第第 七七 章章梁梁 的的 弯弯 曲曲 内内 力力Shear Forces and Bending MomentsShear Forces and Bending Moments 1 弯曲的相关概念弯曲的相关概念外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆外载荷矢量垂直于杆件轴线时，杆件将产生弯曲变形件将产生弯曲变形以弯曲为主要变形的构件，称为以弯曲为主要变形的构件，称为梁梁垂直于梁垂直于梁轴线轴线的外力，又均作用在梁的某的外力，又均作用在梁的某个个纵纵向向对对称面内，称面内，则则梁的梁的轴线轴线将弯成位于将弯成位于此此对对称面内的一条平面曲称面内的一条平面曲线线，此种弯曲称，此种弯曲称为为对对称弯曲称弯曲纵向对称面对称轴轴线qpm梁的类型：梁的类型：q悬臂梁悬臂梁 ABAB外伸梁外伸梁 简支梁简支梁 2.梁的内力计算梁的内力计算ＲAA１mq=20Ｎ/mmBCＲB0.2m用截面法分析用截面法分析C处截面的内力处截面的内力: 由整体的平衡方程易求得：由整体的平衡方程易求得：以一假想平面在以一假想平面在C处将梁截开，选左段为研究对象处将梁截开，选左段为研究对象 AQＲＲAqCM由平衡条件由平衡条件C截面上一定存在沿截面上一定存在沿铅铅垂方向的内力，垂方向的内力，这这种与截面平行的内力称种与截面平行的内力称为为剪力剪力，，以以Q表示表示 可知可知由平衡方程确定剪力的大小及实际方向由平衡方程确定剪力的大小及实际方向（（C截面上剪力的实际方向向下）截面上剪力的实际方向向下） AQＲＲAqCM又由平衡条件又由平衡条件由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：由平衡方程确定弯矩的大小及实际方向：C截面上一定存在另一个内力分量，即力偶截面上一定存在另一个内力分量，即力偶,称称为为弯矩弯矩，以，以M表示。
表示 可知可知(一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心一般将所求截面的形心作为力矩平衡方程的矩心) （（C截面弯矩的实际方向为逆时针）截面弯矩的实际方向为逆时针）剪力与弯矩的符号规定：剪力与弯矩的符号规定：因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的因左、右截面上剪力、弯矩的方向一定是相反的 故对弯曲内力的符号做如下规定：故对弯曲内力的符号做如下规定： 有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负；使保留段产生下凸变形的弯矩有使研究段产生顺时针旋转趋势的剪力为正，反之为负；使保留段产生下凸变形的弯矩为正，反之为负为正，反之为负 AＲＲAaQ1M1例例7—1．图示简支梁，在截面．图示简支梁，在截面C处受集中力处受集中力P作用，试求作用，试求C+及及C- 截面上内力截面上内力bＲＲAAlP PBCＲＲBa在在C -处，将梁截开，取左部分为研究对象处，将梁截开，取左部分为研究对象在截面上，按正向加上剪力与弯矩在截面上，按正向加上剪力与弯矩解：解：由整体的平衡方程可求得约束力为：由整体的平衡方程可求得约束力为： AＲＲAaQ2M2PAＲＲAaQ1M1由平衡方程由平衡方程得得 11由由 得得 C1 11 1在在C +处，将梁截开，取左部分为研究对象处，将梁截开，取左部分为研究对象在截面上，按正向加上剪力与弯矩在截面上，按正向加上剪力与弯矩由平衡方程由平衡方程2得得 2由由 C2 2得得 2 2 3.剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图沿梁沿梁轴轴方向方向选选取坐取坐标标x，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、，以此表示各横截面的位置，建立梁内各横截面的剪力、弯矩与弯矩与x的函数关系，即的函数关系，即。
剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 若以若以x为横坐标，以为横坐标，以Q或或M为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到为纵坐标，将剪力、弯矩方程所对应的图线绘出来，即可得到剪力图与弯矩图，这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律剪力图与弯矩图，这可使我们更直观地了解梁各横截面的内力变化规律 例例7—2．一悬臂梁．一悬臂梁AB（图（图7—9a），右端固定，左端受集中力），右端固定，左端受集中力P作用作此梁的剪力图作用作此梁的剪力图及弯矩图及弯矩图1 1）列剪力方程与弯矩方程）列剪力方程与弯矩方程以以A A为为坐坐标标原点，在距原点原点，在距原点x x处处将梁截开，将梁截开，取左段梁取左段梁为为研究研究对对象，由平衡方程求象，由平衡方程求x x截面的剪力与弯矩截面的剪力与弯矩 ，以上两式即以上两式即为为ABAB梁的剪力方程与弯矩方程梁的剪力方程与弯矩方程b)xAQPOM（（x））PQx(c)MxPL(d)ABPxL(a)解：解：依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图与弯矩图依据剪力方程与弯矩方程作出剪力图与弯矩图 ＲＲAAl lqBＲＲBxＲＲAAQqoMxql2/8ql/2ql/2例例7—37—3．一．一简简支梁支梁ABAB受集度受集度为为q q的均布的均布载载荷作用（荷作用（图图7—10a7—10a）。
