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1、关于质心运动定理关于质心运动定理关于质心运动定理关于质心运动定理 ，动量守恒定律专题，动量守恒定律专题，动量守恒定律专题，动量守恒定律专题1. 1. 1. 1. 质心质心质心质心抛手榴弹的过程抛手榴弹的过程C COXY 质质点点系系的的质质量量中中心心，简简称称质质心心。具具有有长长度度的的量量纲纲，描描述述与与质质点点系系有有关关的的某某一一空间点的位置。空间点的位置。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。对于对于N个质点组成的质点系：个质点组成的质点系： 直角坐标系中直角坐标系中质质质质 心心心心 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体分量形式分量形
2、式面分布面分布体分布体分布线分布线分布质质质质 心心心心注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质质心与重心位置重合。心与重心位置重合。质质质质 心心心心例题例题3-73-7求腰长为求腰长为a a等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。这个结果和熟知的三角形重心位置一致。三角形质心坐标三角
3、形质心坐标x xc c是是dxxOxya解解 因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。以此分角线为以质心位于此分角线上。以此分角线为x轴，作坐标轴，作坐标轴如所示。轴如所示。 在离原点处取宽度为在离原点处取宽度为dx的面积元，由于的面积元，由于面积元的高度为面积元的高度为2y，所以其面积为，所以其面积为2ydx=2xdx。 设设薄板每单位面积的质量为薄板每单位面积的质量为 ，则此面积元的质量，则此面积元的质量质质质质 心心心心例例1：确定半径为确定半径为R的均质半球的质心位置。的均质半球的质心位置。解：解：建立如图所示坐标建立如
4、图所示坐标 已已知知薄薄圆圆盘盘的的质质心心位位于于圆圆心心，取取厚厚度度为为dy的的薄圆盘为质量微元。薄圆盘为质量微元。RXYOdy质质质质 心心心心质质心心在在距距球球心心3R/8处。处。质质质质 心心心心2. 2. 2. 2. 质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理 设设有有一一个个质质点点系系，由由 个个质质点点组组成成，它它的的质质心心的位矢是：的位矢是：质心的速度为质心的速度为质心的加速度为质心的加速度为由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理质心运动定理对于内力对于内力质心运质心运动定理动定理
5、表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上的一个质点的运动一样。用其上的一个质点的运动一样。3. 3. 3. 3. 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律=常矢量常矢量=常矢量常矢量 如如果果系系统统所所受受的的外外力力之之和和为为零零（即即 ），则则系系统统的的总总动动量量保保持持不不变变。这这个个结结论论叫叫做做动动量量守守恒恒定律。定律。条件条件定律定律动量守恒
6、定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律直角坐标系下的分量形式直角坐标系下的分量形式=常量常量=常量常量=常量常量4. 4. 4. 4. 火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行前前苏苏联联东东方方1 1号号火火箭箭长长征征三三号号运运载载火火箭箭火火箭箭发发射射4. 4. 4. 4. 火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行 设设在在某某一一瞬瞬时时 ，火火箭箭的的质质量量为为 ，速速度度为为 ，在在其其后后 到到 时时间间内内，火火箭箭喷喷出出了了质质量量为为 的的气气体体， 是是质质量量 在在 时时间间内内的的增增量量，喷喷出出的的气气体体相相对对于于火火箭箭的的速速度度为为 ，使使火火箭箭的的速速度度
7、增增加加了了 。喷气前总动量为：喷气前总动量为：喷气后火箭的动量为：喷气后火箭的动量为：所喷出燃气的动量为：所喷出燃气的动量为：Mt时刻t+dt时刻M-dmdm 由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。由于火箭不受外力的作用，系统的总动量保持不变。根据动量受恒定律根据动量受恒定律设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量设燃气相对于火箭的喷气速度是一常量化简化简火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行 设火箭开始飞行的速度为零，质量为设火箭开始飞行的速度为零，质量为 ，燃，燃料烧尽时，火箭剩下的质量为料烧尽时，火箭剩下的质量为 ，此时火箭能达，此时火箭能达到的速度是到的速度是火箭的质量比多级火箭多级火箭
8、第第i i级火箭喷气速率级火箭喷气速率第第i i级火箭质量比级火箭质量比火箭飞行火箭飞行火箭飞行火箭飞行第一宇宙速度第一宇宙速度人造卫星人造卫星人造卫星人造卫星星下点轨迹星下点轨迹人造卫星人造卫星人造卫星人造卫星多颗卫星组成的全球定位系统（多颗卫星组成的全球定位系统（GPS)GPS)人造卫星人造卫星人造卫星人造卫星例题例题3-8 如图所示如图所示,设炮车以仰角设炮车以仰角 发射一炮弹，炮发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为车和炮弹的质量分别为M和和m，炮弹的出口速度为，炮弹的出口速度为v，求炮车的反冲速度求炮车的反冲速度V。炮车与地面间的摩擦力不计。炮车与地面间的摩擦力不计。解解 把炮车和炮弹看
