24.1 圆圆 （第（第2课时课时）） 赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于赵州桥原名安济桥，俗称大石桥，建于隋炀帝大业年间（隋炀帝大业年间（595-605595-605年），至今已有年），至今已有14001400年的历史，是今天世界上最古老的石拱年的历史，是今天世界上最古老的石拱桥上面修成平坦的桥面，以行车走人桥上面修成平坦的桥面，以行车走人. .赵州赵州桥的特点是桥的特点是““敞肩式敞肩式””，是石拱桥结构中最，是石拱桥结构中最先进的一种其设计者是隋朝匠师李春它先进的一种其设计者是隋朝匠师李春它的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似的桥身弧线优美，远眺犹如苍龙飞驾，又似长虹饮涧尤其是栏板以及望栓上的浮雕长虹饮涧尤其是栏板以及望栓上的浮雕充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，充分显示整个大桥堪称一件精美的艺术珍品，称得上是隋唐时代石雕艺术的精品称得上是隋唐时代石雕艺术的精品19911991年年被列为世界文化遗产被列为世界文化遗产. . 赵州石拱桥赵州石拱桥 1300 1300多年前多年前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的桥拱是的桥拱是圆弧形圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为37.4m,37.4m,拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径( (精确到精确到0.1m). 0.1m). A ?B O 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 ———（垂径定理）（垂径定理） 1 1、举例什么是轴对称图形。
举例什么是轴对称图形 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形相重合，那么这个图形叫做轴对称图形 2 2、举例什么是中心对称图形举例什么是中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转把一个图形绕着某一个点旋转180180°°，如果旋转后的图形，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形 3 3、圆是不是轴对称图形？、圆是不是轴对称图形？ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴都是它的对称轴 实实践探究践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．所在直线都是它的对称轴． ●●O O 思考思考 如图，如图，AB是是⊙⊙O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD⊥⊥AB，垂足为，垂足为E．． （（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ C （（1）是轴对称图形．直径）是轴对称图形．直径 CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴 （（2）） 线段：线段： AE=BE 弧：ＡＣ＝ＢＣ弧：ＡＣ＝ＢＣ ，ＡＤ＝ＢＤ，ＡＤ＝ＢＤ ⌒⌒ ⌒⌒ ⌒⌒ ⌒⌒ · O E A B D 想一想：想一想： 条件条件 结论结论 AE=BE ⌒⌒ ⌒⌒ AC=BC ⌒⌒ ⌒⌒ AD=BD CD为为⊙⊙O的直径的直径 CD⊥⊥AB C . A O B E D 垂径定理：垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。
并且平分弦对的两条弧 C 垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，平分弦，平分弦，并且平分弦所对的两条弧．并且平分弦所对的两条弧． 题设题设 （（1）直径）直径 · O A E D B 结论结论 （（2）垂直于弦）垂直于弦 ｝ ｛ 可推得可推得 （（3）平分弦）平分弦 （（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧 （（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 ①① CD是直径是直径 ②② CD⊥⊥AB ③③AE=BE, ⌒⌒ ⌒⌒ ④④AC=BC, ⌒⌒ ⌒⌒ ⑤⑤AD=BD. 垂径定理垂径定理三种三种语语言言 ? 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧 . C A M└└ ●如图如图∵∵ CD是直径是直径, CD⊥⊥AB, B ∴∴AM=BM, O ⌒⌒ ⌒⌒ ⌒⌒ ⌒⌒ AC =BC, AD =BD. CD平分弦平分弦AB 结论结论 CD平分弧平分弧ACB CD平分弧平分弧ADB D 条件条件 CD为直径为直径 CD⊥⊥AB C 推论：推论：平分弦（不是直径）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．分弦所对的两条弧． A · O E B D 推论：推论： ??由由 ①① CD是直径是直径 ③③ AM=BM 可推得可推得 ②②CD⊥⊥AB, ⌒⌒ ⌒⌒ ④④AC=BC, ⌒⌒ ⌒⌒ ⑤⑤AD=BD. CADOADEBBAODCBOCAAOCBCDOB 在下列在下列图图形中，你能否利用垂径定理找到相等形中，你能否利用垂径定理找到相等 练习练习1 的的线线段或相等的段或相等的圆圆弧弧 . D D A A B B E E O O A A O O C C B B E E O O A A A A E E C C B B C C D D O O E E O O D D B B A A E E D D B B A A E E D O O B B C C C C 判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？ BB OCADCBOOADCOEDCAD注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）（直径，垂直于弦） 缺一缺一不可！不可！ 练习练习 2 1 1．．半径半径为为4cm4cm的的⊙⊙O O中，弦中，弦AB=4cmAB=4cm, , O O A A E E B B O O 2 3cm。
那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 2 2．．⊙⊙O O的的直径直径为为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 8cm 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 A A E E B B O O 3 3．．半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 A A E E B B 2 3cm 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 A . O B A C O E . D B 方法方法归纳归纳: 解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连连接半径接半径；；过圆过圆心作一条与弦垂直的心作一条与弦垂直的线线段段等辅助线，为等辅助线，为应用垂径定理创造条件应用垂径定理创造条件 垂径定理经常和勾股定理结合使用垂径定理经常和勾股定理结合使用 讲讲解解 垂径定理的应用垂径定理的应用 例例1 如图，已知在如图，已知在⊙⊙O中，中，A A 弦弦AB的长为的长为8cm ，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm ，求，求⊙⊙O的的半径。
半径 解：连接OA，作OE? AB于E.1? AE= AB=4222? OA= AE +OE =5E E B B . O O 2．如图，在．如图，在⊙⊙O中，中，AB、、AC为互相垂直且为互相垂直且相等的两条弦，相等的两条弦，OD⊥⊥AB于于D，，OE⊥⊥AC于于E，，求证四边形求证四边形ADOE是正方形．是正方形． 证明：证明： OE? AC OD? AB AB? AC?? OEA? 90 ? EAD? 90 ? ODA? 9011 AD?AB∴∴四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，AE ?AC，22C 又又 ∵∵AC=AB ∴∴ AE=AD ∴∴ 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. A D B E · O 再逛赵州石拱桥再逛赵州石拱桥 1300 多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石我国隋朝建造的赵州石拱桥拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧所对是弦的长所对是弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m, 求桥拱的半求桥拱的半径径(精确到精确到0.1m). AB表示桥拱，表示桥拱，AB 如图，用如图，用 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，， 经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，，D为垂足，与为垂足，与 AB相交于点相交于点C.根根 AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高. 据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 37.4 C由题设知由题设知 AB? 37.4,CD ? 7.2,11AD ?AB?? 37.4? 18.7,22OD? OC? DC? R? 7.2.2227.2 A18.7 R D B在在Rt△△OAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 R-7.2 OA ? AD ? OD ,222即R ? 18.7 ? (R? 7.2) .解得解得 R≈27.9（（m））. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m. O 课课堂堂小小结结 请围绕以下两个方面小结本节课：请围绕以下两个方面小结本节课： 1 1、从知识上学习了什么？、从知识上学习了什么？ 圆圆的的轴对轴对称性；垂径定理称性；垂径定理 ２、从方法上学习了什么？２、从方法上学习了什么？ （１）（１）垂径定理和勾股定理垂径定理和勾股定理结结合。
合 （２）（２）在在圆圆中解决与弦有关的中解决与弦有关的问题时问题时常作的常作的辅辅助助线线 ——过圆过圆心作垂直于弦的心作垂直于弦的线线段；段； ——连连接半径 作业：作业： 。