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1、矢量环与矢量链方程；矢量环与矢量链方程；矢量环与矢量链方程；矢量环与矢量链方程；第二章第二章 机构运动学仿真的理论基础机构运动学仿真的理论基础主要内容：主要内容：向量和矩阵的约定表示；向量和矩阵的约定表示；向量和矩阵的约定表示；向量和矩阵的约定表示； 几乎所有运动学分析程序化的技术，其核心就是闭环矢量力程。几乎所有运动学分析程序化的技术，其核心就是闭环矢量力程。几乎所有运动学分析程序化的技术，其核心就是闭环矢量力程。几乎所有运动学分析程序化的技术，其核心就是闭环矢量力程。它是机构各个构件之间连接约束的一个非常简洁而又明了的表达式。易于求解，并且是进行机构计算机分析所需采取的第一步。 矢量链是用
2、来确定机构上某一点的位置。矢量链是用来确定机构上某一点的位置。矢量链是用来确定机构上某一点的位置。矢量链是用来确定机构上某一点的位置。这一点并不是机构中随意的某一点，对于机构运动学分析而言是十分重要的点，诸如连杆的质心。矢量链也可用于开链机构(仅有一个连接点与固定连杆或地而相连)的运动学分析 2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程1. 1.平面矢量平面矢量矢量矢量矢量矢量具有大小和方向的物理量。位移矢量位移矢量表示了空间任意两点之间的有向距离。 机构分析认为：机构中每一根连杆都可以表示为一个位移矢量，矢量的起点就是连杆的某一端点
3、，而其另一端点就是矢量的终点。这个位移矢量的大小就是连杆的长度，矢量与x轴正向间的夹角就是连杆的夹角(逆时针为正)，如图2-1所示。 矢量是用大写黑体字母 R 来表示；矢量长度用小写字母 r 来表示，且不是黑体字。 给定坐标系，则矢量R的x分量与y分量将可以用矢量的长度 r 和它与x轴正向间的夹角来表示，即在复数坐标系中，复向量复向量复向量复向量的表示为为幅角，在机构中为变量。为模，在机构中为常量；2 2、单个闭环方程、单个闭环方程 2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程同一坐标系位移矢量的编号顺序应遵循约定。即，任意一组位移矢量，应当构成一个易于正确表达和便于推导的闭环矢量方程
4、。用位移矢量取代了连杆。根据矢量加法，矢量R2和R3应当首尾相连，矢量R1和R4也如此。注意到矢量R3和R4的矢端都在机构的同一点B，这表明矢量(R2 ，R3)和(R1，R4)各自相加的结果相等，其数学表达式为： 无论机构运动到何种状态，只要能够保证机构的几何装配条件则这个闭环矢量方程就一定能够成立。 (21)运动学分析大部分内容涉及的是机构的速度与加速度计算，因此必然运动学分析大部分内容涉及的是机构的速度与加速度计算，因此必然就会遇到对矢量方程就会遇到对矢量方程(2-1)(2-1)求时间导数。求时间导数。3 3、矢量方程的求导、矢量方程的求导2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方
5、程各个矢量随时间而变化。因为，即使各个连杆的长度保持不变，但它各个矢量随时间而变化。因为，即使各个连杆的长度保持不变，但它们各自的方位们各自的方位( (矢量的指向矢量的指向) )却是随机构运动而改变的。对于其他一些却是随机构运动而改变的。对于其他一些机构，可能位移矢量的大小和方向均会改变。机构，可能位移矢量的大小和方向均会改变。 矢量方程对时间求导数的简单方法是将闭环矢量方程分解成为沿x方向和y方向的两个标量表达式。根据矢量角度的定义，标有各矢量夹角的闭环矢量方程几何表达式如图2-4所示。必须注意，若由x正向旋转到矢量的矢端为逆时针转动，则该矢量的角度为正。此外还需注意，矢量角度的表示应与连杆
