的速率分布函数与力学中的速率时布函数与力学中的速率时间函数（即质点在运动中所间函数（即质点在运动中所通过的路程对于时间的分布通过的路程对于时间的分布函数）进行类比，确实有助函数）进行类比，确实有助于正确理解和掌握速率分布于正确理解和掌握速率分布函数的概念，应该可以收到函数的概念，应该可以收到良好的效果。良好的效果。 应该注意，类比推理是应该注意，类比推理是一种或然性的推理方法，一种或然性的
13、推理方法，通过类比推理所得到的结通过类比推理所得到的结论正确与否，当然还必须论正确与否，当然还必须经过实践的检验和证明。经过实践的检验和证明。没有经过检验和证明的类没有经过检验和证明的类比推理只是合理的猜想。比推理只是合理的猜想。 但是，在物理学的教学但是，在物理学的教学中介绍早已被检验证明过中介绍早已被检验证明过的科学知识时，直接使用的科学知识时，直接使用类比推理的方法却是好处类比推理的方法却是好处良多的。我们应该通过一良多的。我们应该通过一些实例来掌握这种行之有些实例来掌握这种行之有效的逻辑推理方法。效的逻辑推理方法。四、四、随机事件随机事件与概率与概率 随机现象：有可随机现象：有可能出现
14、多种结果的能出现多种结果的现象。现象。 随机事件：随机随机事件：随机现象的每一表现或现象的每一表现或结果。结果。 频率：某事件出频率：某事件出现次数对总次数的现次数对总次数的比率。比率。 概率：某事件频概率：某事件频率在总次数趋于无率在总次数趋于无限大时的极限。限大时的极限。 不可能事件不可能事件的概率为零。的概率为零。 必然事件的必然事件的概率为一。概率为一。 概率加法定理：概率加法定理：互不相容（互斥）互不相容（互斥）事件出现的概率的事件出现的概率的和等于出现其中任和等于出现其中任一事件的概率。一事件的概率。 概率乘法定理：概率乘法定理：互相独立事件同时互相独立事件同时出现的概率等于各出现
15、的概率等于各事件单独出现时概事件单独出现时概率的积。率的积。五、五、麦克斯韦速率麦克斯韦速率分布曲线出现极大分布曲线出现极大值的点的轨迹值的点的轨迹f(v)=4 1/2m/(2kT)3/2 exp mv2/(2kT)v2.将将vp=(2kT/m)1/2代入代入f(v)可得：可得： f(vp)=4 1/2m/(2kT)3/2 exp mvp2/(2kT)vp2 =4 1/2exp vp2-2vp-3+2 =4 1/2e 1vp-1.由此可得：由此可得：vp f(vp)=4 1/2e 1 =常量。常量。这是一条双曲线这是一条双曲线的方程。的方程。 用麦克斯韦速率分用麦克斯韦速率分布函数的约化形式来
16、布函数的约化形式来求速率分布曲线出现求速率分布曲线出现极大值的点的轨迹，极大值的点的轨迹，似乎更简便。似乎更简便。x=v/vp，dx/dv=1/vp. f(v)=F(x)dx/dv =F(x)/vp =4 1/2x2 exp( x2)/vp. f(vp)=F(1)/vp =4 1/2e 1/vp.即即vp f(vp) = 4 1/2e-1 =常量常量. 这是一条双曲线的方这是一条双曲线的方程。程。 六、六、误差函数误差函数 erf(x) 如果气体分子的总数如果气体分子的总数为为 N，应该怎样计算出，应该怎样计算出速率取值在从速率取值在从 0 到某一到某一给定值给定值 v 之间的分子数之间的分子
17、数 N0v 呢呢 ？这时就需要？这时就需要用到误差函数用到误差函数erf(x)。 N0v= 0vNf(v)dv =N 0xF(x)dx =N 0x4 1/2 exp( x2) x2dx =2 1/2N 0xexp( x2) 2x2dx=2 1/2N 0xexp( x2) xdx2=2 1/2N 0x xdexp( x2)=2 1/2N x exp( x2)|0x + 0xexp( x2)dx =N 2 1/2x exp( x2) +2 1/2 0xexp( x2)dx. 定义误差函数定义误差函数erf(x)为为 erf(x)=2 1/2 0xexp( x2)dx,则上述结果可表示为则上述结果可
18、表示为 N0v=Nerf(x) 2 1/2x exp( x2).此式也可化为此式也可化为 N0v /N=erf(x) 2 1/2x exp( x2). erf(x) 的数值见教科的数值见教科书书104页的页的 “附录附录3-2 误误差函数简表差函数简表”。 王竹溪著统计物理王竹溪著统计物理学导论的附录三是较学导论的附录三是较详细的详细的“误差函数表误差函数表”。 若把若把erf(x)中的中的exp( x2)展开为幂级数后展开为幂级数后再逐项积分，可以得到其再逐项积分，可以得到其足够精确的数值，但计算足够精确的数值，但计算起来比较麻烦。例如，如起来比较麻烦。例如，如果想要求得果想要求得erf(1
