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1、3.23.2.2平面平面的法的法向量向量与平与平面的面的向量向量表示表示理解教材新知把握热点考向应用创新演练考点一考点二第第三三章章空空间间向向量量与与立立体体几几何何考点三返回返回返回返回32.2平面的法向量与平面的向量表示平面的法向量与平面的向量表示返回返回若若l1，l2是两条不同的直线，是两条不同的直线，、是两个不同的平面，是两个不同的平面，且且l1，l2.问题问题1：若：若l1l2，则，则与与有什么位置关系？有什么位置关系？提示：提示：.问题问题2：若：若l1l2，则，则、有什么位置关系？有什么位置关系？提示：提示：.返回返回1平面的法向量平面的法向量已知平面已知平面，如果向量，如果向
2、量n的基线与平面的基线与平面，则向，则向量量n叫做平面叫做平面的法向量或说向量的法向量或说向量n与平面与平面正交正交2平面的向量表示式平面的向量表示式设设A是空间任一点，是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条为空间内任一非零向量，适合条件件 n0的点的点M构成的图形是过点构成的图形是过点A并且与向量并且与向量n垂直垂直的的， 通常称为一个平面的向量表示式通常称为一个平面的向量表示式垂直垂直平面平面返回返回3两平面平行、垂直的判定两平面平行、垂直的判定设设n1，n2分别是平面分别是平面，的法向量，则的法向量，则或或与与重合重合 ； 4正射影与三垂线定理正射影与三垂线定理(1)正射影：正射影
3、：已知平面已知平面和一点和一点A，过点，过点A作作的垂线的垂线l与与相交于点相交于点A，则，则A就是点就是点A在平面在平面内的内的，简称，简称n1n2n1n2n1.n2=0正射影正射影射影射影返回返回(2)三垂线定理：三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的面内的垂直，则它也和这条斜线垂直垂直，则它也和这条斜线垂直(3)三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的则它也和这条斜线在平面内的垂直垂直射影射影射影射影
4、返回返回1用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键2一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线返回返回返回返回例例1已知点已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面求平面ABC的一个法向量的一个法向量思路点拨思路点
5、拨返回返回返回返回一点通一点通利用待定系数法求法向量的解题步骤：利用待定系数法求法向量的解题步骤：返回返回1已知平面内的两个向量已知平面内的两个向量a(2，3，1)，b(5，6，4)，则该平面的一个法向量为则该平面的一个法向量为()A(1，1，1)B(2，1，1)C(2，1，1)D(1，1，1)答案：答案：C返回返回返回返回返回返回思路点拨思路点拨建立空间坐标系求出平面建立空间坐标系求出平面ADE与平与平面面A1D1F的法向量求解的法向量求解返回返回返回返回返回返回返回返回一点通一点通设直线设直线l的方向向量的方向向量a(a1，b1，c1)，平面，平面的的法向量法向量u(a2，b2，c2)，平
6、面，平面的法向量的法向量v(a3，b3，c3)，且，且l ，与与不重合，则不重合，则(1)lauau0a1a2b1b2c1c20；(2)lau(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)；(3)uv(a2，b2，c2)m(a3，b3，c3)；(4)uvu0a2a3b2b3c2c30.返回返回3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面中，求证：平面A1BD平面平面CD1B1.返回返回返回返回4正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分别是分别是BB1、CD的中的中点，求证：平面点，求证：平面AED平面平面A1FD1.证明：证明：如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐标系
7、Dxyz.返回返回返回返回返回返回例例3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：中，求证：A1C平面平面BDC1.思路点拨思路点拨根据正方体中的垂直关系，找到根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平面在平面ABCD和平面和平面CDD1C1内的射影，由三垂线定理证内的射影，由三垂线定理证明明BDA1C，C1DA1C.返回返回精解详析精解详析在正方体中，在正方体中，AA1平面平面ABCD，所以，所以AC是是A1C在平面在平面ABCD内的射影，又内的射影，又ACBD，所以，所以BDA1C.同理同理D1C是是A1C在平面在平面CDD1C1内的射影内的射影所以所以C1DA1C.又又C1DBDD，
8、所以，所以A1C平面平面BDC1.返回返回一点通一点通(1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题对于同一平面内的两直线垂直问题也可用的垂直问题对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平平移法移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明证明(2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是过程是“一定二找三证一定二找三证”，即，即“一定一定”是定平面和平面内的直是定平面和平面内的直线，线，“二找二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平
9、面内的射影，是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证三证”是证直线垂直于射影或斜线是证直线垂直于射影或斜线返回返回5正三棱锥正三棱锥PABC中，求证：中，求证：BCPA.证明：证明：在正三棱锥在正三棱锥PABC中，中，P在底在底面面ABC内的射影内的射影O为正三角形为正三角形ABC的的中心，连接中心，连接AO，则，则AO是是PA在底面在底面ABC内的射影，且内的射影，且BCAO，所以，所以BCPA.返回返回6在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，A在平面在平面BCD内的射影内的射影O1是是BCD的垂心，试证明的垂心，试证明B在平面在平面ACD内的射影内的射影O2必是必是ACD的垂心的
10、垂心证明：证明：连接连接DO1、BO1、AO2、CO2.O1是是BCD的垂心，的垂心，DO1BC.又又AO1平面平面BCD，BCAD(三垂三垂线定理线定理)BC是平面是平面ACD的斜线，的斜线，BO2平面平面ACD，CO2是是BC在平面在平面ACD内的射影，内的射影，CO2AD(三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理)同理，同理，AO2CD.故故O2是是ACD的垂心的垂心返回返回1确定平面的法向量通常有两种方法：确定平面的法向量通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的线面垂直关系；利用几何体中已知的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和用待定系数法，设出法向量，根据它和内不共线内
11、不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解由于一个平面两向量的垂直关系建立方程组进行求解由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量的作为平面的法向量2用空间向量处理平行问题的常用方法：用空间向量处理平行问题的常用方法：(1)线线平行转化为直线的方向向量平行线线平行转化为直线的方向向量平行(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直返回返回(3)面面平行转化为平面法向量的平行面面平行转化为平面法向量的平行(4)线线垂直转化为直线的方向向量垂直线线垂直转化为直线的方向向量垂直(5)线面垂直转化为直线的方向向量与平面的法向线面垂直转化为直线的方向向量与平面的法向量平行量平行(6)面面垂直转化为平面的法向量垂直面面垂直转化为平面的法向量垂直3三垂线定理及逆定理是证明线线垂直的重要三垂线定理及逆定理是证明线线垂直的重要方法方法返回返回点击下图进入点击下图进入“应用创新演练应用创新演练”
