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1、规范答题提分课（五）高考中解析几何热点题型【高考导航高考导航】1.1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分圆锥曲线是平面解析几何的核心部分, ,也是高考必也是高考必考知识考知识, ,主要以一个小题一个大题的形式呈现主要以一个小题一个大题的形式呈现, ,难度中难度中等偏上等偏上. . 2. 2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质本性质, ,高考中的解答题高考中的解答题, ,常以求曲线的标准方程、位常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主. .这些试题的命制有一个共同的特
2、点这些试题的命制有一个共同的特点, ,就是起点低就是起点低, ,但在但在第第(2)(2)问或第问或第(3)(3)问中一般都伴有较为复杂的运算问中一般都伴有较为复杂的运算, ,对考对考生解决问题的能力要求较高生解决问题的能力要求较高. .热点一圆锥曲线中的定点、定值问题热点一圆锥曲线中的定点、定值问题定值问题的求解与证明类似定值问题的求解与证明类似, ,解答时大胆设参解答时大胆设参, ,运运算推理算推理, ,最后参数必清最后参数必清, ,定值显现定值显现. .处理定点的方法常把处理定点的方法常把方程中参数的同次项集在一起方程中参数的同次项集在一起, ,并令各项系数和为零并令各项系数和为零, ,也
3、可先取参数的特殊值探求定点也可先取参数的特殊值探求定点, ,然后给出证明然后给出证明. .【典型例题典型例题】 (12(12分分)(2017)(2017全国卷全国卷)已知椭圆已知椭圆C:C: (ab0), (ab0),四点四点P P1 1(1,1),P(1,1),P2 2(0,1), (0,1), 中恰有三点在椭圆中恰有三点在椭圆C C上上. .(1)(1)求求C C的方程的方程. .(2)(2)设直线设直线l不经过不经过P P2 2点且与点且与C C相交于相交于A,BA,B两点两点. .若直线若直线P P2 2A A与直线与直线P P2 2B B的斜率的和为的斜率的和为-1,-1,证明证明:
4、 :l过定点过定点. . 【教材探源教材探源】本题第本题第(1)(1)问源于教材选修问源于教材选修2-1P402-1P40例例1,1,主主要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程. .第第(2)(2)问源于教材选修问源于教材选修2-1P412-1P41例例3,3,主要考查利用坐标法研究主要考查利用坐标法研究几何问题几何问题, ,充分考查学生解决综合问题的能力充分考查学生解决综合问题的能力. . 【规范解答规范解答】(1)(1)由于点由于点P P3 3,P,P4 4关于关于y y轴对称轴对称, ,由题设知由题设知C C必过必过P P3 3,P,P4 4.
5、.又由又由 知知, ,椭圆椭圆C C不经过点不经过点P P1 1, ,所以点所以点P P2 2在椭圆在椭圆C C上上.2.2分分( (得分点得分点1)1) 44分分( (得分点得分点2)2)故故C C的方程为的方程为 +y+y2 2=1.=1. 66分分 ( (得分点得分点3)3)(2)(2)设直线设直线P P2 2A A与直线与直线P P2 2B B的斜率分别为的斜率分别为k k1 1,k,k2 2. .如果直线如果直线l的斜率不存在的斜率不存在, ,l垂直于垂直于x x轴轴. .设设l:x=n,A(n,y:x=n,A(n,yA A),B(n,-y),B(n,-yA A),),k k1 1+
6、k+k2 2= = 得得n=2,n=2,此时此时l过椭圆右顶点过椭圆右顶点, ,不存在两个交点不存在两个交点, ,故不满足故不满足. .77分分( (得分点得分点4)4)从而可设从而可设l:y=kx+m(m1).:y=kx+m(m1).将将y=kx+my=kx+m代入代入 +y+y2 2=1=1得得(4k(4k2 2+1)x+1)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-4=0.-4=0.88分分( (得分点得分点5)5)由题设可知由题设可知=16(4k=16(4k2 2-m-m2 2+1)0.+1)0.设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),
7、则则x x1 1+x+x2 2= x= x1 1x x2 2= .9= .9分分 ( (得分点得分点6)6)则则k k1 1+k+k2 2= = 由题设由题设k k1 1+k+k2 2=-1,=-1,故故(2k+1)x(2k+1)x1 1x x2 2+(m-1)(x+(m-1)(x1 1+x+x2 2)=0.)=0.所以所以(2k+1) +(m-1) =0.(2k+1) +(m-1) =0.1010分分 ( (得分点得分点7)7)解之得解之得m=-2k-1,m=-2k-1,此时此时=32(m+1)0,=32(m+1)0,方程有解方程有解, ,所以当且仅当所以当且仅当m-1m-1时时,0,11,
