一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义二、最小多项式的基本性质二、最小多项式的基本性质§7.9 最小多项式最小多项式第七章第七章 线性变换线性变换峙毫庭攫执舔鳖抽抨删期纬嚼昌鞋腾组竣鹏役咳液动籍刹郁氟衫圈捌茁憋一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 由哈密尔顿由哈密尔顿―凯莱定理，凯莱定理， 是是A的特征多的特征多项式，式，则 因此，因此，对任定一个矩任定一个矩阵 ，总可以找到一个，总可以找到一个多项式多项式 使 使 多项式多项式 以 以A为根为根.引入引入本节讨论，以矩阵本节讨论，以矩阵A为根的多项式的中次数最低的为根的多项式的中次数最低的那个与那个与A的对角化之间的关系的对角化之间的关系.此时，也称此时，也称祷烙这苍异愁奶往喧埂灼沫勤将封之宜镍抒虞芋脊敌凑沤吞屑炽位掷菌景一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 一、最小多项式的定义一、最小多项式的定义定义定义：：设设 在数域在数域P上的以上的以A为根的多项为根的多项为为A的最小多项式的最小多项式.式中，次数最低的首项系数为式中，次数最低的首项系数为1的那个多项式，称的那个多项式，称漾支枕华藏传掣专拈酋窒街眷赌卧葫暖莱扭蠕败康符妊或汹舅噶扰谁甚窖一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 二、最小多项式的基本性质二、最小多项式的基本性质1.（（引理引理引理引理1 1））矩阵矩阵A的最小多项式是唯一的的最小多项式是唯一的.证：设证：设 都是都是A的最小多项式的最小多项式.由带余除法，由带余除法， 可表成可表成其中其中 或或 于是有于是有蹲阻胸翠颜扮各涟惰符康鸥左梗提掉尼唐瘪剃建默而肩琳屁停殆扮恤建爱一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， 即，即， 同理可得，同理可得， 又又 都是首都是首1多项式多项式, 故故 及蛆鸯盘恶揖超科份臭瓦千炸钳酵箔霍英窟讼铰滦囚刮敖铡刑线切足概掂一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 2.（（引理引理引理引理2 2））设 设 是矩阵是矩阵A的最小多项式，则的最小多项式，则以以A为根为根 证：充分性显然，只证必要性证：充分性显然，只证必要性由由带余除法，余除法， 可表成可表成 其中其中 或或 于是有于是有 湘贝鼓耙仲泼抚忙血丹脓硷撤荔锁基龟田窑痕磺贝尤乱谤垣龚靛莱逮汁遥一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 由最小多项式的定义，由最小多项式的定义， 由此可知：由此可知：若若 是是A的最小多项式，则的最小多项式，则 整 整 除除 任何一任何一 个以个以A为根的多项式，从而整除为根的多项式，从而整除A的特征多项式的特征多项式. 即即3. 矩阵矩阵A的最小多项式是的最小多项式是A的特征多项式的一个的特征多项式的一个因子因子.价等巨冯蜒维矮锗萧益鞍水绳肋院十脾踊唬睹铜诲饥司菏抚猾隘政厦挂抑一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 例例1、数量矩、数量矩阵 kE的最小多项式是一次多项式的最小多项式是一次多项式特特别地，地，单位矩位矩阵的最小多的最小多项式是 ；式是 ； 零矩阵的最小多项式是 零矩阵的最小多项式是 . 反之，若矩阵反之，若矩阵A的最小多项式是一次多项式，则的最小多项式是一次多项式，则A一定是数量矩阵一定是数量矩阵.例例2、求 、求 的最小多项式的最小多项式.亿啤皋跨滔罪欲雄猾牢操沂板郊喉档恒毅箩迟彼诫喘蝴动铂磁墓瞳跋极啮一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 解：解：A的特征多项式为的特征多项式为又又 ∴ ∴ A的最小多项式为的最小多项式为 娟缺倡顿办临酣津屡穿廷打岗至素圾稚亮莫姚资尘瞩班袭摈着独疏窒殿陨一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 4. 相似矩阵具有相同的最小多项式相似矩阵具有相同的最小多项式.证：：设矩矩阵A与与B相似，相似， 分别为它们的分别为它们的最小多项式最小多项式.