斐波那契数列

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1、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列与黄金分割1我们先来做一个游戏！我们先来做一个游戏！2十秒十秒钟钟加加数数请请用十秒，用十秒，计算计算出出左左边边一一列数列数的的和和。1235813213455+89?时间到时间到！答案是答案是 231231。3十秒十秒钟钟加加数数再再来来一次！一次！3455891442333776109871597+2584?时间到时间到！答案是答案是 67106710。4这与这与“斐波那契斐波那契数数列列”有关有关若一若一个数个数列，列，前两项前两项等等于于1 1，而，而从从第三第三项项起，每一起，每一项项是是其其前前两项两项之和，之和，则称则称该数列为该数列为斐波那契

2、斐波那契数数列列。即：。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 5 一、兔子问题和斐波那契数列一、兔子问题和斐波那契数列 1 兔子问题兔子问题 1） 问题问题 取自意大利数学家取自意大利数学家斐波那契的斐波那契的算盘书算盘书（1202年）年） (L.Fibonacci,1170-1250(L.Fibonacci,1170-1250）兔子问题兔子问题 假设假设一一对对初生兔子要初生兔子要一个月一个月才到成熟才到成熟期，而一期，而一对对成熟兔子每月成熟兔子每月会会生一生一对对兔子，兔子，那那么么，由一，由一对对初生兔子初生兔子开开始，始，12 12 个个月月后会后会有多少有多

3、少对对兔子呢？兔子呢？7解答解答1 1 月月 1 1 对对8解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对9解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对10解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对11解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对12解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5

4、5 对对6 6 月月 8 8 对对13解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对7 7 月月13 13 对对14解答解答可以可以将结将结果以列果以列表表形式形式给给出：出：1 1月月2 2月月3 3月月5 5月月4 4月月6 6月月7 7月月8 8月月9 9月月1111月月1010月月1212月月1 11 12 23 35 58 813132121343455558989144144因此，斐波那契因此，斐波那契问题问题的答案是的答案是 144144对对。以以上数列上数列，

5、即即“斐波那契斐波那契数数列列”15 兔子问题的另外一种提法：兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？个月时，共有多少对兔子？ 月月 份份 大兔对数大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子到十二月时有大兔子144对，小兔子对，小兔子89对，对，共有兔子共有兔子144+89=233对。对。规律规律16 2 斐波那契数列斐波那契数列 1） 公式公式 用用 表示第表示第 个月大兔子的对数

6、，则有个月大兔子的对数，则有二阶递推公式二阶递推公式 17 2） 斐波那契数列斐波那契数列 令令n = 1, 2, 3, 依依次次写写出出数数列列，就就是是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377， 这这就就是是斐斐波波那那契契数数列列。其其中中的的任任一一个个 数，都叫数，都叫斐波那契数斐波那契数。 18 思思：请构造一个请构造一个3阶递推公式。阶递推公式。19 二、二、 相关的问题相关的问题 斐斐波波那那契契数数列列是是从从兔兔子子问问题题中中抽抽象象出出来来的的，如如果果它它在在其其它它方方面面没没有有应应用用，它它就就不不会会有有强强大大的的生生

7、命命力力。发发人人深深省省的的是是，斐斐波那契数列确实在许多问题中出现。波那契数列确实在许多问题中出现。20 1 跳格游戏跳格游戏 21 如图，一个人站在如图，一个人站在“梯子格梯子格”的起点处的起点处向上跳，从格外只能进入第向上跳，从格外只能进入第1 1格，从格中，格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：每次可向上跳一格或两格，问：可以用多可以用多少种方法，跳到第少种方法，跳到第n n格？格？ 解：设跳到第解：设跳到第n n格的方法有格的方法有 种。种。 由于他跳入第由于他跳入第1 1格，只有一种方法；跳入格，只有一种方法；跳入第第2 2格，必须先跳入第格，必须先跳入第1 1格，所以也只有一

8、格，所以也只有一种方法，从而种方法，从而 22 而能一次跳入第而能一次跳入第n格的，只有第格的，只有第 和第和第 两格，因此，跳入第两格，因此，跳入第 格的方法格的方法 数，是跳入第数，是跳入第 格的方法数格的方法数 ，加上跳入，加上跳入 第第 格的方法数格的方法数 之和。之和。 即即 。综合得递推公式。综合得递推公式 容易算出，跳格数列容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，23 2 连分数连分数 这这 不不 是是 一一 个个 普普 通通 的的 分分 数数 ， 而而 是是 一一 个个 分分母母 上上 有有 无无 穷穷 多多 个个“1 ”

