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1、直接证明与间接证明直接证明与间接证明一、复习：一、复习：演绎推理是演绎推理是证明证明数学结论、建立数学体系的数学结论、建立数学体系的重要思维过程重要思维过程. .数学结论、数学结论、证明证明思路的发现思路的发现, ,主要靠合情推理主要靠合情推理. .引例：引例：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，求证：求证：AB=CDAB=CD，BC=DABC=DAA AB BC CD D1 13 34 42 2证证 连结连结ACAC，因为四边形，因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形所以所以AB/CDAB/CD，BC/DABC/DA又又AC=CAAC=CA故故 AB=CDAB
2、=CD，BC=DABC=DA直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为明方法称为直接证明直接证明，其一般形式为：，其一般形式为：本题条件本题条件已知定义已知定义已知定理已知定理已知公理已知公理本题结论本题结论例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(
3、cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.证明证明: :从从已知条件已知条件出发，以出发，以已知定义、公理、定理已知定义、公理、定理等等为依据为依据, ,逐步下推，直到推出要证明的结论为逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法叫做止，这种证明方法叫做综合法综合法(顺推证法顺推证法)用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、表示已知条件、已有的定义、公理、定理等定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为: :特点:“
4、由因导果”二、综合法定义：二、综合法定义：例例2 2在在中，三个内角、对应的中，三个内角、对应的边分别为边分别为a a、b b、c c，且、成等差数列，且、成等差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证：成等比数列，求证：为等边三为等边三角形角形符号语言图形语言文字语言点评：点评：解决数学问题时，解决数学问题时，学会语言转换；还要细学会语言转换；还要细致，致，找出隐含条件。找出隐含条件。回顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .证法证法1 1因为因为所以所以所以所以所以所以 成立成立证法证法2 2要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证因为因为 成
5、立成立所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法 一般地，从要一般地，从要证明的结论证明的结论出发，逐步出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的寻求推证过程中，使每一步结论成立的充充分条件分条件，直至最后，把要证明的结论归结，直至最后，把要证明的结论归结为判定为判定一个明显成立一个明显成立的条件（已知条件、的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做分析法（分析法（也叫也叫逆推证法或执果逆推证法或执果索因法索因法） 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .得到一个明
6、显得到一个明显成立的结论成立的结论练一练：练一练：证证:点评点评：在解决问题时，我们经常把在解决问题时，我们经常把综合法和分析综合法和分析法结合起来使用法结合起来使用：根据条件结构特点去转化结论，根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论得到中间结论Q Q；根据结论的结构特点去转化条件，根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论得到中间结论P P，若若P P可以推出可以推出Q Q，就可以证明结论，就可以证明结论成立成立练一练：练一练：思考：请对综合法与分析法进行比请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点。回顾以往较，说出它们各自的特点。回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方的数学学习，说
7、说你对这两种证明方法的新认识。法的新认识。综合法的特点综合法的特点: :由因导果由因导果分析法的特点分析法的特点：执果索因执果索因. .上联：上联：由因导果，顺藤摸瓜由因导果，顺藤摸瓜下联：下联：执果索因，逆推破案执果索因，逆推破案横批横批：得心应手得心应手课后思考：课后思考：已知数列已知数列aan n 的通项的通项a an n0,(n0,(nN N* *),),它的前它的前n n项的和记为项的和记为s sn n, ,数列数列 s s2 2n n 是首项为是首项为3,3,公差为公差为1 1的等差数列的等差数列. . (1)(1)求求a an n与与s sn n的解析式的解析式; ; (2)(2)试比较试比较s sn n与与3na3nan n(nN(nN* *),),的大小的大小. .