8、0,11分分 ( (得分点得分点8)8)所以直线所以直线l的方程为的方程为y=kx-2k-1,y=kx-2k-1,即即y+1=k(x-2).y+1=k(x-2).当当x=2x=2时时,y=-1,y=-1,所以所以l过定点过定点(2,-1).12(2,-1).12分分( (得分点得分点9)9) 【得分要点得分要点】得步骤分得步骤分: :抓住得分点的解题步骤抓住得分点的解题步骤.“.“步步为赢步步为赢”. .第第(1)(1)问中问中, ,分析点分析点P P2 2在椭圆在椭圆C C上上, ,列出方程组列出方程组, ,解方程组解方程组, ,得出得出C C的方程的方程. .第第(2)(2)问中问中, ,
9、分类设出直线方程分类设出直线方程联立方程联立方程化简为关化简为关于的一元二次方程于的一元二次方程结合根与系数关系结合根与系数关系利用公式化利用公式化简求解简求解. .得关键分得关键分: :第第(1)(1)问中问中, ,列方程组列方程组; ;第第(2)(2)问中问中, ,直线方程、根与系数直线方程、根与系数的关系、斜率公式都是不可缺少的过程的关系、斜率公式都是不可缺少的过程, ,有则给分有则给分, ,没没有不得分有不得分. .得计算分得计算分: :本题的计算量很大本题的计算量很大, ,解题过程中解题过程中, ,各步计算各步计算准确是得满分的保证得分点准确是得满分的保证得分点(2):(2):解方程
10、组解方程组; ;得分点得分点(5):(5):化为关于关于的一元二次方程化为关于关于的一元二次方程; ;得分点得分点(6):(6):根与系数关系的正确运用根与系数关系的正确运用; ;得分点得分点(8):(8):正确化简、运算求解正确化简、运算求解. .【答题模板答题模板】圆锥曲线中的定点问题的模板圆锥曲线中的定点问题的模板第一步第一步: :研究特殊情形研究特殊情形, ,从问题的特殊情形出发从问题的特殊情形出发, ,得到目得到目标关系所要探求的定点标关系所要探求的定点. .第二步第二步: :探究一般情况探究一般情况. .探究一般情形下的目标结论探究一般情形下的目标结论. .第三步第三步: :下结论
11、下结论, ,综合上面两种情况定结论综合上面两种情况定结论. . 热点二圆锥曲线中的最值热点二圆锥曲线中的最值( (范围范围) )问题问题圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类: :一是涉及一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题距离、面积的最值以及与之相关的一些问题; ;二是求直二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题值时求解与之有关的一些问题. .【规范解答规范解答】(1)(1)设设P(xP(x0 0,y,y0 0), ), 1 1分分因为因为PA,PBPA,PB的中点在
12、抛物线上的中点在抛物线上, ,所以所以y y1 1,y,y2 2为方程为方程 22分分即即y y2 2-2y-2y0 0y+8xy+8x0 0- =0- =0的两个不同的实数根的两个不同的实数根.3.3分分所以所以y y1 1+y+y2 2=2y=2y0 0. .因此因此,PM,PM垂直于垂直于y y轴轴.4.4分分 【阅卷人点评阅卷人点评】能力要求能力要求: :基础基础核心素养核心素养: :第第(1)(1)问求解时设问求解时设P,A,BP,A,B纵坐标为纵坐标为y y0 0,y,y1 1,y,y2 2, ,根根据中点坐标公式据中点坐标公式, ,得到得到PA,PBPA,PB的中点坐标的中点坐标
13、, ,代入到抛物线代入到抛物线方程方程, ,得到得到y y1 1+y+y2 2=2y=2y0 0, ,主要考查直观想象和数学运算的主要考查直观想象和数学运算的核心素养核心素养. .易错提醒易错提醒: :在求解第在求解第(1)(1)问时问时, ,可能会因为点的坐标设法可能会因为点的坐标设法不合适不合适, ,导致运算复杂导致运算复杂, ,不能正确得出结论不能正确得出结论. . (2)(2)由由(1)(1)可知可知 5 5分分所以所以|PM|= 6|PM|= 6分分|y|y1 1-y-y2 2|= |= 77分分因此因此,PAB,PAB的面积的面积S SPABPAB= |PM|y= |PM|y1 1
14、-y-y2 2| |= 8= 8分分因为因为 (x(x0 00),0),所以所以 -4x-4x0 0=-4 -4x=-4 -4x0 0 +44,5.+44,5.1010分分因此因此,PAB,PAB面积的取值范围是面积的取值范围是 1212分分 能力要求能力要求: :较高较高核心素养核心素养: :通过分析得出通过分析得出PABPAB的面积为的面积为 |PM|y|PM|y1 1-y-y2 2|,|,利用根与系数的关系可表示为利用根与系数的关系可表示为|PM|,|y|PM|,|y1 1-y-y2 2| |为为y y0 0的函的函数数, ,根据半椭圆的性质及二次函数的性质确定面积的根据半椭圆的性质及二次函数的性质确定面积的取值范围取值范围, ,主要考查数学运算的核心素养主要考查数学运算的核心素养. .易错提醒易错提醒: :第第(2)(2)问的解答易出现以下两点失分问的解答易出现以下两点失分: :(1)(1)没有正确用没有正确用y y0 0表示表示PABPAB的面积的面积. .(2)(2)在计算在计算PABPAB面积的取值范围时忽略了椭圆中面积的取值范围时忽略了椭圆中x x0 000这一条件这一条件, ,导致运算错误而不能得分导致运算错误而不能得分. .