9、的的 繁繁 分分 数数 ， 我我 们们 通通 常常称这样的分数为称这样的分数为“连分数连分数”。24 上述连分数可以看作是上述连分数可以看作是 中，把中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是第一次代入得到的是 反复迭代，就得到上述连分数。反复迭代，就得到上述连分数。25 上述这一全部由上述这一全部由1构成的连分数，构成的连分数，是最简单的一个连分数。是最简单的一个连分数。26 通常，求连分数的值，如同求无理数的通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。值一样，我们常常需要求它的近似值。 如果把该连分数从第如

10、果把该连分数从第 条分数线截住，即条分数线截住，即把第把第 条分数线上、下的部分都删去，就条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第得到该连分数的第 次近似值，记作次近似值，记作 。27 对照对照 可算得可算得 28 发现规律后可以改一种方法算，发现规律后可以改一种方法算， 例如例如 顺序排起来，顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为这个连分数的近似值逐次为 29 3 黄金矩形黄金矩形 1） 定定义义：一一个个矩矩形形，如如果果从从中中裁裁去去一一个个最最大大的的正正方方形形，剩剩下下的的矩矩形形的的宽宽与与长长之之比比，与与原原矩矩形形的的一一样样（即即剩剩下下的的矩矩形形与与原原矩矩形形

11、相相似似），则则称称具具有有这这种种宽宽与与长长之之比比的的矩矩形形为为黄黄金金矩矩形形。黄黄金金矩矩形形可可以以用用上上述述方法无限地分割下去。方法无限地分割下去。3031 2） 试求黄金矩形的宽与长之比（也称为试求黄金矩形的宽与长之比（也称为黄金比）黄金比） 解：设黄金比为解：设黄金比为 ，则有，则有 将将 变形为变形为 ，解，解 得得 ，其正根为，其正根为 。 32 3） 与斐波那契数列的联系与斐波那契数列的联系 为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们 把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。化把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。化 连分数时

12、，沿用刚才连分数时，沿用刚才“迭代迭代”的思路：的思路： 33 反复迭代，得反复迭代，得 34 它它竟竟然然与与我我们们在在上上段段中中研研究究的的连连分分数数一一样样！因因此此，黄黄金金比比的的近近似似值值写写成成分分数数表表达的数列，也是，达的数列，也是， 其其分分子子、分分母母都都由由斐斐波波那那契契数数列列构构成成。并并且，这一数列的极限就是黄金比且，这一数列的极限就是黄金比 。35 三、三、 黄金分割黄金分割 1 定义：定义：把任一线段分割成两段，把任一线段分割成两段，使使 ，这样的分割叫黄金分割，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）（可

13、以有两个分割点） 1小段小段大段大段36 2 求黄金比求黄金比 解：设黄金比为解：设黄金比为 ，不妨设全段长为，不妨设全段长为 1，则大段，则大段= ，小段，小段= 。 故有故有 ， 解得解得 ，其正根为，其正根为 A B 小段小段大段大段37 3 黄金分割的尺规作图黄金分割的尺规作图 设线段为设线段为 。作。作 ，且，且 ，连，连 。作。作 交交 于于 ，再作再作 交交 于于 ，则，则 ， 即即为为 的黄金分割点。的黄金分割点。38 证：不妨令证：不妨令 ，则，则 ， ， ， 证完。证完。39 4. 黄金分割的美黄金分割的美 黄黄金金分分割割之之所所以以称称为为“黄黄金金”分分割割，是是比比

14、喻喻这这一一“分分割割”如如黄黄金金一一样样珍珍贵贵。黄黄金金比比，是是工工艺艺美美术术、建建筑筑、摄摄影影等等许许多多艺艺术术门门类类中中审审美美的的因因素素之之一一。认认为为它它表表现现了了恰恰到好处的到好处的“合谐合谐”。 例如例如:40 1） 人体各部分的比人体各部分的比 肚肚 脐脐 ： （头（头脚）脚） 印堂穴：印堂穴： （口（口头顶）头顶） 肘关节：肘关节： （肩（肩中指尖）中指尖） 膝膝 盖：盖： （髋关节（髋关节足尖）足尖）412） 著名建筑物中各部分的比著名建筑物中各部分的比 如埃及的金字塔，如埃及的金字塔，高（高（137米）与底边长米）与底边长（227米）之比为米）之比为0