6、夹角的表示相一致。 3 3、矢量方程的求导、矢量方程的求导2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程r r1-r-r4代表了各个连杆的长度（保持不变）。机构四个连杆夹角当中的任一个均可视为恒定并可假定为零，因为坐标系的定位是任意假定的。基于这一点，为了简化问题，取x坐标轴与某一矢量相重合。 依据上述约定和假设，可得到闭环矢量方程的两个分量表达式，即(23)(22)方程方程(2-2)(2-2)和和(2-3)(2-3)对时间求一阶导数后得对时间求一阶导数后得 (25)(24)3 3、矢量方程的求导、矢量方程的求导2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程在分析中，通常假定某一连
7、杆以匀角速度转动。如2 2保持常量。 2就称之为机构的输入。方程(2-4)和(2-5)可重新写成 (27)(26)写成以下矩阵形式 闭环矢量方程的二阶导数也是十分有用，只需记住速度方程中的各项是两个时间变量（和cos(）)的乘积以及求导规则。 (28)3 3、矢量方程的求导、矢量方程的求导2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程方程组的矩阵形式为 (29)(210)假定连杆2的输入角速度22和角加速度a2a2均为已知 (211)例例2 21 12.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程(28) 利用方程(2-8)求解四连杆机构在图25所示位置时连杆3、4的角速度。各连杆长
8、度及在图示位置的转角见表21。设输入连杆2的角速度为100 rads。注意，由于坐标系的放置以及坐标原点的定位是任意的，因而闭环矢量方程的表达并不是唯一的。 使用MATLAB编制的程序如下 例例2 21 12.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程MAILAB提示： 在MATLAB程序设计中，三角函数是用弧度来表示的。由于我们通常习惯于使用度为单位，因此就需要角度与弧度单位之间的转换。MATLAB通过设定一个恒定的、带有普遍意义的参数Pi(其值等于)即可容易地实现这种变换，并且可使程序的计算精度达到最大。2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程4 4、其他常见的机构、其他
9、常见的机构5.1 5.1 两连杆平面机器人两连杆平面机器人 2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程5 5、矢量链、矢量链 有时，准确地确定机构上除铰支座结点以外的一点或多点的运动是非常重要的。还有时候，需要对具有地面连杆但未形成闭环的机构进行分析。在此情况下，矢量环是不可能实现的，但是通过确定矢量链的方式可以导出类似的关系式。这种矢量链反映了连杆坐标与某些重要坐标之间的关系。 两个铰接点处的转角2和3仍按照先前的约定，是水平线与各自杆轴线形成的逆时针夹角。还需注意到，坐标系原点位于地面(连杆1)与机器人的第一根连杆(连杆2)的铰接点处。在该例中，重要的是确定连杆坐标2和3与端部操
10、作手位置矢量RE之间的关系； (212)5.1 5.1 两连杆平面机器人两连杆平面机器人 2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程RE矢量与先前定义的位移矢量存在一点重要区别，即RE并没有与机构中的任一根连杆固接或随之运动。在此情况下，该矢量就可简明地表示机器人操作手的位旨。如果是这样，则该矢量的角度就无显著意义，我们将矢量RE简单写成如下坐标投影形式 对上面这些标量方程求导数，然后将其表示成矩阵形式，得到以下雅可比雅可比雅可比雅可比转换矩阵转换矩阵转换矩阵转换矩阵 (215)注意：注意：注意：注意：机器人学文献关于转角的约定有所不同，这将导致雅可比转换矩阵的形式有所变化。在机器人
11、学中，使用的是不同于连杆转角的铰接点转角，它的度量是相对于前一邻近连杆而言。这佯做的直接原因就是在机器人系统中使用的传感器检测的是相对转角。另一方面，在运动学文献中通常使用的是绝对转角。 5.1 5.1 两连杆平面机器人两连杆平面机器人 2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程5.2 5.2 用矢量链描述任意点的运动用矢量链描述任意点的运动 第一步是确定连杆上特殊点的位移矢量。这个矢量的起点应与该连杆的位移矢量的起点相一致。 图28中夹角3是连杆3相对于水平或x轴的夹角，夹角p是新位移矢量相对于连杆位移矢量的夹角（常量）。则新位移矢量与水平轴的绝对夹角为3+p。 2.1 2.1 矢