19、) 0.84270，此时，此时幂幂级数至少要取级数至少要取10项。项。 当当 x 很大时，可以很大时，可以使用教科书使用教科书 105 页给页给出的渐近展开式进行出的渐近展开式进行计算，但要注意式中计算，但要注意式中的的 ( x)1/2 有误，应有误，应该改为该改为 1/2x后再计算。后再计算。七、七、在计算分子在计算分子通量的公式中应通量的公式中应用类比法的实例用类比法的实例 类比法是一种在科学研究类比法是一种在科学研究中常用的逻辑推理方法。使中常用的逻辑推理方法。使用类比法时，根据两类对象用类比法时，根据两类对象之间在某些方面的相似或相之间在某些方面的相似或相同，来推出它们在其他方面同，来
20、推出它们在其他方面也可能相似或相同。也可能相似或相同。 实际上，对于物理学中的某实际上，对于物理学中的某些现象，描述它们的数学表述些现象，描述它们的数学表述式有时可能极为相似，此时应式有时可能极为相似，此时应用类比推理方法，常常可以绕用类比推理方法，常常可以绕开复杂的、有时甚至是烦琐的开复杂的、有时甚至是烦琐的数学演算步骤，比较快捷地得数学演算步骤，比较快捷地得出明晰的物理结果。出明晰的物理结果。 设玻尔兹曼常量为设玻尔兹曼常量为 k，气体，气体的热力学温度为的热力学温度为 T，分子质量，分子质量为为 m，根据麦克斯韦速度分布，根据麦克斯韦速度分布律，在平衡态下，气体分子速律，在平衡态下，气体
21、分子速度分量度分量 vx的分布函数的分布函数 f(vx)为为 f(vx)=m/(2 kT)1/2 exp mvx2/(2kT). (1) 因此，速度分量因此，速度分量 vx取值在取值在 vx至至 vx+dvx 间隔内的气体分子数间隔内的气体分子数占总分子数的比率为占总分子数的比率为 f(vx)dvx. 如果气体分子数密度为如果气体分子数密度为 n，那，那速度分量速度分量 vx取值在取值在 vx至至 vx+dvx间隔内的气体分子在单位时间间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数内对单位面积器壁的碰撞次数将等于将等于nvxf(vx)dvx1。 而把而把 nvxf(vx)dvx 在从在从
22、 0到到 的区间内积分，就能的区间内积分，就能够得到具有各种速率的全够得到具有各种速率的全部气体分子在单位时间内部气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次对单位面积器壁的碰撞次数（即分子通量）数（即分子通量）J为为J= 0 nvxf(vx)dvx = 0 nm/(2 kT)1/2vx exp mvx2/(2kT)dvx =nkT/(2 m)1/2. (2) 可是根据麦克斯韦速率分可是根据麦克斯韦速率分布律，在平衡态下，气体分布律，在平衡态下，气体分子速率子速率 v 的分布函数的分布函数f(v)为为 f(v)=4 m/(2 kT)3/2v2 exp mv2/(2kT). (3) 由由(3)式可
23、知气体分子式可知气体分子的平均速率的平均速率 u 为为 u= 0 vf(v)dv = 0 4 m/(2 kT)3/2v3 exp mv2/(2kT)dv =8kT/( m)1/2. (4)利用利用(4)式可以把式可以把(2)式式化为化为 J=(n/4)u =(n/4) 0 vf(v)dv = 0 (n/4)vf(v)dv. (5) 由由(2)和和(5)式可得式可得 0 nvxf(vx)dvx=J = 0 (n/4)vf(v)dv. (6) 在以上导出在以上导出(2)式的过程中，式的过程中，nvxf(vx)dvx 表示速度分量表示速度分量 vx 取取值在值在 vx 至至 vx+dvx 间隔内的气
24、体间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，把器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx在从在从0到到 的区间内积分，就能的区间内积分，就能得到分子通量得到分子通量J. 而从而从(6)式可以看出：式式可以看出：式中的两个积分内的被积函中的两个积分内的被积函数数nvxf(vx)dvx和和(n/4)vf(v)dv的地位相当，的地位相当，它们的物理意义相似，因它们的物理意义相似，因而在这两者之间可以进行而在这两者之间可以进行类比推理。类比推理。 现在既然现在既然(n/4)vf(v)dv在从在从0到到 的区间内积分，也能得到的区间内积分，也能得到分子通量分子通量 J
25、. 可见可见 (n/4)vf(v)dv就表示速率取值在就表示速率取值在 v到到 v+dv间间隔内的气体分子在单位时间内隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数。对单位面积器壁的碰撞次数。据此处理某些相关问题，有时据此处理某些相关问题，有时往往会比较简捷。往往会比较简捷。 例如，如果需要计算在例如，如果需要计算在平衡态下，速率大于任意平衡态下，速率大于任意一个给定值一个给定值 v 的气体分子的气体分子在单位时间内对单位面积在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数（即速率器壁的碰撞次数（即速率大于任意一个给定值大于任意一个给定值 v 的的分子通量）分子通量）Jv 时，首先时，首先 需要导出速