15、.629古希腊的巴特农古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅神殿，塔高与工作厅高之比为高之比为340 5530.61542 3） 美观矩形的美观矩形的 宽长比宽长比 如国旗和其它用到如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家矩形的地方（建筑、家具）具） 4） 风景照片中，风景照片中， 地平线位置的安排地平线位置的安排 435） 正五角星中的比正五角星中的比44 6） 舞台报幕者舞台报幕者 的最佳站位的最佳站位 在整个舞台宽度的在整个舞台宽度的0.618处较美处较美 7） 小说、戏剧的小说、戏剧的 高潮出现高潮出现 在整个作品的在整个作品的0.618处较好处较好45 四、四、 优选法优选法 1 华罗庚的优选

16、法（华罗庚的优选法（“0.618法法”） 二二十十世世纪纪六六十十年年代代，华华罗罗庚庚创创 造造了了 并并证证 明明了了优优选选法法，还还用用很很大大的的精精力力去去推推 广广优优选法。选法。 “优优选选法法”，即即对对某某类类单单因因素素问问题题，用用最少的试验次数找到最少的试验次数找到“最佳点最佳点”的方法。的方法。46 例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到克到2000克之间，现克之间，现求最佳加入量

17、求最佳加入量，误差，误差不得超过不得超过1克。最克。最“笨笨”的方法是分别加入的方法是分别加入100克，克，1002克，克，1000克，做克，做1千次试千次试验，就能发现最佳方案验，就能发现最佳方案。47 一种动脑筋的办法是二分法，取一种动脑筋的办法是二分法，取10001000克克20002000克的中点克的中点15001500克。再取进一步二分法的中点克。再取进一步二分法的中点12501250克与克与17501750克，分别做两次试验。如果克，分别做两次试验。如果17501750克处效克处效果较差，就删去果较差，就删去17501750克到克到20002000克的一段，如果克的一段，如果125

18、01250克处效果较差，就删去克处效果较差，就删去10001000克到克到12501250克的一克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种决定下一次的取舍，这种“二分法二分法”会不断接近会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。减少。48 表表 面面 上上 看看 来来 ， 似似 乎乎 这这 就就 是是 最最 好好 的的 方方法法 。 但但 华华 罗罗 庚庚 证证 明明 了了 ， 每每 次次 取取 中中 点点 的的 试试 验验方方 法法 并并 不不 是是 最最 好好 的

19、的 方方 法法 ； 每每 次次 取取 试试 验验 区区 间间的的 0 . 6 1 8处处 去去 做做 试试 验验 的的 方方 法法 ， 才才 是是 最最 好好的，称之为的，称之为“优选法优选法”或或“0.618法法”。 华华 罗罗 庚庚 证证 明明 了了 ， 这这 可可 以以 用用 较较 少少 的的 试试 验验次数，较快地逼近最佳方案。次数，较快地逼近最佳方案。49 2 黄金分割点的再生性和黄金分割点的再生性和“折纸法折纸法” 黄金分割点的再生性黄金分割点的再生性50 即：即： 如果是如果是 的黄金分割点，的黄金分割点， 是是 的的黄金分割点，黄金分割点， 与与 当然关于中点当然关于中点 对称

20、。对称。特殊的是，特殊的是， 又恰是又恰是 的黄金分割点。同样，的黄金分割点。同样，如果如果 是是 的黄金分割点，则的黄金分割点，则 又恰是又恰是 的黄金分割点，等等，一直延续下去的黄金分割点，等等，一直延续下去 。再生再生51 寻找最优方案的寻找最优方案的“折纸法折纸法” 根据黄金分割点的再生性，我们可以设根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法计一种直观的优选法“折纸法折纸法”。 仍以上边仍以上边“在钢水中添加某种元素在钢水中添加某种元素”的问的问题为例。题为例。 52 用一个有刻度的纸条表达用一个有刻度的纸条表达10001000克克20002000克。在克。在这纸条长度的这纸