12、量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程5.2 5.2 用矢量链描述任意点的运动用矢量链描述任意点的运动 描述某点位置的矢量方程为 (216)(220)投影方程： 求导数即可得到如下速度表达式。请注意3是随时间变化的，而p不随时间改变，不必对其求时间导数。 再求时间导数即可得到加速度表达式。（请同学们自行推导）本节介绍了用于机构分析的闭环矢量方程及其方程的求导。闭环矢量方程是机构运动过程中各连杆之间约束条件的数学表达式。位移矢量是机构各连杆的数学描述，其大小为连杆的长度，夹角与连杆角度相一致。本章所述方法是通过将闭环矢量方程沿x和y方向分解并投影、可易于进行方程的求导，进而得到相关连杆的速度和加速度
13、。这些求导后得到的方程就形成了机构运动学和动力学伤真的基础。 2.1 2.1 矢量环与矢量链方程矢量环与矢量链方程6 6、小结、小结 首先，将变量qi表示为解的预估值与一个描述预估值与方程解之差的微小修正因子之和，即2.2 2.2 MATLABMATLAB位移与速度分析位移与速度分析1 1、非线性超越方程纪牛顿、非线性超越方程纪牛顿辛普森求解方法原理辛普森求解方法原理在机构运动学分析过程中，常进行位移分析。列出若干个矢量方程，而这些方程往往是关于三角函数的非线性超越方程组（见式（2-8）。有不同方法求解这类方程，这里介绍一种很有效的方法 牛顿牛顿牛顿牛顿辛普森方法。辛普森方法。辛普森方法。辛普
14、森方法。 考虑一个含2个未知数的2个方程联立求解问题，条件是方程中的函数可根据需要任意展开， (221)式中 q1，q2待求未知量。运用泰勒级数 这一近似表达式将在迭代过程中用来逼近原函数。这一近似表达式将在迭代过程中用来逼近原函数。这一近似表达式将在迭代过程中用来逼近原函数。这一近似表达式将在迭代过程中用来逼近原函数。 通常略去高阶项，只用线性项。式(221) 的矩阵表达式为2.2 2.2 MATLABMATLAB位移与速度分析位移与速度分析1 1、非线性超越方程纪牛顿、非线性超越方程纪牛顿辛普森求解方法原理辛普森求解方法原理方程(224)给出了未知量估计值与方程精确解之间差值的计算方法。，
15、解方程(224)得 (224)为求差值(225)两个非线性方程两个非线性方程联立求解的牛顿联立求解的牛顿辛普森方法的辛普森方法的数学描述。数学描述。 非线性方程组的非线性方程组的非线性方程组的非线性方程组的雅可比矩阵雅可比矩阵雅可比矩阵雅可比矩阵 2.2 2.2 MATLABMATLAB位移与速度分析位移与速度分析1 1、非线性超越方程纪牛顿、非线性超越方程纪牛顿辛普森求解方法原理辛普森求解方法原理牛顿辛普森方法推广到n个变量n个方程的情况，其中雅可比矩阵为 2.2 2.2 MATLABMATLAB位移与速度分析位移与速度分析1 1、非线性超越方程纪牛顿、非线性超越方程纪牛顿辛普森求解方法原理
16、辛普森求解方法原理以铰链四杆机构为例来说明牛顿辛普森方法，如图22所示，各构件的尺寸为r1=400mm，r21000mm，r3=700mm，r4=1200mm，复数向量坐标如图所示。已知构件1的角位移160，求构件2和构件3的角位移2，3。2.2 2.2 MATLABMATLAB位移与速度分析位移与速度分析2 2、用、用MATLABMATLAB实现牛顿实现牛顿辛普森求解方法的例子辛普森求解方法的例子 写出角位移方程为 求出雅可比矩阵为 编制的M函数如下 2 2、用、用MATLABMATLAB实现牛顿实现牛顿辛普森求解方法的例子辛普森求解方法的例子 function y=rrrposi(x)%S
