第三章指数函数和对数函数理解教材新知§4对数把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三4.1对数及其运算知识点一知识点二知识点三 一个细胞经过一次分裂变成一个细胞经过一次分裂变成2个细胞，经过两次分裂个细胞，经过两次分裂变成变成4个，个，…… 问题问题1：经过：经过4次分裂变成了多少个细胞？次分裂变成了多少个细胞？ 提示：提示：24＝＝16. 问题问题2：经过多少次分裂后，细胞的个数是：经过多少次分裂后，细胞的个数是512? 提示：提示：9次．次． 问题问题3：经过：经过x次分裂后，细胞个数是次分裂后，细胞个数是y，则，则y＝＝2x.如何如何用用y表示表示x? 提示：提示：x＝＝log2y. 1．对数的定义．对数的定义 如果如果a(a>0，，a≠1)的的b次幂等于次幂等于N，即，即 ，那么，那么数数b叫作以叫作以a为底为底N的对数．记作的对数．记作 . 其中，其中，a的范围是的范围是 ，，N的范围是的范围是 ，，b的的取值范围是取值范围是 .ab＝＝NlogaN＝＝ba>0且且a≠1N>0b∈∈R 2．几种常见对数．几种常见对数对数形式数形式特点特点记法法一般一般对数数以以a(a＞＞0且且a≠≠1)为底的底的对数数自然自然对数数以以 为底的底的对数数常用常用对数数以以 为底的底的对数数e10logaNlnNlgN 根据对数的定义：根据对数的定义：ab＝＝N化成对数式为化成对数式为b＝＝logaN.问题问题1：计算：计算logaa和和loga1的值；的值；提示：提示：logaa＝＝1，，loga1＝＝0.问题问题2：零和负数有对数吗？为什么？：零和负数有对数吗？为什么？提示：提示：没有，因为没有，因为N＝＝ab>0. 指数式与指数式与对数数式的互化式的互化ab＝＝N⇔⇔对数恒等式数恒等式alogaN＝＝对数的性数的性质①①底的底的对数等于数等于 ，即，即logaa＝＝②②1的的对数等于数等于 ，即，即loga1＝＝③③零和零和负数没有数没有对数数b＝＝logaNN11零零0 对数运算可以看成指数运算的逆运算．参照指数对数运算可以看成指数运算的逆运算．参照指数的运算性质，对数的运算性质有哪些呢？的运算性质，对数的运算性质有哪些呢？问题问题1：计算下列各组对数值：：计算下列各组对数值： (1)log28，，log216，，log2(8×16)；； (2)log39，，log381，，log3 ；； (3)lg1 000,3lg10. 提示：提示：(1)3,4,7. (2)2,4，－，－2. (3)3,3. 1．如果．如果a>0，，a≠1，，M>0，，N>0，则，则(1)loga(MN)＝＝logaM＋＋logaN；；(2)loga ＝＝logaM－－logaN；；(3)logaMn＝＝nlogaM(n∈∈R)．． 1．对数式．对数式logaN＝＝b可看作一种记号，表示关于可看作一种记号，表示关于b的方程的方程ab＝＝N(a>0，，a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，，a≠1)，幂为，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式，求幂指数的运算，因此，对数式logaN＝＝b又可看作幂运算的逆运算．又可看作幂运算的逆运算． 2．在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范．在对数的运算法则中，各个字母都有一定的取值范围围(M>0，，N>0，，a>0，，a≠1)，只有当式子中所有的对数符号，只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．都有意义时，等式才成立． 解析：解析：对数式对数式logaN中，要求底数中，要求底数a>0，且，且a≠1，真数，真数N>0. 答案：答案：C [一点通一点通] 1．对数的基本性质为：．对数的基本性质为：loga1＝＝0，，logaa＝＝1(a>0, 且且a≠1)．．2．对数恒等式．对数恒等式alogab＝＝b(a>0, 且且a≠1，，b>0)．．以上各式对符合题意的以上各式对符合题意的a，，b均成立．均成立． 3．有以下四个结论：．有以下四个结论：①①lg(lg10)＝＝0；；②②ln(lne)＝＝0；；③③若若 10＝＝lgx，则，则x＝＝10；；④④若若e＝＝lnx，则，则x＝＝e2，其中正确，其中正确 的是的是 ( ) A．．①③①③ B．．②④②④ C．．①②①② D．．③④③④ 解析：解析：lg(lg10)＝＝lg1＝＝0；；ln(lne)＝＝ln1＝＝0，故，故①①、、②②正正 确；若确；若10＝＝lgx，则，则x＝＝1010，，③③错误；若错误；若e＝＝lnx，则，则 x＝＝ee，故，故④④错误．错误． 答案：答案：C 答案：答案：C 答案：答案：5 [一点通一点通] 对于同底的对数的化简，常用方法是：对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收收”，将同底的两对数的和，将同底的两对数的和(差差)收成积收成积(商商)的对数；的对数；(2)“拆拆”，将积，将积(商商)的对数拆成对数的和的对数拆成对数的和(差差)．． 答案：答案：A 7．．2log510＋＋log50.25＝＝ ( ) A．．0 B．．1 C．．2 D．．4 解析：解析：2log510＋＋log50.25＝＝log5102＋＋log50.25＝＝ log5(100×0.25)＝＝log525＝＝2. 答案：答案：C 1．在指数式与对数式互化中，并非任何指数式都可．在指数式与对数式互化中，并非任何指数式都可直接化为对数式，如直接化为对数式，如(－－3)2＝＝9就不能直接写成就不能直接写成log－－39＝＝2，，只有符合只有符合a>0，，a≠1，且，且N>0时才有时才有ax＝＝N⇔⇔x＝＝logaN. 2．利用对数的运算性质解决问题的一般思路：．利用对数的运算性质解决问题的一般思路：①①把把复杂的真数化简；复杂的真数化简；②②正用公式：将式中真数的积、商、正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；积、商再化简；③③逆用公式：将式中对数的和、差、积、逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．方根，然后化简求值． 点击下列图片进入应用创新演练 。