21、条长度的0.6180.618的地方划一条线，在这条线所指的地方划一条线，在这条线所指示的刻度上做一次试验，也就是按示的刻度上做一次试验，也就是按16181618克做第一次试克做第一次试验。验。 然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地方，再划一条线（再划一条线（黄金分割点黄金分割点），这条线在），这条线在13821382克处，再克处，再按按13821382克做第二次试验。克做第二次试验。53 把把两两次次试试验验结结果果比比较较，如如果果1618克克的的效效果果较较差差，我我们们就就把把1618克克以以外外的的短短的的一一段段纸纸条条剪剪去去（如如果

22、果1382克克的的效效果果较较差差，就就把把1382克克以以外外的一段纸条剪去）。的一段纸条剪去）。 再再把把剩剩下下的的纸纸条条对对折折，纸纸条条上上剩剩下下的的那那条条线线 落落 在在 下下 一一 层层 纸纸 的的 地地 方方 ， 再再 划划 一一 条条 线线 （黄黄 金金分割点分割点），这条线在），这条线在 1236克处。克处。54 按按1236克做第三次试验，再和克做第三次试验，再和1382克的试验效果比较，如果克的试验效果比较，如果1236克的效果较克的效果较差，我们就把差，我们就把1236克以外的短的一段纸条克以外的短的一段纸条剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试剪去。再对折剩下的

23、纸条，找出第四次试验点是验点是1472克。克。 55 按按1472克做试验后，与克做试验后，与1382克的效克的效果比较，再剪去效果较差点以外的短的一果比较，再剪去效果较差点以外的短的一段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次比一次接近我们的需要，直到达到我们满比一次接近我们的需要，直到达到我们满意的精确度。意的精确度。56 注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的条的长度是上次长度的0.6180.618倍。因此，纸条的

24、长倍。因此，纸条的长度按度按0.6180.618的的k k次方倍逐次减小，以次方倍逐次减小，以指数函数指数函数的速的速度度迅速迅速趋于趋于0 0。所以，。所以，“0.6180.618法法”可以较快地找可以较快地找到满意的点。到满意的点。 事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为任一个点都可以作为“满意满意”的点了，因为最优的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。于纸条的长。57 0.618这个这个“黄金比黄金比”能产生能产生“优优选法选法”，这告诉我们，这告诉我们，美的

25、东西美的东西与与有用有用的东西的东西之间，常常是有联系的之间，常常是有联系的。58 3 最优化数学最优化数学 生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发展成一门展成一门“最优化数学最优化数学”，包括规化论（线性规划、，包括规化论（线性规划、非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最选法、多因素正

26、交实验法、分批实验法），组合最优化等等。优化等等。59 用导数的方法求极值是用连续的手段处理最用导数的方法求极值是用连续的手段处理最优化问题，优选法优化问题，优选法“0.618法法”则是用离散的手段则是用离散的手段处理最优化问题。处理最优化问题。 应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应用到实践中去的一条经常的重要的途径。应用到实践中去的一条经常的重要的途径。 我们以后将要做的我们以后将要做的“找次品找次品”趣题，也是要最趣题，也是要最大限度地发挥天平的作用，用最少的次数找出次大限度地发挥天平的作用，用最少的次数找出次品来，也是一个最优化问题。品来，也是一

27、个最优化问题。60 五、数学的统一美五、数学的统一美 数学中，数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得从不同的范畴，不同的途径，得到同一个结果到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。的情形是屡见不鲜的。 这反映了客观世界的这反映了客观世界的多样性多样性和和统一性统一性，也反，也反映了数学的统一美。映了数学的统一美。 黄金分割点黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问的得到，是一个能说明问题的例子题的例子61 从从不同途径导出黄金比不同途径导出黄金比 1 黄黄金金分分割割： 线线段段的的分分割割点点满满足足 ，这一比值正是，这一比值正是 。 2 斐波那契数列组成的分数数列斐波那契数列组成的分数数列 的