17、cript used to implement Newton -Raphson method for solving nonlinear position of RRR bar group%Input parameters%x(1)=theta-1；%x(2) =theta-2 guess value；%x(3) =theta-3 guess value%x(4) =r1；%x(5) =r2；%x(6) =r3；%x(7) =r4%Output parameters%y(1) =theta-2；%y(2) =theta-3theta2=x(2); theta3=x(3);epsilon=1.0
18、E-6;f=x(4)*cos(x(1)+x(5)*cos(theta2)-x(7)-x(6)*cos(theta3); x(4)*sin(x(1)+x(5)*sin(theta2)-x(6)*sin(theta3);while norm(f)epsilon J=-x(5)*sin(theta2) x(6)*sin(theta3);x(5)*cos(theta2) -x(6)*cos(theta3); dth=inv(J)*(-1.0*f); theta2=theta2+dth(1);theta3=theta3+dth(2); f=x(4)*cos(x(1)+x(5)*cos(theta2)-x
19、(7)-x(6)*cos(theta3); x(4)*sin(x(1)+x(5)*sin(theta2)-x(6)*sin(theta3); norm(f);end;y(1)=theta2;y(2)=theta3; MATLAD提示：MATLAB允许将重复执行的一组命令保存在扩展名为“m”的文本文件中。故称为“m文件” 。两种不同类型的m文件，脚本文件只是命令的筒单集合，只需在命令提示符下键入文件名，这些命令便如同单独键入一样执行。第二类m文件是函数文件，其运行类似于C语言中的函数或FORTRAN语言中的子程序。这些函数接收参数返回数值，并在执行过程中无法访问除定义为全局变量以外的变量。铰链四
20、杆机构在图所示位置，估计构件2和构件3的角位移为2=20，3=110，则输入参数：x=60*pi/180 20*pi/180 110*pi/180 400 1000 700 1200 代入上面的M函数，得构件2和构件3的角位移分别为2=20.53，3=95.21。2.2 2.2 MATLABMATLAB位移与速度分析位移与速度分析2 2、用、用MATLABMATLAB实现牛顿实现牛顿辛普森求解方法的例子辛普森求解方法的例子 图示的铰链四杆机构，它由原动件(曲柄1)和1个RRR杆组构成。各构件的尺寸为=400mm，=1000mm， 700mm, 建立如图210所示复数向量坐标，试求构件2，3的角
21、位移2和3。 =1200 mm。3 3、用、用MATLABMATLAB进行速度分析进行速度分析 2.2 2.2 MATLABMATLAB位移与速度分析位移与速度分析function y=rrrvel(x)%Script for solving velosity of RRR bar group%Input parameters%x(1)=theta-1%x(2) =theta-2 %x(3) =theta-3 %x(4) =dtheta-1%x(5) =r1%x(6) =r2%x(7) =r3%Output parameters%y(1) =dtheta-2%y(2) =dtheta-3% %
22、A=-x(6)*sin(x(2) x(7)*sin(x(3); x(6)*cos(x(2) x(7)*cos(x(3);B=x(5)*sin(x(1); -x(5)*cos(x(1)*x(4);y=inv(A)*B;图210所示的铰链四杆机构，它由原动件(曲柄1)和1个RRR杆组构成。各构件的尺寸为=400mm，=1000mm， 700mm, 建立如图210所示复数向量坐标，构件1以等角速度10 rad/s逆时针方向回转，试求构件2，3的角速度2和3。 =1200 mm。请同学们编制求解上例机请同学们编制求解上例机构的速度的构的速度的M M文件文件4 4、用、用MATLABMATLAB进行加速度分析进行加速度分析 2.3 2.3 MATLABMATLAB的加速度分析的加速度分析求导数得到加速度的表达式
