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1、向量的减法运算向量的减法运算向量的减法运算复习1.向量加法的三角形法则（要点：两向量起点重合组成平行四（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考思考：如设如设实数实数 的相反数记作的相反数记作 。如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？ 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义回顾：回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相
2、反长度相同，方向相反的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。（1）（3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么2.2.2 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作： 的相反向量仍是的相反向量仍是 。二、向量的减法：二、向量的减法：（2）一、相反向量：规定：设向量 ，我们把与 BAC设设DE又又所以所以你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？ 不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？ BAC设DE又所以你能利用我们学过的向量的加法法则作出 三、几何意义：三、几何意义： 可以表示为从向量可
3、以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？（2）当）当 ， 共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ABOABO注意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地BAO（三角形法则）（三角形法则）练习：练习：三、几何意义： 可以表示为从向量已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。例例3OBACD作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，则则作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起
4、点相同，连接终点，指向被减向量的终点。已知向量 ，求作向量练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。（1）（2）（3）（4）练习：已知向量 ，求作向量 例例4在在 ABCD 中，中，你能用你能用 表示表示 吗？吗？DBAC变式变式 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时， 与与 互相垂直？互相垂直？ 例4在 ABCD 中，你能用 向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算aaaABCOa已知非零向量已知非零向量a a，作，作a+a+aa+a+a和和(-a)+(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a)-a-a-aPQMNaaaABCOa已知非零向量a，作a+a+a
5、和(-a)+(-一、向量的数乘运算的定义：注意：注意：注意：注意：比较两个向量时比较两个向量时比较两个向量时比较两个向量时, ,主要看它们的主要看它们的主要看它们的主要看它们的长度长度长度长度和和和和方向方向方向方向一、向量的数乘运算的定义：注意：比较两个向量时,主要看它们的(1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a) (a为为非零向量非零向量)，并进行比较。，并进行比较。(2) 已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2b，并进行比较。，并进行比较。=(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的
6、加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算三、向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称例例1：计算下列各式：计算下列各式例1：计算下列各式例例2. .如图：已知如图：已知 ， ，试判断试判断 与与 是否共线是否共线 与与 共线共线 解：解： 向量向量 与与非零向量非零向量 共线共线 有且仅有一个实数有且仅有一个实数 ，使得，使得 定理定理例2.如图：已知 ， 例例例例3 3： 如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点中，点中，点MM是是是是ABAB中点，点中点，点中点，点中点，点N
7、N在线段在线段在线段在线段BDBD上，且有上，且有上，且有上，且有BN= BDBN= BD，求证：，求证：，求证：，求证：MM、N N、C C三点共线。三点共线。三点共线。三点共线。提示：设提示：设提示：设提示：设AB = AB = a a BC = BC = b b则则则则MN= = MN= = a +a + b b MC= = MC= = a+a+ b b例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点提示向量的减法向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（二、几何意义（起点相同起点相同，由减向量的终点，由减向量的终点 指向指向被减向量被减向量的终点）。的终点）。课堂小结：课堂小结：向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（起点 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线向量的数乘向量的数乘 二、定理的应用：一、a 的定义及运算律向量的