28、极限正是 。 62 3 方程方程 的正根的正根是是 4 黄金矩形的宽长之比正是黄金矩形的宽长之比正是 5 连分数连分数 的的值正是值正是 6 优选法的试验点，正是优选法的试验点，正是 我们看到了数学的统一美。我们看到了数学的统一美。 63 六、六、 斐波那契协会和斐波那契协会和斐波那契季刊斐波那契季刊 1 斐波那契协会和斐波那契协会和斐波那契季刊斐波那契季刊 斐斐 波波 那那 契契1 12 20 02 2年年 在在算算 盘盘 书书中中 从从 兔兔 子子问问 题题 得得 到到 斐斐 波波 那那 契契 数数 列列1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1 13 3，之之后后，并并没没有有进

29、进一一步步探探讨讨此此序序列列，并并且且在在1 19 9世世纪纪初初以以前前，也也没没有有人人认认真真研研究究过过它它。没没想想到到过过了了几几百百年年之之后后，十十九九世世纪纪末末和和二二十十世世纪纪，这这一一问问题题派派生生出出广广泛泛的的应应用用，从从而而突突然然活活跃起来，成为热门的研究课题。跃起来，成为热门的研究课题。64 有人比喻说，有人比喻说，“有关斐波那契数有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快增长得还快”，以致，以致19631963年成立了年成立了斐波那契协会斐波那契协会，还出版了，还出版了斐波那斐波那契季刊契季刊。 65 2 斐

30、波那契生平斐波那契生平 斐波那契斐波那契 （Fibonacci.L,1175Fibonacci.L,117512501250） 出生于意大利的比萨。他小时候就出生于意大利的比萨。他小时候就 对算术很对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度到东方国家的数学。斐波那契确信印度阿拉伯阿拉伯计算方法在实用上的优越性。计算方法在实用上的优越性。12021202年，在回到家年，在回到家里不久，他发表了著名的里不久，他发表了著名的算盘书

31、算盘书。66 斐波那契的才能受到弗里德里希二世斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。 他的最重要的成果在不定分析和数论他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了方面，除了算盘书算盘书外，保存下来的还外，保存下来的还有有实用几何实用几何等四部著作。等四部著作。67 3 自然界中的斐波那契数自然界中的斐波那契数 斐斐波波那那契契数数列列中中的的任任一一个个数数，都都叫叫斐斐波波那那契契数数。斐斐波波那那契契数数是是大大自自然然的的一一个个基基本模式，它出现在许多场合

32、。本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。下面举几个例子。68 1 1） 花瓣数中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有例如，兰花、茉利花、百合花有3 3个花瓣，毛茛属的植物有个花瓣，毛茛属的植物有5 5个花瓣，翠雀属个花瓣，翠雀属植物有植物有8 8个花瓣，万寿菊属植物有个花瓣，万寿菊属植物有1313个花瓣，个花瓣，紫菀属植物有紫菀属植物有2121个花瓣，雏菊属植物有个花瓣，雏菊属植物有3434、5555或或8989个花瓣。个花瓣。69花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的

33、数数目目海棠（海棠（2 2）铁兰铁兰（3 3）70洋紫荊（洋紫荊（5 5）蝴蝶蝴蝶兰兰（5 5）黃黃蝉蝉（5 5）花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目71花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目雏雏菊（菊（1313）雏雏菊（菊（1313）722 2）树杈）树杈的的数数目目13853211733 3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数74 75 向日葵花盘内，种子是按对数螺线排向日葵花盘内，种子是按对数螺线排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个螺线。两组螺线的

34、条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是斐波那契数，一般是34和和55，大向日葵是，大向日葵是89和和144，还曾发现过一个更大的向日葵，还曾发现过一个更大的向日葵有有144和和233条螺线，它们都是相继的两个条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。斐波那契数。76 松果松果种种子的排列子的排列77 松果松果种种子的排列子的排列78 松果松果种种子的排列子的排列79菜花表面排列的螺线数（菜花表面排列的螺线数（5-85-8）80 这一模式几个世纪前已被注意到，此后这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是：这是植

35、物生长的动年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角是黄金角137.50776度；这使种子的堆集度；这使种子的堆集效率达到最高。效率达到最高。81 4 4）斐波那契斐波那契数与数与音音乐乐3253828583 4 科学中的斐波那契数列科学中的斐波那契数列 1） 电路中的斐波那契数列电路中的斐波那契数列 如下图那样专门设计的电路，如下图那样专门设计的电路， 表示的表示的都是都是1欧姆的电阻，最后一个分支中的电流欧姆的电阻，最后一个分支中的电流为为1安培，则加在电阻上的电压（从右至左）安培，则加在电阻上的电压（从右至左