26、率取值在需要导出速率取值在 v到到 v+dv 间隔内的气体间隔内的气体分子在单位时间内对单分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数位面积器壁的碰撞次数等于等于(n/4)vf(v)dv，相关，相关的推导步骤比较多。的推导步骤比较多。 可是如果将可是如果将 (n/4)vf(v)dv与与nvxf(vx)dvx进行类比，那进行类比，那就无需再去逐步推导，可就无需再去逐步推导，可以直接写出以直接写出 (n/4)vf(v)dv ，认为它正是速率取值在认为它正是速率取值在v到到v+dv 间隔内的气体分子在间隔内的气体分子在单位时间内对单位面积器单位时间内对单位面积器壁的碰撞次数，而只需要壁的碰撞次数，而只需
27、要把它在从把它在从 v 到到 的区间内的区间内积分就行了，即积分就行了，即 Jv = v (n/4)vf(v)dv. (7) 将将(3)式代入式代入(7)式计算，就能式计算，就能得到得到 Jv = v (n/4)4 m/(2 kT)3/2v3 exp mv2/(2kT)dv =nkT/(2 m)1/2 1+mv2/(2kT) exp mv2/(2kT). (8) 又如，可以导出利用分子又如，可以导出利用分子泻流现象产生的分子束（分泻流现象产生的分子束（分子射线）里的气体分子的速子射线）里的气体分子的速率分布函数率分布函数 fb(v) 的具体形的具体形式。实际上，分子泻流现象式。实际上，分子泻流
28、现象产生的分子束，在同位素分产生的分子束，在同位素分离技术和许多著名的物理实离技术和许多著名的物理实验里都有重要的应用验里都有重要的应用2。 若容器内贮有处于平衡态若容器内贮有处于平衡态下的气体（例如常用金属蒸下的气体（例如常用金属蒸汽），容器外抽成高真空，汽），容器外抽成高真空，当满足分子泻流存在的条件当满足分子泻流存在的条件（气体分子的平均自由程远（气体分子的平均自由程远大于容器壁上的泻流小孔的大于容器壁上的泻流小孔的线度）时，气体分子就能从线度）时，气体分子就能从小孔中逸出，形成分子束。小孔中逸出，形成分子束。 虽然在作为分子源的容器虽然在作为分子源的容器内的气体分子服从麦克斯韦内的气体
29、分子服从麦克斯韦速率分布律，其速率分布函速率分布律，其速率分布函数可以用数可以用(3)式表示。但是，式表示。但是，分子束里的气体分子的速率分子束里的气体分子的速率分布函数分布函数 fb(v)却不能用却不能用(3)式式来代表。此来代表。此 fb(v)的具体形式的具体形式可以用以下的方法导出。可以用以下的方法导出。 既然通过将既然通过将(n/4)vf(v)dv与与 nvxf(vx)dvx 进行类比，进行类比，能够得知能够得知(n/4)vf(v)dv就是就是速率取值在速率取值在v到到 v+dv 间隔间隔内的气体分子在单位时间内的气体分子在单位时间内对单位面积器壁的碰撞内对单位面积器壁的碰撞次数，如果
30、容器壁上的泻次数，如果容器壁上的泻流小孔的面积为流小孔的面积为dS，则，则在分子源里的速率取值在分子源里的速率取值在在v 到到v+dv 间隔内的气间隔内的气体分子在单位时间内从体分子在单位时间内从小孔中逸出的分子数应小孔中逸出的分子数应为为(n/4)vf(v)dvdS. 然而根据然而根据(5)式又可式又可知，在分子源里的各知，在分子源里的各种速率的气体分子在种速率的气体分子在单位时间内从小孔中单位时间内从小孔中逸出的分子数则应该逸出的分子数则应该为为(n/4)udS. 因此，按照速率分布因此，按照速率分布函数的定义就能得到：函数的定义就能得到：在分子束里速率取值在在分子束里速率取值在v到到 v
31、+dv 间隔内的气体间隔内的气体分子数占总分子数的比分子数占总分子数的比率率 dNvv+dv/N 就应当是就应当是dNvv+dv/N=fb(v)dv =(n/4)vf(v)dvdS /(n/4)udS =(v/u)f(v)dv. (9) 于是，由于是，由(9)、(3)和和(4)式式可得可得fb(v)=vf(v)/u =2m/(2kT)2v3 exp mv2/(2kT). (10) (10)式有时被称为麦式有时被称为麦克斯韦发射分克斯韦发射分布布（Maxwelltransmissiondistribution）3。 如果在平衡态下的气体分如果在平衡态下的气体分子的最概然速率为子的最概然速率为 vp，因为，因为vp=(2kT/m)1/2，故在引入无，故在引入无量纲量量纲量 x=v/vp后，也可以将后，也可以将fb(v)dv 化为以化为以 x表示的约化表示的约化形式形式Fb(x)dx. 由此可得由此可得 Fb(x)=fb(v)dv/dx =2x3 exp( x2). (11) 利用利用 (11)或或 (10)式，还式，还能进而求得分子束里的气能进而求得分子束里的气体分子的最概然速率体分子的最概然速率 vb.p 和平均速率和平均速率 ub分别为分别为 v=(3kT/m)1/2， (12) ub=9 kT/(8m)1/2. (13)