作此梁的剪力）作此梁的剪力图图与弯矩解：求支座反力解：求支座反力列剪力方程与弯矩方程列剪力方程与弯矩方程在距在距A A点点x x处处截取左段梁截取左段梁为为研究研究对对象，象，由平衡方程由平衡方程得得 得得 由由由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图由剪力方程及弯矩方程可画出剪力与弯矩图 例例7—4．图示简支梁，在截面．图示简支梁，在截面C处受集中力处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图作用，试作梁的剪力图与弯矩图bＲＲAAlP PBCＲＲBx1x2aAＲＲAx1Q1M1由平衡方程求支反力：由平衡方程求支反力： 解：解：建立剪力方程与弯矩方程：建立剪力方程与弯矩方程：AC段：段：A为原点，在距为原点，在距A点点X1处截取左段梁作为研究对象处截取左段梁作为研究对象 例例7—4．图示简支梁，在截面．图示简支梁，在截面C处受集中力处受集中力P作用，试作梁的剪力图与弯矩图作用，试作梁的剪力图与弯矩图BＲＲBx2Q2M2bＲＲAAlP PBCＲＲBx1x2aPab/lap/lbp/lBC段：段：B为原点，在距为原点，在距B点点X2处截取左段梁作为研究对象处截取左段梁作为研究对象 根据平衡条件分根据平衡条件分别别得：得： 根据根据AC、、BC两段各自的剪力方程与弯矩方程，两段各自的剪力方程与弯矩方程，分别画出分别画出AC、、BC两段梁的剪力图与弯矩图。
两段梁的剪力图与弯矩图 从剪力图与弯矩图可以看出，在集中力作用处，从剪力图与弯矩图可以看出，在集中力作用处，其左、右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力则发生突变，其左、右两侧横截面上的弯矩相同，而剪力则发生突变，突变量等于该集中力之值突变量等于该集中力之值 例例7—5．图示简支梁，在截面．图示简支梁，在截面C处受到矩为处受到矩为m的集中力偶作用，试作梁的剪力图与弯矩图的集中力偶作用，试作梁的剪力图与弯矩图bＲＲAAlmBCＲＲBx1x2ama/lmb/lm/l解：解：1 1））计计算支反力，由平衡方程求得：算支反力，由平衡方程求得： ，2）建立剪力方程与弯矩方程）建立剪力方程与弯矩方程 ， 分别于分别于C—与与C+处将梁截开，分别取左段与右段为研究对象，处将梁截开，分别取左段与右段为研究对象，并分别以并分别以Q1 、、M1和和Q2、、M2代表它们各自的内力，可求得：代表它们各自的内力，可求得：AＲＲAx1Q1M1BＲＲBx2Q2M2m据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图据剪力方程及弯矩方程，画剪力与弯矩图由内力图可以看出，在集中力偶作用处，由内力图可以看出，在集中力偶作用处，其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯其左右两侧横截面上的剪力相同，但弯矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩。
矩发生突变，突变量等于该集中力偶之矩 4.载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系q（（ x））mAx+dxxBmnnxcQ+dqdxMM+dM用相距用相距dx的两个横截面的两个横截面m-m、、n-n从梁中切取一微段进行分析从梁中切取一微段进行分析 由平衡方程由平衡方程 得：得： 由平衡方程由平衡方程 （略去其中的高（略去其中的高阶阶微量）微量）得：得： 由（由（1 1）、（）、（2 2）两式又可得：）两式又可得： 以上三式即以上三式即为为剪力、弯矩与剪力、弯矩与载载荷集度之荷集度之间间的微分关系式的微分关系式…………（（1））…………（（2））………… （（3）） 例例7—6．图示外伸梁，集中力．图示外伸梁，集中力F=10KN，均布载荷集度，均布载荷集度q=10N/cm，试利用剪力、弯矩与载荷，试利用剪力、弯矩与载荷集度的微分关系绘制出梁的剪力图、弯矩图集度的微分关系绘制出梁的剪力图、弯矩图R1mqF1m1mABCDA+B-C+D+解：解：1)1)求求A A处约处约束力束力 2)用截面法求各段梁关用截面法求各段梁关键键截面的内力截面的内力段段ACACCDCDBDBD横截面横截面A+C+B-D+Q4.75(KN)4.75(KN)-5.25(KN)-5.25(KN)0 01(KN)1(KN)段段ACACCDCDBDBD横截面横截面A+C CC CD DB-D DM0 04.75(KNm)4.75(KNm)4.75(KNm)4.75(KNm)-0.5(KNm)-0.5(KNm)0 0-0.5(KNm)-0.5(KNm)得得 R=4.75 （（KN）） 3) 3) 由关由关键键点画剪力点画剪力图图与弯矩与弯矩图图1KN5.25KN4.75KN4.75KNm-0.5KNm 例例7—7．试作出图示外伸梁的剪力图与弯矩图。
．试作出图示外伸梁的剪力图与弯矩图ＲＲBAm=40KN=40KNm m20KN20KN1m1m4m4mq=10KN/mq=10KN/mBCＲＲA解：解：1 1）求支反力）求支反力 2）） 用截面法计算用截面法计算CA、、AB两段上关键截面的剪力与弯矩两段上关键截面的剪力与弯矩段段ACACABAB横截面横截面C C+ +A A+ +B B- -Q Q-20KN-20KN15KN15KN-25KN-25KN 段段ACACABAB横截面横截面C C+ +A A- -A A+ +B B- -D D（剪力（剪力为为零的截面）零的截面）M M0 0-20KNm-20KNm20KNm20KNm0 031.5KNm(31.5KNm(弯矩极弯矩极值值) )3）） 画剪力图与弯矩图画剪力图与弯矩图 25KN15KN20KN2.5m20KNm20KNm31.25KNm 。