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1、5.4平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(一一).引入引入:1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建立了直角坐标系, ,点点A A可以用什么来可以用什么来表示表示? ?2.2.平面向量是否也有类似的表示呢平面向量是否也有类似的表示呢? ?A(a,b)ab.3.3.复习平面向量基本定理复习平面向量基本定理: :假如假如 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量 a ，有且只有，有且只有一对实数一对实数 1 , 2 使得使得a= 1 e1+ 2 e2.不共线的两向量不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一
2、平面内所叫做这一平面内所有向量的一组基底有向量的一组基底.什么叫平面的一组基底什么叫平面的一组基底? ?平面的基底有多少组平面的基底有多少组? ?无数组无数组.其中其中x叫做叫做a在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做a在在y轴上的坐标轴上的坐标.(1)(1)取基底取基底: : 与与x x轴方向轴方向,y,y轴方向相轴方向相同的两个单位向量同的两个单位向量i i、j j作为基底作为基底. .xyoa式叫做向量的坐标表示式叫做向量的坐标表示. .注：每个向量都有唯一的坐标注：每个向量都有唯一的坐标. .（一平面向量坐标的概念（一平面向量坐标的概念(2) (2) 任作一个向量任作一个向量a a，
3、由平面向量基本定理，有且只由平面向量基本定理，有且只有一对实数有一对实数x x、y y，使得，使得a=xi+yj.a=xi+yj.我们把我们把(x,y)(x,y)叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作得到实数对得到实数对: : 在直角坐标系内，我们分别在直角坐标系内，我们分别.例例1.用基底用基底 i , j 分别表示向量分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4AB12-2-1xy 问问 1 :设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系? 453. 假设假设 那么那么问问2:2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？
4、什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问问 1 :设设 的坐标与的坐标与 的坐标有何关系的坐标有何关系? 问问3:3:相等向量的坐标有什么关系？相等向量的坐标有什么关系？1AB1xyA1B1(x1,y1)(x2,y2)P(x,y)结结论论1:1:一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线线段段终终点点的的坐坐标标减减去去始始点的坐标。点的坐标。.向量的坐标与点的坐标关系向量向量 Px ，y）一一 一一 对对 应应.小结小结: :对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标
5、等于终点坐标减去起点坐标；向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标向量的坐标. .(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .练习练习: :在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量. .解：解：.（二平面向量的坐标运算：（二平面向量的坐标运算：结论结论2 2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差量相应坐标的和与差. .结论结论3 3：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数：实数与向量数量积的坐标等于用这个实数乘原来向量
6、的相应坐标乘原来向量的相应坐标. . 知知 ，求，求 的坐标的坐标. . OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结结论论1:1:一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线段终点的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐标。从向量运算的角度从向量运算的角度.例例3已知三个力已知三个力 (3, 4), (2, 5), (x, y)的合力的合力+=求求的坐的坐标。解：由解：由题设+= 得：得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)即：即： ( 5,1).例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标
7、分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标。的坐标。xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y).OyxABCD例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是（分别是（- 2，1）、（）、（- 1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.课堂练习：课堂练习：4.平行四边形平行四边形ABCD的对角线交于的对角线交于O，且，且那么那么 的坐标为的坐标为_-12( 2 , 4 )（-3，9）（-5，5）.课堂总结课堂总结: :1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念: :2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解: :3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算: :(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标; ;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标. .4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题: :“向量的思向量的思想想.