9、成一个系统。发炮前系统在竖把炮车和炮弹看成一个系统。发炮前系统在竖直方向上的外力有重力直方向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 ，而且，而且 ，在发射过程中，在发射过程中 并不成立（想一想为什并不成立（想一想为什么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一么？），系统所受的外力矢量和不为零，所以这一系统的总动量不守恒。系统的总动量不守恒。 vmM动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律它的水平分量为它的水平分量为于是，炮弹在水平方向的动量为于是，炮弹在水平方向的动量为m(vcos m(vcos -V)-V)，而炮，而炮车在水平方向的动量为车在水平方向的动量为-MV-MV。根据动量
10、守恒定理有。根据动量守恒定理有经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速经分析，对地面参考系而言，炮弹相对地面的速度度 ，按速度变换定理为，按速度变换定理为由此得炮车的反冲速度为由此得炮车的反冲速度为 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律解解 物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，物体的动量原等于零，炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此它远大于重力，故在爆炸中，可认为动量守恒。由此可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍可知，物体分裂成三块后，这三块碎片的动量之和仍等于零，即等于零，即例题例题3-9 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相
11、等，一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。 所以，这三个动量必处于所以，这三个动量必处于同一平面内，且第三块的动量同一平面内，且第三块的动量必和第一、第二块的合动量大必和第一、第二块的合动量大小相等方向相反，如图所示。小相等方向相反，如图所示。因为因为v v1 1和和v v2 2相互垂直所以相互垂直所以m3v3m2v2m1v1 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律由
12、于由于 和和 所成角所成角 由下式决定：由下式决定：因因所以所以即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面内且三者都在同一平面内由于由于 , ,所以所以 的大小为的大小为动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律 例题例题3-10 质量为质量为m1 和和m2的两个小孩，在光滑水平冰面的两个小孩，在光滑水平冰面上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为上用绳彼此拉对方。开始时静止，相距为l。问他们将在。问他们将在何处相遇？何处相遇？解解 把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不把两个小孩和绳看作一个系统，水平方向不受外力，此方向的动量守恒。受外力，此方向的动量守恒。 建立如图坐标系。以两个小孩
13、的中点为原点，向右建立如图坐标系。以两个小孩的中点为原点，向右为为x轴为正方向。设开始时质量为轴为正方向。设开始时质量为m1 的小孩坐标为的小孩坐标为x10,质量为质量为m2的小孩坐标为的小孩坐标为x20，他们在任意时刻的速度分，他们在任意时刻的速度分别别v1为为v2，相应坐标为，相应坐标为x1和和x2，由运动学公式得由运动学公式得Cm2m1x10x20xO动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律(1)(2)在相遇时，在相遇时，x1=x2=xc，于是有，于是有即即(3)因动量守恒，所以因动量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式（代入式（3）得）得动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定
14、律动量守恒定律代入式（代入式（1）,并令并令x1=xc得得(4) 两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心两小孩在纯内力作用下，将在他们共同的质心相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。相遇。上述结果也可直接由质心运动定律求出。动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律 例例 一质量一质量 的人站在一条质量为的人站在一条质量为 ，长度长度 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）到船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。） 解：解： 设设 表示表示船本身的质心船本身的质心动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律当人站在船的左端时当人站在船的左端时当人站在船的右端时当人站在船的右端时 对船和人这一系对船和人这一系统，在水平方向上不统，在水平方向上不受外力，因而在水平受外力，因而在水平方向的质心速度不变。方向的质心速度不变。又因为原来质心静止，又因为原来质心静止，所以在人走动过程中所以在人走动过程中质心始终静止，因而质心始终静止，因而质心的坐标值不变。质心的坐标值不变。动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律l-dd动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律l-dd动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律