36、）恰好是斐波那契数列：恰好是斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，84加在电阻上的电压，从右至左，恰是加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契斐波那契数数列列1，1，2，3，5，8，13，21,85 2） 通过面对面的玻璃板的斜光线的通过面对面的玻璃板的斜光线的不同路线条数不同路线条数 反射次数为反射次数为0的光线以唯的光线以唯一的一种路线通过玻璃板；一的一种路线通过玻璃板； 反射次数为反射次数为1的光线可以的光线可以以以2种路线通过玻璃板；种路线通过玻璃板； 反射次数为反射次数为2的光线可以的光线可以以以3种路线通过玻璃板；种路线通过玻璃板； 反射次数为反射次数为3的光线可以的光线可以

37、以以5种路线通过玻璃板；种路线通过玻璃板； 反射次数为的光线可以以反射次数为的光线可以以种路线通过玻璃板；种路线通过玻璃板；86 3） 股票指数增减的股票指数增减的“波浪理论波浪理论” 完完整整周周期期3上上2下下 （ 或或5上上3下下 或或3上上5下），常是相继两斐波那契数；下），常是相继两斐波那契数； 每每次次股股指指增增长长幅幅度度（8，13等等）或或回回调调幅幅度度（8，5），常常是是相相继继两两斐斐波波那那契契数。数。 股指变化有无规律？回答是肯定的。股指变化有无规律？回答是肯定的。8788 1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后，发

38、现了股指增减的微妙规律，并分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的提出了颇有影响的“波浪理论波浪理论”。该理论认为：。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的（股指变化的图象）上的5（或（或8）个波组成，其）个波组成，其中中3上上2下（或下（或5上上3下），如图，无论从小波还是下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。从大波波形上看，均如此。 注意这儿的注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中均系斐波那契数列中的数。的数。89 同同时时，每每次次股股指指的的增增长长幅幅度度常常循循斐斐波波那那

39、契契数数列列中中数数字字规规律律完完成成。比比如如：如如果果某某日日股股指指上上升升8点点，则则股股指指下下一一次次攀攀升升点点数数为为13；若若股股指指回回调调，其其幅幅度度应应在在5点点 左左右右。显显然然，5、8、13为为斐斐氏氏数数列列的的相相邻邻三三项。项。9091 可可以以说说，斐斐波波那那契契以以他他的的兔兔子子问问题题，猜猜中中了了大大自自然然的的奥奥秘秘，而而斐斐波波那那契契数数列列的的种种种种应应用用，是是这这个个奥奥秘秘的的不不同同体体现现。妙妙哉哉数学！数学！92 5 推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列 卢卡斯卢卡斯数列数列 1） 卢卡斯数列卢卡斯数列 卢卡斯（卢卡斯

40、（Lucas，F.E.A. 1824-1891） 构造了一类更值得研究的数列，现被构造了一类更值得研究的数列，现被称为称为“推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列”，93 即从任何两个正整数开始，往后的每即从任何两个正整数开始，往后的每一个数是其前两个数之和，由此构成无穷一个数是其前两个数之和，由此构成无穷数列。此即，二阶递推公式数列。此即，二阶递推公式 中，递推式与前面一样，而起始整数中，递推式与前面一样，而起始整数 可任取。可任取。94 斐波那契数列斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 是这类数列中最简单的一个，起始整数是这类数列中最简单的一个，起始整数 分别取为分别取为1、1。 次简单的为

41、次简单的为1，3，4，7，11，18， 现称之为现称之为卢卡斯数列卢卡斯数列。 卢卡斯数列的通项公式是卢卡斯数列的通项公式是 95 推推广广的的斐斐波波那那契契数数列列与与斐斐波波那那契契数数列列一一样样，与与黄黄金金分分割割有有密密切切的的联联系系：该该数数列列相相邻邻两两数数之之比比，交交替替地地大大于于或或小小于于黄黄金金比比；并并且且，两两数数之之比比的的差差随随项项数数的的增增加加而而越越来来越越小小，趋趋近近于于0，从从而而这这个个比比存存在在极极限；而且限；而且这个比的极限也是黄金比这个比的极限也是黄金比 。 96类似于前面提到的数列类似于前面提到的数列 其极限也是其极限也是97