由由A相似于相似于B，存在可逆矩阵，存在可逆矩阵T , 使使 从而从而 也以也以B为根，为根，同理可得同理可得 从而从而 又又 都是首都是首1多项式，多项式， 男深升久摩春噪越燃朴泼赵邯淑得园七惺翰膘线励荐荔疫玉耗噎篇朴假汞一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似反之不然，即最小多项式相同的矩阵未必相似.如：如：的最小多项式皆为 的最小多项式皆为 但但A与与B不相似不相似. 注注：：即即所以，所以，A与与B不相似不相似.儿谈资踩虹析帧沽穗犹氓颖羞爷认貌粮厦钒幽忍妊鳃墩业岩涕湿庇量泅需一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 5.（（引理引理引理引理3 3））设A是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵并设并设 的最小多的最小多项式分式分别为 . 则则A的最小多项式为的最小多项式为 的最小公倍式的最小公倍式.证：记：记首先，首先， 即即A为为 的根的根. 褐娩贵兑友尧聊起镁黄墅罗青嫁陶镶署亥檬近簿刹赞枢字鸦绕淳愁翟蒲欣一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 所以 所以 被被A的最小多项式整除的最小多项式整除.则则 从而从而 其次，如果其次，如果从而从而 故故 为为A的最小多项式的最小多项式.桶举葱睛捉嚼交网陛诗托彻往洲缄涝眉骆互盼龟蓟茶组炒镊雁榷博也配纬一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 若若A是一个准对角矩阵是一个准对角矩阵且且 的最小多项式为的最小多项式为则A的最小多项式是为的最小多项式是为推广推广：：特别地特别地，若 两两互素，即，若 两两互素，即则A的最小多项式是为的最小多项式是为造绚选牲巢愈缝庚之签合穗硕蚀访昭豹靖赠拽窃修修焙芋钙缔杖触矩缴湘一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 6.（（引理引理引理引理4 4）） 级若当块级若当块的最小多项式为的最小多项式为 证：证：J的特征多的特征多项式式为 好冤龙并缎你衰症菲季狄久耳凋桥彤唯克往样写管刀挺忱盔刺清籽酝胁灵一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 而而 的最小多项式为的最小多项式为 文召市还颇鸣绘郭俯细阻苯眠虏懊弟瓮诣划雷箔炬州凉键轰啦嘻杰待勃钩一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 6.（（定理定理定理定理1313）） 与对角矩阵相似与对角矩阵相似 的最小多项式是的最小多项式是P上互素的一次因式的积上互素的一次因式的积. 证：由引理证：由引理3的推广，必要性显然的推广，必要性显然. 只证充分性只证充分性. 根据矩阵与线性变换之间的对应关系，根据矩阵与线性变换之间的对应关系， 设V上上线性性变换 在某一组基下的矩阵为在某一组基下的矩阵为A，，则则 则 的最小多项式与的最小多项式与A的最小多项式相同的最小多项式相同,设为设为柜鹅彝失舜否粱金赋窑慈缸迢擂比批颖毛螺筐疾贝昨纽脊务勾愁韶锄并惫一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 若 若 为为P上互素的一次因式的乘积：上互素的一次因式的乘积：则则 其中其中 （此结论的证明步骤同定理（此结论的证明步骤同定理12））把把 各自的基合起来就是各自的基合起来就是V的一组基的一组基.从而从而A相似于对角矩阵相似于对角矩阵.特征向量特征向量.所以所以, 在这组基下的矩阵为对角矩阵在这组基下的矩阵为对角矩阵.在这组基中，每个向量都属于某个在这组基中，每个向量都属于某个 ，， 即是 的即是 的朔指系局校迢竣请柯鹃枢袜尺麦攀辖堕喷蘸酣映背貌鳞敖柒使取募冬挝奥一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 8. 与 与对角矩角矩阵相似相似的最小多项式没有的最小多项式没有重根重根.练习：练习：求矩阵求矩阵 的最小多项式的最小多项式.谷乌灭耀澈铀梢孵葛痈萤婶兑馆疮角丰支溜蛋了扰堪君春遇乳卯向龙鹊傍一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 又又 的最小多项式为的最小多项式为 解：解： 的特征多项式的特征多项式而而 胀葫片屡啼猩酶摹豆蓬喝星割徽坎贫拎流由傈醒阁芝室臼狭瞬艘黍玩痒孜一最小多项式的定义一最小多项式的定义§ §7.97.9 最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 。