42、2） 用斐波那契数列及其推广变魔术用斐波那契数列及其推广变魔术 让观众从你写出的斐让观众从你写出的斐波那契数列中任意选波那契数列中任意选定连续的十个数，你定连续的十个数，你能很快说出这些数的能很快说出这些数的和。和。 其实有公式：这个和，就其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数是所选出的十个数中第七个数的的11倍。倍。 1 1 2 3 5 8132134558914423337761098798“十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密数学数学家家发现发现：连续连续 1010个个斐波斐波那契那契数数之和，必定之和，必定等于第等于第 7 7个数个数的的 11 11 倍！倍！123581321

43、3455+89?所以右式的答案是：21 11 = 23199“十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密又例如：右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710100 让观众从你写出推广的斐波那契让观众从你写出推广的斐波那契数列中任何地方划一条线，你能迅速数列中任何地方划一条线，你能迅速说出说出“这条线之前所有各数这条线之前所有各数”的和。的和。 其实有公式：前其实有公式：前 项和项和 = 表示卢卡斯数列的第表示卢卡斯数列的第 项。项。 (请大家课下自己制作请大家课下自己制作)101 6 斐波那契数列的一些更深刻的性质斐波那契数列的一些更深刻的性质

44、 1） 通项公式通项公式 一一个个正正整整数数序序列列的的通通项项，竟竟然然可可以以用用带带有有无无理理数数 的式子表达，这是十分的式子表达，这是十分意外的结果意外的结果。 该证明由法国数学家比内（该证明由法国数学家比内（Binet）做出。）做出。 南南 开开 大大 学学 数数 学学 学学 院院 学学 生生 吴吴 云云 辉辉 、 李李 明明 昱昱 曾曾 经经 在在“数数学学文文化化”课课的的读读书书报报告告中中，给给出出了了这这一一通通项项公公式式的的多个证明多个证明102 2） 斐波那契数列的后项除以前项做斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列成的分数数列 的极限为黄金的极限为黄金比的倒数

45、比的倒数 称为第二黄金比。称为第二黄金比。 即有即有 103本节结束本节结束谢谢谢谢104105 思思 请构造一个请构造一个3阶递推公式。阶递推公式。 答：答： 例如例如 106107斐波那契斐波那契数数列列的有趣特性的有趣特性数学数学家家发现发现了了许多许多斐波那契斐波那契数数列的特列的特性。例如：性。例如：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 第第3 3、6 6、9 9、1212等项等项的的数数字能被字能被2 2整除。整除。第第4 4、8 8、1212等项等项的的数数字能被字能被3 3整除。整除。第第5 5、1010等

46、项等项的的数数字能被字能被5 5整除。整除。其其余依余依此此类类推。推。108从斐波那契数列体味数学文化从斐波那契数列体味数学文化要善于从生活中发现问题要善于从生活中发现问题解决问题，首先要明确概念，提炼解决问题，首先要明确概念，提炼其精髓其精髓采取合适的方法（如列表）是关键采取合适的方法（如列表）是关键善于总结，从而得出一般规律（这善于总结，从而得出一般规律（这里，建立了二阶递推公式）里，建立了二阶递推公式）109斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250）110 2） 列表解题列表解题 分析、抓住本质、简化。分析、抓住本质、简化。 题中本质上有两类兔子：一类是能生题中本质上有两类

47、兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子。求的是大兔子与小兔子的总长成大兔子。求的是大兔子与小兔子的总和。和。111 2 2） 深入观察规律深入观察规律 每月小兔对数每月小兔对数=上月大兔对数。上月大兔对数。 每每月月大大兔兔对对数数等等于于上上个个月月大大兔兔对对数数与小兔对数之和。与小兔对数之和。 综综 合合 两两 点点 ， 我我 们们 就就 有有 ： 每每 月月 大大 兔兔对数等于前两个月大兔对数之和。对数等于前两个月大兔对数之和。 列列表表观观察察，不不仅仅解解答答了了问问题题，而而且且找找到了规律。到了规律。112本章结束！谢谢欣赏！祝大家鸿运当头！ 113